Theorem reltsub1 40369

Description: Subtraction from both sides of 'less than'. Compare ltsub1 11471. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reltsub1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 −ℝ 𝐶) < (𝐵 −ℝ 𝐶)))

Proof of Theorem reltsub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rersubcl 40361	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
2	1	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
3		rersubcl 40361	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
5		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	ltadd2d 11131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) < (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) < (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶))))
7		repncan3 40366	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
8	7	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
9	8	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
10		repncan3 40366	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
11	10	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
12	11	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
13	9, 12	breq12d 5087	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) < (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) ↔ 𝐴 < 𝐵))
14	6, 13	bitr2d 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 −ℝ 𝐶) < (𝐵 −ℝ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870   + caddc 10874   < clt 11009   −_ℝ cresub 40348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-addrcl 10932  ax-addass 10936  ax-rnegex 10942  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-resub 40349

This theorem is referenced by:  reltsubadd2  40370  reposdif  40424  relt0neg2  40426