Theorem reltsub1 43093

Description: Subtraction from both sides of 'less than'. Compare ltsub1 11709. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reltsub1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 −ℝ 𝐶) < (𝐵 −ℝ 𝐶)))

Proof of Theorem reltsub1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rersubcl 43085	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
2	1	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
3		rersubcl 43085	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
5		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	2, 4, 5	ltadd2d 11365	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) < (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) < (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶))))
7		repncan3 43090	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
8	7	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
9	8	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
10		repncan3 43090	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
11	10	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
12	11	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
13	9, 12	breq12d 5121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) < (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) ↔ 𝐴 < 𝐵))
14	6, 13	bitr2d 283	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 −ℝ 𝐶) < (𝐵 −ℝ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  (class class class)co 7410  ℝcr 11098   + caddc 11102   < clt 11242   −_ℝ cresub 43072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-addrcl 11160  ax-addass 11164  ax-rnegex 11170  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-resub 43073

This theorem is referenced by:  reltsubadd2  43094  reposdif  43175  relt0neg2  43177