Theorem resubcan2 43169

Description: Cancellation law for real subtraction. Compare subcan2 11478. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem resubcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶))
2		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		rersubcl 43159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
6	4, 3, 5	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
7	2, 3, 6	resubaddd 43161	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴))
8	1, 7	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
9		repncan3 43164	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
10	3, 4, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
11	8, 10	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
12	11	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
13		oveq1 7417	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶))
14	12, 13	impbid1 228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℝcr 11094   + caddc 11098   −_ℝ cresub 43146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-addrcl 11156  ax-addass 11160  ax-rnegex 11166  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-resub 43147

This theorem is referenced by: (None)