Theorem resubcan2 40292

Description: Cancellation law for real subtraction. Compare subcan2 11176. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem resubcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶))
2		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpl3 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simpl2 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		rersubcl 40282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
6	4, 3, 5	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
7	2, 3, 6	resubaddd 40284	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴))
8	1, 7	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
9		repncan3 40287	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
10	3, 4, 9	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
11	8, 10	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
12	11	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
13		oveq1 7262	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶))
14	12, 13	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   + caddc 10805   −_ℝ cresub 40269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-addrcl 10863  ax-addass 10867  ax-rnegex 10873  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-resub 40270

This theorem is referenced by: (None)