Theorem resubcan2 42997

Description: Cancellation law for real subtraction. Compare subcan2 11456. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem resubcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶))
2		simpl1 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpl3 1207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simpl2 1206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		rersubcl 42987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
6	4, 3, 5	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
7	2, 3, 6	resubaddd 42989	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴))
8	1, 7	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
9		repncan3 42992	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
10	3, 4, 9	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
11	8, 10	eqtr3d 2799	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
12	11	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
13		oveq1 7403	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶))
14	12, 13	impbid1 227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℝcr 11072   + caddc 11076   −_ℝ cresub 42974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-addrcl 11134  ax-addass 11138  ax-rnegex 11144  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-resub 42975

This theorem is referenced by: (None)