Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubcan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubcan2 39513
 Description: Cancellation law for real subtraction. Compare subcan2 10904. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
resubcan2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem resubcan2
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶)) → (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶))
2 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 rersubcl 39503 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 𝐶) ∈ ℝ)
64, 3, 5syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶)) → (𝐵 𝐶) ∈ ℝ)
72, 3, 6resubaddd 39505 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶)) → ((𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶) ↔ (𝐶 + (𝐵 𝐶)) = 𝐴))
81, 7mpbid 235 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶)) → (𝐶 + (𝐵 𝐶)) = 𝐴)
9 repncan3 39508 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐵 𝐶)) = 𝐵)
103, 4, 9syl2anc 587 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶)) → (𝐶 + (𝐵 𝐶)) = 𝐵)
118, 10eqtr3d 2838 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
1211ex 416 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
13 oveq1 7146 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶))
1412, 13impbid1 228 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7139  ℝcr 10529   + caddc 10533   −ℝ cresub 39490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-addrcl 10591  ax-addass 10595  ax-rnegex 10601  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-resub 39491 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator