Theorem resubcan2 41205

Description: Cancellation law for real subtraction. Compare subcan2 11481. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem resubcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶))
2		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		rersubcl 41195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
6	4, 3, 5	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
7	2, 3, 6	resubaddd 41197	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴))
8	1, 7	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
9		repncan3 41200	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
10	3, 4, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → (𝐶 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐵)
11	8, 10	eqtr3d 2775	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
12	11	ex 414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) → 𝐴 = 𝐵))
13		oveq1 7411	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶))
14	12, 13	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7404  ℝcr 11105   + caddc 11109   −_ℝ cresub 41182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-addrcl 11167  ax-addass 11171  ax-rnegex 11177  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-resub 41183

This theorem is referenced by: (None)