Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubidaddid1lem Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Lemma for resubidaddid1 39548. A special case of npncan 10898. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
resubidaddid1lem.1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐶))
Assertion
Ref Expression
resubidaddid1lem (𝜑 → ((𝐴 𝐵) + (𝐵 𝐶)) = (𝐴 𝐶))

StepHypRef Expression
1 resubidaddid1lem.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 resubidaddid1lem.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resubidaddid1lem.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 rersubcl 39531 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) ∈ ℝ)
6 rersubcl 39531 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 𝐶) ∈ ℝ)
73, 1, 6syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝐶) ∈ ℝ)
85, 7readdcld 10661 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) + (𝐵 𝐶)) ∈ ℝ)
9 resubidaddid1lem.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐶))
109eqcomd 2804 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐵))
113, 1, 5resubaddd 39533 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐵) ↔ (𝐶 + (𝐴 𝐵)) = 𝐵))
1210, 11mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 + (𝐴 𝐵)) = 𝐵)
1312oveq1d 7150 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 𝐵)) + (𝐵 𝐶)) = (𝐵 + (𝐵 𝐶)))
141recnd 10660 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
155recnd 10660 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) ∈ ℂ)
167recnd 10660 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) ∈ ℂ)
1714, 15, 16addassd 10654 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 𝐵)) + (𝐵 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 𝐵) + (𝐵 𝐶))))
182, 3, 7resubaddd 39533 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐶) ↔ (𝐵 + (𝐵 𝐶)) = 𝐴))
199, 18mpbid 235 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + (𝐵 𝐶)) = 𝐴)
2013, 17, 193eqtr3d 2841 . 2 (𝜑 → (𝐶 + ((𝐴 𝐵) + (𝐵 𝐶))) = 𝐴)
211, 8, 20reladdrsub 39538 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) + (𝐵 𝐶)) = (𝐴 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℝcr 10527   + caddc 10531   −ℝ cresub 39518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-resscn 10585  ax-addrcl 10589  ax-addass 10593  ax-rnegex 10599  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-ltxr 10671  df-resub 39519 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator