Theorem resubidaddid1lem 39244

Description: Lemma for resubidaddid1 39245. A special case of npncan 10907. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
resubidaddid1lem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubidaddid1lem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
resubidaddid1lem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
resubidaddid1lem.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
resubidaddid1lem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 −ℝ 𝐶))

Proof of Theorem resubidaddid1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubidaddid1lem.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		resubidaddid1lem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resubidaddid1lem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rersubcl 39228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
6		rersubcl 39228	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
7	3, 1, 6	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
8	5, 7	readdcld 10670	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) ∈ ℝ)
9		resubidaddid1lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶))
10	9	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) = (𝐴 −ℝ 𝐵))
11	3, 1, 5	resubaddd 39230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 −ℝ 𝐶) = (𝐴 −ℝ 𝐵) ↔ (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) = 𝐵))
12	10, 11	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) = 𝐵)
13	12	oveq1d 7171	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)))
14	1	recnd 10669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	5	recnd 10669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
16	7	recnd 10669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	addassd 10663	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶))))
18	2, 3, 7	resubaddd 39230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴))
19	9, 18	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
20	13, 17, 19	3eqtr3d 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶))) = 𝐴)
21	1, 8, 20	reladdrsub 39235	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 −ℝ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℝcr 10536   + caddc 10540   −_ℝ cresub 39215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-addrcl 10598  ax-addass 10602  ax-rnegex 10608  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-resub 39216

This theorem is referenced by: (None)