Theorem reladdrsub 43364

Description: Move LHS of a sum into RHS of a (real) difference. Version of mvlladdd 11696 with real subtraction. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
reladdrsub.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reladdrsub.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
reladdrsub.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
reladdrsub	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 −ℝ 𝐴))

Proof of Theorem reladdrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reladdrsub.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
2		reladdrsub.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		reladdrsub.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	readdcld 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 4	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		resubadd 43358	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
7	1, 6	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵))
8	5, 2, 3, 7	mp3and 1493	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵)
9	8	eqcomd 2766	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 −ℝ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7408  ℝcr 11170   + caddc 11174   −_ℝ cresub 43344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-addrcl 11232  ax-addass 11236  ax-rnegex 11242  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-ltxr 11319  df-resub 43345

This theorem is used by:  resubsub4  43368  resubidaddlidlem  43373  resubdi  43375  re1m1e0m0  43376  re0m0e0  43381