Theorem reladdrsub 42677

Description: Move LHS of a sum into RHS of a (real) difference. Version of mvlladdd 11550 with real subtraction. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
reladdrsub.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reladdrsub.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
reladdrsub.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
reladdrsub	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 −ℝ 𝐴))

Proof of Theorem reladdrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reladdrsub.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
2		reladdrsub.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		reladdrsub.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	readdcld 11163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 4	eqeltrrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		resubadd 42671	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
7	1, 6	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵))
8	5, 2, 3, 7	mp3and 1467	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵)
9	8	eqcomd 2741	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 −ℝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℝcr 11027   + caddc 11031   −_ℝ cresub 42657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-addrcl 11089  ax-addass 11093  ax-rnegex 11099  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-resub 42658

This theorem is referenced by:  resubsub4  42681  resubidaddlidlem  42686  resubdi  42688  re1m1e0m0  42689  re0m0e0  42694