Theorem reladdrsub 43071

Description: Move LHS of a sum into RHS of a (real) difference. Version of mvlladdd 11625 with real subtraction. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
reladdrsub.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reladdrsub.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
reladdrsub.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
reladdrsub	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 −ℝ 𝐴))

Proof of Theorem reladdrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reladdrsub.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
2		reladdrsub.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		reladdrsub.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	readdcld 11238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 4	eqeltrrd 2870	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		resubadd 43065	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
7	1, 6	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵))
8	5, 2, 3, 7	mp3and 1490	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵)
9	8	eqcomd 2775	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 −ℝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℝcr 11099   + caddc 11103   −_ℝ cresub 43051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-addrcl 11161  ax-addass 11165  ax-rnegex 11171  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-resub 43052

This theorem is referenced by:  resubsub4  43075  resubidaddlidlem  43080  resubdi  43082  re1m1e0m0  43083  re0m0e0  43088