Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reladdrsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reladdrsub 40757
Description: Move LHS of a sum into RHS of a (real) difference. Version of mvlladdd 11524 with real subtraction. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
reladdrsub.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
reladdrsub.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
reladdrsub.3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
reladdrsub (𝜑𝐵 = (𝐶 𝐴))

Proof of Theorem reladdrsub
StepHypRef Expression
1 reladdrsub.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
2 reladdrsub.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 reladdrsub.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
42, 3readdcld 11142 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
51, 4eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 resubadd 40751 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
71, 6syl5ibrcom 246 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 𝐴) = 𝐵))
85, 2, 3, 7mp3and 1464 . 2 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = 𝐵)
98eqcomd 2742 1 (𝜑𝐵 = (𝐶 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7351  cr 11008   + caddc 11012   cresub 40737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-addrcl 11070  ax-addass 11074  ax-rnegex 11080  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-ltxr 11152  df-resub 40738
This theorem is referenced by:  resubsub4  40761  resubidaddid1lem  40766  resubdi  40768  re1m1e0m0  40769  re0m0e0  40774
  Copyright terms: Public domain W3C validator