Theorem reladdrsub 42707

Description: Move LHS of a sum into RHS of a (real) difference. Version of mvlladdd 11552 with real subtraction. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
reladdrsub.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reladdrsub.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
reladdrsub.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
reladdrsub	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 −ℝ 𝐴))

Proof of Theorem reladdrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reladdrsub.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
2		reladdrsub.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		reladdrsub.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	readdcld 11165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 4	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		resubadd 42701	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
7	1, 6	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵))
8	5, 2, 3, 7	mp3and 1467	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵)
9	8	eqcomd 2743	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 −ℝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℝcr 11029   + caddc 11033   −_ℝ cresub 42687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-addrcl 11091  ax-addass 11095  ax-rnegex 11101  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-resub 42688

This theorem is referenced by:  resubsub4  42711  resubidaddlidlem  42716  resubdi  42718  re1m1e0m0  42719  re0m0e0  42724