Theorem reladdrsub 43437

Description: Move LHS of a sum into RHS of a (real) difference. Version of mvlladdd 11725 with real subtraction. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
reladdrsub.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reladdrsub.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
reladdrsub.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
reladdrsub	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 −ℝ 𝐴))

Proof of Theorem reladdrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reladdrsub.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
2		reladdrsub.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		reladdrsub.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	readdcld 11338	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 4	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		resubadd 43431	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
7	1, 6	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵))
8	5, 2, 3, 7	mp3and 1493	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 −ℝ 𝐴) = 𝐵)
9	8	eqcomd 2766	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 −ℝ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℝcr 11199   + caddc 11203   −_ℝ cresub 43417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-addrcl 11261  ax-addass 11265  ax-rnegex 11271  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-resub 43418

This theorem is used by:  resubsub4  43441  resubidaddlidlem  43446  resubdi  43448  re1m1e0m0  43449  re0m0e0  43454