Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rersubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rersubcl 42408
Description: Closure for real subtraction. Based on subcl 11507. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
rersubcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rersubcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubval 42397 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2 resubeu 42407 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
32ancoms 458 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4 riotacl 7405 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℝ)
61, 5eqeltrd 2841 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  ∃!wreu 3378  crio 7387  (class class class)co 7431  cr 11154   + caddc 11158   cresub 42395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-addrcl 11216  ax-addass 11220  ax-rnegex 11226  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-resub 42396
This theorem is referenced by:  resubf  42411  repncan3  42413  readdsub  42414  reltsub1  42416  resubcan2  42418  resubsub4  42419  rennncan2  42420  renpncan3  42421  reppncan  42423  resubidaddlidlem  42424  resubdi  42426  re1m1e0m0  42427  sn-ltmul2d  42491
  Copyright terms: Public domain W3C validator