Theorem rersubcl 40010

Description: Closure for real subtraction. Based on subcl 11042. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rersubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rersubcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubval 39999	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		resubeu 40009	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 7166	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 5	eqeltrd 2831	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∃!wreu 3053  ℩crio 7147  (class class class)co 7191  ℝcr 10693   + caddc 10697   −_ℝ cresub 39997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-addrcl 10755  ax-addass 10759  ax-rnegex 10765  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837  df-resub 39998

This theorem is referenced by:  resubf  40013  repncan3  40015  readdsub  40016  reltsub1  40018  resubcan2  40020  resubsub4  40021  rennncan2  40022  renpncan3  40023  reppncan  40025  resubidaddid1lem  40026  resubdi  40028  re1m1e0m0  40029  sn-ltmul2d  40080