Theorem rersubcl 40282

Description: Closure for real subtraction. Based on subcl 11150. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rersubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rersubcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubval 40271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2		resubeu 40281	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4		riotacl 7230	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℝ)
6	1, 5	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃!wreu 3065  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   + caddc 10805   −_ℝ cresub 40269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-addrcl 10863  ax-addass 10867  ax-rnegex 10873  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-resub 40270

This theorem is referenced by:  resubf  40285  repncan3  40287  readdsub  40288  reltsub1  40290  resubcan2  40292  resubsub4  40293  rennncan2  40294  renpncan3  40295  reppncan  40297  resubidaddid1lem  40298  resubdi  40300  re1m1e0m0  40301  sn-ltmul2d  40352