Theorem resubidaddlidlem 42404

Description: Lemma for resubidaddlid 42405. A special case of npncan 11509. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
resubidaddridlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
resubidaddlidlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 −ℝ 𝐶))

Proof of Theorem resubidaddlidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubidaddridlem.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		resubidaddridlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resubidaddridlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rersubcl 42388	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
6		rersubcl 42388	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
7	3, 1, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
8	5, 7	readdcld 11269	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) ∈ ℝ)
9		resubidaddridlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶))
10	9	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) = (𝐴 −ℝ 𝐵))
11	3, 1, 5	resubaddd 42390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 −ℝ 𝐶) = (𝐴 −ℝ 𝐵) ↔ (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) = 𝐵))
12	10, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) = 𝐵)
13	12	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)))
14	1	recnd 11268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	5	recnd 11268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
16	7	recnd 11268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	addassd 11262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶))))
18	2, 3, 7	resubaddd 42390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴))
19	9, 18	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
20	13, 17, 19	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶))) = 𝐴)
21	1, 8, 20	reladdrsub 42395	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 −ℝ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℝcr 11133   + caddc 11137   −_ℝ cresub 42375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-addrcl 11195  ax-addass 11199  ax-rnegex 11205  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-resub 42376

This theorem is referenced by: (None)