Theorem resubidaddlidlem 42401

Description: Lemma for resubidaddlid 42402. A special case of npncan 11528. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
resubidaddridlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
resubidaddlidlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 −ℝ 𝐶))

Proof of Theorem resubidaddlidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubidaddridlem.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		resubidaddridlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resubidaddridlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rersubcl 42385	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
6		rersubcl 42385	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
7	3, 1, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
8	5, 7	readdcld 11288	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) ∈ ℝ)
9		resubidaddridlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶))
10	9	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) = (𝐴 −ℝ 𝐵))
11	3, 1, 5	resubaddd 42387	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 −ℝ 𝐶) = (𝐴 −ℝ 𝐵) ↔ (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) = 𝐵))
12	10, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) = 𝐵)
13	12	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)))
14	1	recnd 11287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	5	recnd 11287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
16	7	recnd 11287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	addassd 11281	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶))))
18	2, 3, 7	resubaddd 42387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴))
19	9, 18	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
20	13, 17, 19	3eqtr3d 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶))) = 𝐴)
21	1, 8, 20	reladdrsub 42392	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 −ℝ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℝcr 11152   + caddc 11156   −_ℝ cresub 42372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-addrcl 11214  ax-addass 11218  ax-rnegex 11224  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-resub 42373

This theorem is referenced by: (None)