Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubidaddlidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubidaddlidlem 42424
Description: Lemma for resubidaddlid 42425. A special case of npncan 11530. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
resubidaddridlem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐶))
Assertion
Ref Expression
resubidaddlidlem (𝜑 → ((𝐴 𝐵) + (𝐵 𝐶)) = (𝐴 𝐶))

Proof of Theorem resubidaddlidlem
StepHypRef Expression
1 resubidaddridlem.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 resubidaddridlem.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resubidaddridlem.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 rersubcl 42408 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) ∈ ℝ)
6 rersubcl 42408 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 𝐶) ∈ ℝ)
73, 1, 6syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝐶) ∈ ℝ)
85, 7readdcld 11290 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) + (𝐵 𝐶)) ∈ ℝ)
9 resubidaddridlem.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐶))
109eqcomd 2743 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐵))
113, 1, 5resubaddd 42410 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐵) ↔ (𝐶 + (𝐴 𝐵)) = 𝐵))
1210, 11mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 + (𝐴 𝐵)) = 𝐵)
1312oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 𝐵)) + (𝐵 𝐶)) = (𝐵 + (𝐵 𝐶)))
141recnd 11289 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
155recnd 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) ∈ ℂ)
167recnd 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) ∈ ℂ)
1714, 15, 16addassd 11283 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 𝐵)) + (𝐵 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 𝐵) + (𝐵 𝐶))))
182, 3, 7resubaddd 42410 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐶) ↔ (𝐵 + (𝐵 𝐶)) = 𝐴))
199, 18mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + (𝐵 𝐶)) = 𝐴)
2013, 17, 193eqtr3d 2785 . 2 (𝜑 → (𝐶 + ((𝐴 𝐵) + (𝐵 𝐶))) = 𝐴)
211, 8, 20reladdrsub 42415 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) + (𝐵 𝐶)) = (𝐴 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cr 11154   + caddc 11158   cresub 42395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-addrcl 11216  ax-addass 11220  ax-rnegex 11226  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-resub 42396
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator