Theorem resubidaddlidlem 42426

Description: Lemma for resubidaddlid 42427. A special case of npncan 11379. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
resubidaddridlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
resubidaddlidlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 −ℝ 𝐶))

Proof of Theorem resubidaddlidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubidaddridlem.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		resubidaddridlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resubidaddridlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rersubcl 42410	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
6		rersubcl 42410	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
7	3, 1, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
8	5, 7	readdcld 11138	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) ∈ ℝ)
9		resubidaddridlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶))
10	9	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) = (𝐴 −ℝ 𝐵))
11	3, 1, 5	resubaddd 42412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 −ℝ 𝐶) = (𝐴 −ℝ 𝐵) ↔ (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) = 𝐵))
12	10, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) = 𝐵)
13	12	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)))
14	1	recnd 11137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	5	recnd 11137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
16	7	recnd 11137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	addassd 11131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶))))
18	2, 3, 7	resubaddd 42412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴))
19	9, 18	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
20	13, 17, 19	3eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶))) = 𝐴)
21	1, 8, 20	reladdrsub 42417	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 −ℝ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11002   + caddc 11006   −_ℝ cresub 42397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-addrcl 11064  ax-addass 11068  ax-rnegex 11074  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-ltxr 11148  df-resub 42398

This theorem is referenced by: (None)