Theorem resubidaddlidlem 42649

Description: Lemma for resubidaddlid 42650. A special case of npncan 11402. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
resubidaddridlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
resubidaddridlem.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
resubidaddlidlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 −ℝ 𝐶))

Proof of Theorem resubidaddlidlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubidaddridlem.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		resubidaddridlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resubidaddridlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rersubcl 42633	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℝ)
6		rersubcl 42633	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
7	3, 1, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
8	5, 7	readdcld 11161	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) ∈ ℝ)
9		resubidaddridlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶))
10	9	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) = (𝐴 −ℝ 𝐵))
11	3, 1, 5	resubaddd 42635	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 −ℝ 𝐶) = (𝐴 −ℝ 𝐵) ↔ (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) = 𝐵))
12	10, 11	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) = 𝐵)
13	12	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)))
14	1	recnd 11160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	5	recnd 11160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℝ 𝐵) ∈ ℂ)
16	7	recnd 11160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	addassd 11154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐵)) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶))))
18	2, 3, 7	resubaddd 42635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐵 −ℝ 𝐶) ↔ (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴))
19	9, 18	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
20	13, 17, 19	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶))) = 𝐴)
21	1, 8, 20	reladdrsub 42640	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℝ 𝐵) + (𝐵 −ℝ 𝐶)) = (𝐴 −ℝ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℝcr 11025   + caddc 11029   −_ℝ cresub 42620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-addrcl 11087  ax-addass 11091  ax-rnegex 11097  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-resub 42621

This theorem is referenced by: (None)