Theorem rpcnne0 12977

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12969	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 12975	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ℂcc 11073  0cc0 11075  ℝ⁺crp 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  rpcndif0  12979  mod0  13845  modlt  13849  modcyc  13875  modmuladdnn0  13887  moddi  13911  modirr  13914  icchmeo  24845  aaliou3lem3  26259  aaliou3lem8  26260  reeff1o  26364  reeflog  26496  relogeftb  26500  rpcxpcl  26592  relogbcxp  26702  rlimcnp  26882  rlimcnp2  26883  divsqrtsumlem  26897  harmonicbnd4  26928  logfacrlim  27142  logexprlim  27143  vmadivsum  27400  dchrmusum2  27412  dchrvmasumlem2  27416  dchrvmasumiflem1  27419  dchrisum0lem2a  27435  mudivsum  27448  mulogsumlem  27449  mulog2sumlem2  27453  selberglem2  27464  selberg2lem  27468  selberg2  27469  pntrsumo1  27483  selbergr  27486  pntibndlem2  27509  pntibndlem3  27510  pntlemb  27515  pntlemr  27520  pntlemf  27523  blocnilem  30740  minvecolem3  30812  itg2addnclem2  37673  fllogbd  48553