Theorem rpcnne0 13075

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13067	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 13073	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ℂcc 11182  0cc0 11184  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  rpcndif0  13076  mod0  13927  modlt  13931  modcyc  13957  modmuladdnn0  13966  moddi  13990  modirr  13993  icchmeo  24990  aaliou3lem3  26404  aaliou3lem8  26405  reeff1o  26509  reeflog  26640  relogeftb  26644  rpcxpcl  26736  relogbcxp  26846  rlimcnp  27026  rlimcnp2  27027  divsqrtsumlem  27041  harmonicbnd4  27072  logfacrlim  27286  logexprlim  27287  vmadivsum  27544  dchrmusum2  27556  dchrvmasumlem2  27560  dchrvmasumiflem1  27563  dchrisum0lem2a  27579  mudivsum  27592  mulogsumlem  27593  mulog2sumlem2  27597  selberglem2  27608  selberg2lem  27612  selberg2  27613  pntrsumo1  27627  selbergr  27630  pntibndlem2  27653  pntibndlem3  27654  pntlemb  27659  pntlemr  27664  pntlemf  27667  blocnilem  30836  minvecolem3  30908  itg2addnclem2  37632  fllogbd  48294