Theorem rpcnne0 12959

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12951	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 12957	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 516	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ℂcc 11034  0cc0 11036  ℝ⁺crp 12940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-addrcl 11097  ax-rnegex 11107  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-rp 12941

This theorem is referenced by:  rpcndif0  12961  mod0  13833  modlt  13837  modcyc  13863  modmuladdnn0  13875  moddi  13899  modirr  13902  icchmeo  24933  aaliou3lem3  26335  aaliou3lem8  26336  reeff1o  26437  reeflog  26569  relogeftb  26573  rpcxpcl  26665  relogbcxp  26774  rlimcnp  26954  rlimcnp2  26955  divsqrtsumlem  26968  harmonicbnd4  26999  logfacrlim  27212  logexprlim  27213  vmadivsum  27470  dchrmusum2  27482  dchrvmasumlem2  27486  dchrvmasumiflem1  27489  dchrisum0lem2a  27505  mudivsum  27518  mulogsumlem  27519  mulog2sumlem2  27523  selberglem2  27534  selberg2lem  27538  selberg2  27539  pntrsumo1  27553  selbergr  27556  pntibndlem2  27579  pntibndlem3  27580  pntlemb  27585  pntlemr  27590  pntlemf  27593  blocnilem  30900  minvecolem3  30972  itg2addnclem2  38046  fllogbd  49058