Theorem rpcnne0 13143

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13135	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 13141	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 521	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ℂcc 11202  0cc0 11204  ℝ⁺crp 13124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-addrcl 11265  ax-rnegex 11275  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-rp 13125

This theorem is used by:  rpcndif0  13145  mod0  14020  modlt  14024  modcyc  14050  modmuladdnn0  14062  moddi  14086  modirr  14089  icchmeo  25268  aaliou3lem3  26677  aaliou3lem8  26678  reeff1o  26780  reeflog  26914  relogeftb  26918  rpcxpcl  27010  relogbcxp  27119  rlimcnp  27299  rlimcnp2  27300  divsqrtsumlem  27313  harmonicbnd4  27344  logfacrlim  27557  logexprlim  27558  vmadivsum  27815  dchrmusum2  27827  dchrvmasumlem2  27831  dchrvmasumiflem1  27834  dchrisum0lem2a  27850  mudivsum  27863  mulogsumlem  27864  mulog2sumlem2  27868  selberglem2  27879  selberg2lem  27883  selberg2  27884  pntrsumo1  27898  selbergr  27901  pntibndlem2  27924  pntibndlem3  27925  pntlemb  27930  pntlemr  27935  pntlemf  27938  blocnilem  31412  minvecolem3  31484  itg2addnclem2  38684  fllogbd  49766