Theorem rpcnne0 13051

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13043	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 13049	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ℂcc 11151  0cc0 11153  ℝ⁺crp 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addrcl 11214  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-rp 13033

This theorem is referenced by:  rpcndif0  13052  mod0  13913  modlt  13917  modcyc  13943  modmuladdnn0  13953  moddi  13977  modirr  13980  icchmeo  24985  aaliou3lem3  26401  aaliou3lem8  26402  reeff1o  26506  reeflog  26637  relogeftb  26641  rpcxpcl  26733  relogbcxp  26843  rlimcnp  27023  rlimcnp2  27024  divsqrtsumlem  27038  harmonicbnd4  27069  logfacrlim  27283  logexprlim  27284  vmadivsum  27541  dchrmusum2  27553  dchrvmasumlem2  27557  dchrvmasumiflem1  27560  dchrisum0lem2a  27576  mudivsum  27589  mulogsumlem  27590  mulog2sumlem2  27594  selberglem2  27605  selberg2lem  27609  selberg2  27610  pntrsumo1  27624  selbergr  27627  pntibndlem2  27650  pntibndlem3  27651  pntlemb  27656  pntlemr  27661  pntlemf  27664  blocnilem  30833  minvecolem3  30905  itg2addnclem2  37659  fllogbd  48410