Theorem rpcnne0 13036

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13028	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 13034	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 520	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ℂcc 11099  0cc0 11101  ℝ⁺crp 13017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-addrcl 11162  ax-rnegex 11172  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-rp 13018

This theorem is referenced by:  rpcndif0  13038  mod0  13911  modlt  13915  modcyc  13941  modmuladdnn0  13953  moddi  13977  modirr  13980  icchmeo  25081  aaliou3lem3  26488  aaliou3lem8  26489  reeff1o  26591  reeflog  26726  relogeftb  26730  rpcxpcl  26822  relogbcxp  26931  rlimcnp  27111  rlimcnp2  27112  divsqrtsumlem  27125  harmonicbnd4  27156  logfacrlim  27369  logexprlim  27370  vmadivsum  27627  dchrmusum2  27639  dchrvmasumlem2  27643  dchrvmasumiflem1  27646  dchrisum0lem2a  27662  mudivsum  27675  mulogsumlem  27676  mulog2sumlem2  27680  selberglem2  27691  selberg2lem  27695  selberg2  27696  pntrsumo1  27710  selbergr  27713  pntibndlem2  27736  pntibndlem3  27737  pntlemb  27742  pntlemr  27747  pntlemf  27750  blocnilem  31137  minvecolem3  31209  itg2addnclem2  38304  fllogbd  49323