MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpcnne0 12925
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpcnne0 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0
StepHypRef Expression
1 rpcn 12917 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
2 rpne0 12923 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
31, 2jca 512 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wne 2941  cc 11045  0cc0 11047  +crp 12907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-addrcl 11108  ax-rnegex 11118  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-ltxr 11190  df-rp 12908
This theorem is referenced by:  rpcndif0  12926  mod0  13773  modlt  13777  modcyc  13803  modmuladdnn0  13812  moddi  13836  modirr  13839  aaliou3lem3  25688  aaliou3lem8  25689  reeff1o  25790  reeflog  25920  relogeftb  25924  rpcxpcl  26015  relogbcxp  26119  rlimcnp  26299  rlimcnp2  26300  divsqrtsumlem  26313  harmonicbnd4  26344  logfacrlim  26556  logexprlim  26557  vmadivsum  26814  dchrmusum2  26826  dchrvmasumlem2  26830  dchrvmasumiflem1  26833  dchrisum0lem2a  26849  mudivsum  26862  mulogsumlem  26863  mulog2sumlem2  26867  selberglem2  26878  selberg2lem  26882  selberg2  26883  pntrsumo1  26897  selbergr  26900  pntibndlem2  26923  pntibndlem3  26924  pntlemb  26929  pntlemr  26934  pntlemf  26937  blocnilem  29632  minvecolem3  29704  itg2addnclem2  36097  fllogbd  46578
  Copyright terms: Public domain W3C validator