Theorem rpcnne0 12909

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12901	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 12907	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ℂcc 11004  0cc0 11006  ℝ⁺crp 12890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-addrcl 11067  ax-rnegex 11077  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-rp 12891

This theorem is referenced by:  rpcndif0  12911  mod0  13780  modlt  13784  modcyc  13810  modmuladdnn0  13822  moddi  13846  modirr  13849  icchmeo  24865  aaliou3lem3  26279  aaliou3lem8  26280  reeff1o  26384  reeflog  26516  relogeftb  26520  rpcxpcl  26612  relogbcxp  26722  rlimcnp  26902  rlimcnp2  26903  divsqrtsumlem  26917  harmonicbnd4  26948  logfacrlim  27162  logexprlim  27163  vmadivsum  27420  dchrmusum2  27432  dchrvmasumlem2  27436  dchrvmasumiflem1  27439  dchrisum0lem2a  27455  mudivsum  27468  mulogsumlem  27469  mulog2sumlem2  27473  selberglem2  27484  selberg2lem  27488  selberg2  27489  pntrsumo1  27503  selbergr  27506  pntibndlem2  27529  pntibndlem3  27530  pntlemb  27535  pntlemr  27540  pntlemf  27543  blocnilem  30784  minvecolem3  30856  itg2addnclem2  37711  fllogbd  48660