Theorem rpcnne0 13005

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12997	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 13003	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 519	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ℂcc 11064  0cc0 11066  ℝ⁺crp 12986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-addrcl 11127  ax-rnegex 11137  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-ltxr 11214  df-rp 12987

This theorem is referenced by:  rpcndif0  13007  mod0  13879  modlt  13883  modcyc  13909  modmuladdnn0  13921  moddi  13945  modirr  13948  icchmeo  24990  aaliou3lem3  26395  aaliou3lem8  26396  reeff1o  26497  reeflog  26632  relogeftb  26636  rpcxpcl  26728  relogbcxp  26837  rlimcnp  27017  rlimcnp2  27018  divsqrtsumlem  27031  harmonicbnd4  27062  logfacrlim  27275  logexprlim  27276  vmadivsum  27533  dchrmusum2  27545  dchrvmasumlem2  27549  dchrvmasumiflem1  27552  dchrisum0lem2a  27568  mudivsum  27581  mulogsumlem  27582  mulog2sumlem2  27586  selberglem2  27597  selberg2lem  27601  selberg2  27602  pntrsumo1  27616  selbergr  27619  pntibndlem2  27642  pntibndlem3  27643  pntlemb  27648  pntlemr  27653  pntlemf  27656  blocnilem  30963  minvecolem3  31035  itg2addnclem2  38131  fllogbd  49142