Theorem rpcnne0 12930

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12922	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 12928	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ℂcc 11026  0cc0 11028  ℝ⁺crp 12911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-rp 12912

This theorem is referenced by:  rpcndif0  12932  mod0  13798  modlt  13802  modcyc  13828  modmuladdnn0  13840  moddi  13864  modirr  13867  icchmeo  24854  aaliou3lem3  26268  aaliou3lem8  26269  reeff1o  26373  reeflog  26505  relogeftb  26509  rpcxpcl  26601  relogbcxp  26711  rlimcnp  26891  rlimcnp2  26892  divsqrtsumlem  26906  harmonicbnd4  26937  logfacrlim  27151  logexprlim  27152  vmadivsum  27409  dchrmusum2  27421  dchrvmasumlem2  27425  dchrvmasumiflem1  27428  dchrisum0lem2a  27444  mudivsum  27457  mulogsumlem  27458  mulog2sumlem2  27462  selberglem2  27473  selberg2lem  27477  selberg2  27478  pntrsumo1  27492  selbergr  27495  pntibndlem2  27518  pntibndlem3  27519  pntlemb  27524  pntlemr  27529  pntlemf  27532  blocnilem  30766  minvecolem3  30838  itg2addnclem2  37654  fllogbd  48549