Theorem rpcnne0 12992

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12984	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 12990	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 513	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ℂcc 11108  0cc0 11110  ℝ⁺crp 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-rp 12975

This theorem is referenced by:  rpcndif0  12993  mod0  13841  modlt  13845  modcyc  13871  modmuladdnn0  13880  moddi  13904  modirr  13907  aaliou3lem3  25857  aaliou3lem8  25858  reeff1o  25959  reeflog  26089  relogeftb  26093  rpcxpcl  26184  relogbcxp  26290  rlimcnp  26470  rlimcnp2  26471  divsqrtsumlem  26484  harmonicbnd4  26515  logfacrlim  26727  logexprlim  26728  vmadivsum  26985  dchrmusum2  26997  dchrvmasumlem2  27001  dchrvmasumiflem1  27004  dchrisum0lem2a  27020  mudivsum  27033  mulogsumlem  27034  mulog2sumlem2  27038  selberglem2  27049  selberg2lem  27053  selberg2  27054  pntrsumo1  27068  selbergr  27071  pntibndlem2  27094  pntibndlem3  27095  pntlemb  27100  pntlemr  27105  pntlemf  27108  blocnilem  30057  minvecolem3  30129  itg2addnclem2  36540  fllogbd  47246