Theorem rpcnne0 12913

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12905	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 12911	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ℂcc 11013  0cc0 11015  ℝ⁺crp 12894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-addrcl 11076  ax-rnegex 11086  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-ltxr 11160  df-rp 12895

This theorem is referenced by:  rpcndif0  12915  mod0  13784  modlt  13788  modcyc  13814  modmuladdnn0  13826  moddi  13850  modirr  13853  icchmeo  24868  aaliou3lem3  26282  aaliou3lem8  26283  reeff1o  26387  reeflog  26519  relogeftb  26523  rpcxpcl  26615  relogbcxp  26725  rlimcnp  26905  rlimcnp2  26906  divsqrtsumlem  26920  harmonicbnd4  26951  logfacrlim  27165  logexprlim  27166  vmadivsum  27423  dchrmusum2  27435  dchrvmasumlem2  27439  dchrvmasumiflem1  27442  dchrisum0lem2a  27458  mudivsum  27471  mulogsumlem  27472  mulog2sumlem2  27476  selberglem2  27487  selberg2lem  27491  selberg2  27492  pntrsumo1  27506  selbergr  27509  pntibndlem2  27532  pntibndlem3  27533  pntlemb  27538  pntlemr  27543  pntlemf  27546  blocnilem  30788  minvecolem3  30860  itg2addnclem2  37735  fllogbd  48688