Theorem rpcnne0 13132

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13124	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 13130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 521	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ℂcc 11191  0cc0 11193  ℝ⁺crp 13113

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-addrcl 11254  ax-rnegex 11264  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-rp 13114

This theorem is used by:  rpcndif0  13134  mod0  14009  modlt  14013  modcyc  14039  modmuladdnn0  14051  moddi  14075  modirr  14078  icchmeo  25255  aaliou3lem3  26664  aaliou3lem8  26665  reeff1o  26767  reeflog  26901  relogeftb  26905  rpcxpcl  26997  relogbcxp  27106  rlimcnp  27286  rlimcnp2  27287  divsqrtsumlem  27300  harmonicbnd4  27331  logfacrlim  27544  logexprlim  27545  vmadivsum  27802  dchrmusum2  27814  dchrvmasumlem2  27818  dchrvmasumiflem1  27821  dchrisum0lem2a  27837  mudivsum  27850  mulogsumlem  27851  mulog2sumlem2  27855  selberglem2  27866  selberg2lem  27870  selberg2  27871  pntrsumo1  27885  selbergr  27888  pntibndlem2  27911  pntibndlem3  27912  pntlemb  27917  pntlemr  27922  pntlemf  27925  blocnilem  31399  minvecolem3  31471  itg2addnclem2  38570  fllogbd  49641