Theorem rpcnne0 12994

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12986	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 12992	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 512	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ℂcc 11110  0cc0 11112  ℝ⁺crp 12976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255  df-rp 12977

This theorem is referenced by:  rpcndif0  12995  mod0  13843  modlt  13847  modcyc  13873  modmuladdnn0  13882  moddi  13906  modirr  13909  aaliou3lem3  25864  aaliou3lem8  25865  reeff1o  25966  reeflog  26096  relogeftb  26100  rpcxpcl  26191  relogbcxp  26297  rlimcnp  26477  rlimcnp2  26478  divsqrtsumlem  26491  harmonicbnd4  26522  logfacrlim  26734  logexprlim  26735  vmadivsum  26992  dchrmusum2  27004  dchrvmasumlem2  27008  dchrvmasumiflem1  27011  dchrisum0lem2a  27027  mudivsum  27040  mulogsumlem  27041  mulog2sumlem2  27045  selberglem2  27056  selberg2lem  27060  selberg2  27061  pntrsumo1  27075  selbergr  27078  pntibndlem2  27101  pntibndlem3  27102  pntlemb  27107  pntlemr  27112  pntlemf  27115  blocnilem  30095  minvecolem3  30167  gg-icchmeo  35239  itg2addnclem2  36626  fllogbd  47324