Theorem rpcnne0 13046

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13038	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 13044	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 521	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ℂcc 11109  0cc0 11111  ℝ⁺crp 13027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-addrcl 11172  ax-rnegex 11182  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-rp 13028

This theorem is used by:  rpcndif0  13048  mod0  13922  modlt  13926  modcyc  13952  modmuladdnn0  13964  moddi  13988  modirr  13991  icchmeo  25129  aaliou3lem3  26536  aaliou3lem8  26537  reeff1o  26639  reeflog  26774  relogeftb  26778  rpcxpcl  26870  relogbcxp  26979  rlimcnp  27159  rlimcnp2  27160  divsqrtsumlem  27173  harmonicbnd4  27204  logfacrlim  27417  logexprlim  27418  vmadivsum  27675  dchrmusum2  27687  dchrvmasumlem2  27691  dchrvmasumiflem1  27694  dchrisum0lem2a  27710  mudivsum  27723  mulogsumlem  27724  mulog2sumlem2  27728  selberglem2  27739  selberg2lem  27743  selberg2  27744  pntrsumo1  27758  selbergr  27761  pntibndlem2  27784  pntibndlem3  27785  pntlemb  27790  pntlemr  27795  pntlemf  27798  blocnilem  31185  minvecolem3  31257  itg2addnclem2  38356  fllogbd  49373