Theorem rpcnne0 12757

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12749	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 12755	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 512	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944  ℂcc 10878  0cc0 10880  ℝ⁺crp 12739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-addrcl 10941  ax-rnegex 10951  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-rp 12740

This theorem is referenced by:  rpcndif0  12758  mod0  13605  modlt  13609  modcyc  13635  modmuladdnn0  13644  moddi  13668  modirr  13671  aaliou3lem3  25513  aaliou3lem8  25514  reeff1o  25615  reeflog  25745  relogeftb  25749  rpcxpcl  25840  relogbcxp  25944  rlimcnp  26124  rlimcnp2  26125  divsqrtsumlem  26138  harmonicbnd4  26169  logfacrlim  26381  logexprlim  26382  vmadivsum  26639  dchrmusum2  26651  dchrvmasumlem2  26655  dchrvmasumiflem1  26658  dchrisum0lem2a  26674  mudivsum  26687  mulogsumlem  26688  mulog2sumlem2  26692  selberglem2  26703  selberg2lem  26707  selberg2  26708  pntrsumo1  26722  selbergr  26725  pntibndlem2  26748  pntibndlem3  26749  pntlemb  26754  pntlemr  26759  pntlemf  26762  blocnilem  29175  minvecolem3  29247  itg2addnclem2  35838  fllogbd  45917