Theorem rpcnne0 13041

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13033	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 13039	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 520	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ℂcc 11104  0cc0 11106  ℝ⁺crp 13022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-rp 13023

This theorem is used by:  rpcndif0  13043  mod0  13916  modlt  13920  modcyc  13946  modmuladdnn0  13958  moddi  13982  modirr  13985  icchmeo  25111  aaliou3lem3  26518  aaliou3lem8  26519  reeff1o  26621  reeflog  26756  relogeftb  26760  rpcxpcl  26852  relogbcxp  26961  rlimcnp  27141  rlimcnp2  27142  divsqrtsumlem  27155  harmonicbnd4  27186  logfacrlim  27399  logexprlim  27400  vmadivsum  27657  dchrmusum2  27669  dchrvmasumlem2  27673  dchrvmasumiflem1  27676  dchrisum0lem2a  27692  mudivsum  27705  mulogsumlem  27706  mulog2sumlem2  27710  selberglem2  27721  selberg2lem  27725  selberg2  27726  pntrsumo1  27740  selbergr  27743  pntibndlem2  27766  pntibndlem3  27767  pntlemb  27772  pntlemr  27777  pntlemf  27780  blocnilem  31167  minvecolem3  31239  itg2addnclem2  38351  fllogbd  49368