Theorem rpcnne0 13032

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 13030	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ℂcc 11132  0cc0 11134  ℝ⁺crp 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-addrcl 11195  ax-rnegex 11205  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-rp 13014

This theorem is referenced by:  rpcndif0  13033  mod0  13898  modlt  13902  modcyc  13928  modmuladdnn0  13938  moddi  13962  modirr  13965  icchmeo  24894  aaliou3lem3  26309  aaliou3lem8  26310  reeff1o  26414  reeflog  26546  relogeftb  26550  rpcxpcl  26642  relogbcxp  26752  rlimcnp  26932  rlimcnp2  26933  divsqrtsumlem  26947  harmonicbnd4  26978  logfacrlim  27192  logexprlim  27193  vmadivsum  27450  dchrmusum2  27462  dchrvmasumlem2  27466  dchrvmasumiflem1  27469  dchrisum0lem2a  27485  mudivsum  27498  mulogsumlem  27499  mulog2sumlem2  27503  selberglem2  27514  selberg2lem  27518  selberg2  27519  pntrsumo1  27533  selbergr  27536  pntibndlem2  27559  pntibndlem3  27560  pntlemb  27565  pntlemr  27570  pntlemf  27573  blocnilem  30790  minvecolem3  30862  itg2addnclem2  37701  fllogbd  48507