Theorem rpcnne0 13053

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13045	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 13051	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ℂcc 11153  0cc0 11155  ℝ⁺crp 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-rp 13035

This theorem is referenced by:  rpcndif0  13054  mod0  13916  modlt  13920  modcyc  13946  modmuladdnn0  13956  moddi  13980  modirr  13983  icchmeo  24971  aaliou3lem3  26386  aaliou3lem8  26387  reeff1o  26491  reeflog  26622  relogeftb  26626  rpcxpcl  26718  relogbcxp  26828  rlimcnp  27008  rlimcnp2  27009  divsqrtsumlem  27023  harmonicbnd4  27054  logfacrlim  27268  logexprlim  27269  vmadivsum  27526  dchrmusum2  27538  dchrvmasumlem2  27542  dchrvmasumiflem1  27545  dchrisum0lem2a  27561  mudivsum  27574  mulogsumlem  27575  mulog2sumlem2  27579  selberglem2  27590  selberg2lem  27594  selberg2  27595  pntrsumo1  27609  selbergr  27612  pntibndlem2  27635  pntibndlem3  27636  pntlemb  27641  pntlemr  27646  pntlemf  27649  blocnilem  30823  minvecolem3  30895  itg2addnclem2  37679  fllogbd  48481