Theorem rpcnne0 12604

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 12602	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 515	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ℂcc 10727  0cc0 10729  ℝ⁺crp 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-addrcl 10790  ax-rnegex 10800  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-rp 12587

This theorem is referenced by:  rpcndif0  12605  mod0  13449  modlt  13453  modcyc  13479  modmuladdnn0  13488  moddi  13512  modirr  13515  aaliou3lem3  25237  aaliou3lem8  25238  reeff1o  25339  reeflog  25469  relogeftb  25473  rpcxpcl  25564  relogbcxp  25668  rlimcnp  25848  rlimcnp2  25849  divsqrtsumlem  25862  harmonicbnd4  25893  logfacrlim  26105  logexprlim  26106  vmadivsum  26363  dchrmusum2  26375  dchrvmasumlem2  26379  dchrvmasumiflem1  26382  dchrisum0lem2a  26398  mudivsum  26411  mulogsumlem  26412  mulog2sumlem2  26416  selberglem2  26427  selberg2lem  26431  selberg2  26432  pntrsumo1  26446  selbergr  26449  pntibndlem2  26472  pntibndlem3  26473  pntlemb  26478  pntlemr  26483  pntlemf  26486  blocnilem  28885  minvecolem3  28957  itg2addnclem2  35566  fllogbd  45579