Theorem rpcnne0 13027

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 13019	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 13025	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 510	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ℂcc 11138  0cc0 11140  ℝ⁺crp 13009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-addrcl 11201  ax-rnegex 11211  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285  df-rp 13010

This theorem is referenced by:  rpcndif0  13028  mod0  13877  modlt  13881  modcyc  13907  modmuladdnn0  13916  moddi  13940  modirr  13943  icchmeo  24909  aaliou3lem3  26324  aaliou3lem8  26325  reeff1o  26429  reeflog  26559  relogeftb  26563  rpcxpcl  26655  relogbcxp  26762  rlimcnp  26942  rlimcnp2  26943  divsqrtsumlem  26957  harmonicbnd4  26988  logfacrlim  27202  logexprlim  27203  vmadivsum  27460  dchrmusum2  27472  dchrvmasumlem2  27476  dchrvmasumiflem1  27479  dchrisum0lem2a  27495  mudivsum  27508  mulogsumlem  27509  mulog2sumlem2  27513  selberglem2  27524  selberg2lem  27528  selberg2  27529  pntrsumo1  27543  selbergr  27546  pntibndlem2  27569  pntibndlem3  27570  pntlemb  27575  pntlemr  27580  pntlemf  27583  blocnilem  30686  minvecolem3  30758  itg2addnclem2  37276  fllogbd  47819