Theorem rpcnne0 12408

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12400	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpne0 12406	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	jca 514	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ℂcc 10535  0cc0 10537  ℝ⁺crp 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-addrcl 10598  ax-rnegex 10608  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-rp 12391

This theorem is referenced by:  rpcndif0  12409  mod0  13245  modlt  13249  modcyc  13275  modmuladdnn0  13284  moddi  13308  modirr  13311  aaliou3lem3  24933  aaliou3lem8  24934  reeff1o  25035  reeflog  25164  relogeftb  25168  rpcxpcl  25259  relogbcxp  25363  rlimcnp  25543  rlimcnp2  25544  divsqrtsumlem  25557  harmonicbnd4  25588  logfacrlim  25800  logexprlim  25801  vmadivsum  26058  dchrmusum2  26070  dchrvmasumlem2  26074  dchrvmasumiflem1  26077  dchrisum0lem2a  26093  mudivsum  26106  mulogsumlem  26107  mulog2sumlem2  26111  selberglem2  26122  selberg2lem  26126  selberg2  26127  pntrsumo1  26141  selbergr  26144  pntibndlem2  26167  pntibndlem3  26168  pntlemb  26173  pntlemr  26178  pntlemf  26181  blocnilem  28581  minvecolem3  28653  itg2addnclem2  34959  fllogbd  44640