MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogbdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relogbdiv 25272
Description: The logarithm of the quotient of two positive real numbers is the difference of logarithms. Property 3 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by AV, 29-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relogbdiv ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb (𝐴 / 𝐶)) = ((𝐵 logb 𝐴) − (𝐵 logb 𝐶)))

Proof of Theorem relogbdiv
StepHypRef Expression
1 neg1rr 11744 . . 3 -1 ∈ ℝ
2 relogbmulexp 25271 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+ ∧ -1 ∈ ℝ)) → (𝐵 logb (𝐴 · (𝐶𝑐-1))) = ((𝐵 logb 𝐴) + (-1 · (𝐵 logb 𝐶))))
31, 2mp3anr3 1453 . 2 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb (𝐴 · (𝐶𝑐-1))) = ((𝐵 logb 𝐴) + (-1 · (𝐵 logb 𝐶))))
4 rpcn 12392 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 rpcn 12392 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℂ)
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
8 rpne0 12398 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ≠ 0)
98adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
105, 7, 9divrecd 11411 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
11 1cnd 10628 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
126, 8, 11cxpnegd 25213 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶𝑐-1) = (1 / (𝐶𝑐1)))
136cxp1d 25204 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶𝑐1) = 𝐶)
1413oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ+ → (1 / (𝐶𝑐1)) = (1 / 𝐶))
1512, 14eqtrd 2860 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐶𝑐-1) = (1 / 𝐶))
1615adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑐-1) = (1 / 𝐶))
1716oveq2d 7167 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 · (𝐶𝑐-1)) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
1810, 17eqtr4d 2863 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (𝐶𝑐-1)))
1918adantl 482 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (𝐶𝑐-1)))
2019oveq2d 7167 . 2 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 logb (𝐴 · (𝐶𝑐-1))))
21 rpcndif0 12401 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
2221adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
23 logbcl 25260 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb 𝐶) ∈ ℂ)
2422, 23sylan2 592 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb 𝐶) ∈ ℂ)
25 mulm1 11073 . . . . 5 ((𝐵 logb 𝐶) ∈ ℂ → (-1 · (𝐵 logb 𝐶)) = -(𝐵 logb 𝐶))
2625oveq2d 7167 . . . 4 ((𝐵 logb 𝐶) ∈ ℂ → ((𝐵 logb 𝐴) + (-1 · (𝐵 logb 𝐶))) = ((𝐵 logb 𝐴) + -(𝐵 logb 𝐶)))
2724, 26syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 logb 𝐴) + (-1 · (𝐵 logb 𝐶))) = ((𝐵 logb 𝐴) + -(𝐵 logb 𝐶)))
28 rpcndif0 12401 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
2928adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
30 logbcl 25260 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵 logb 𝐴) ∈ ℂ)
3129, 30sylan2 592 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb 𝐴) ∈ ℂ)
3231, 24negsubd 10995 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 logb 𝐴) + -(𝐵 logb 𝐶)) = ((𝐵 logb 𝐴) − (𝐵 logb 𝐶)))
3327, 32eqtr2d 2861 . 2 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 logb 𝐴) − (𝐵 logb 𝐶)) = ((𝐵 logb 𝐴) + (-1 · (𝐵 logb 𝐶))))
343, 20, 333eqtr4d 2870 1 ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 logb (𝐴 / 𝐶)) = ((𝐵 logb 𝐴) − (𝐵 logb 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  cdif 3936  {csn 4563  {cpr 4565  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  +crp 12382  𝑐ccxp 25054   logb clogb 25257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20455  df-xmet 20456  df-met 20457  df-bl 20458  df-mopn 20459  df-fbas 20460  df-fg 20461  df-cnfld 20464  df-top 21420  df-topon 21437  df-topsp 21459  df-bases 21472  df-cld 21545  df-ntr 21546  df-cls 21547  df-nei 21624  df-lp 21662  df-perf 21663  df-cn 21753  df-cnp 21754  df-haus 21841  df-tx 22088  df-hmeo 22281  df-fil 22372  df-fm 22464  df-flim 22465  df-flf 22466  df-xms 22847  df-ms 22848  df-tms 22849  df-cncf 23403  df-limc 24381  df-dv 24382  df-log 25055  df-cxp 25056  df-logb 25258
This theorem is referenced by:  relogbdivb  44456
  Copyright terms: Public domain W3C validator