Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmlemALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmlemALT 47240
Description: Alternate proof of amgmlem 26339 using amgmwlem 47239. (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmlemALT.0 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmlemALT.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
amgmlemALT.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
amgmlemALT.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgmlemALT (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlemALT
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 amgmlemALT.0 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2 amgmlemALT.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 amgmlemALT.2 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
4 amgmlemALT.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
5 hashnncl 14266 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
62, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
73, 6mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
87nnrpd 12955 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
98rpreccld 12967 . . . 4 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
10 fconst6g 6731 . . . 4 ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
12 fconstmpt 5694 . . . . . 6 (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
1413oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))))
157nnrecred 12204 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
1615recnd 11183 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
17 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
18 simplr 767 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
1917, 18gsumfsum 20864 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
202, 16, 19syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
21 fsumconst 15675 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
222, 16, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
237nncnd 12169 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
247nnne0d 12203 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2523, 24recidd 11926 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
2622, 25eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = 1)
2714, 20, 263eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
281, 2, 3, 4, 11, 27amgmwlem 47239 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ≤ (ℂfld Σg (𝐹f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
29 rpssre 12922 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
30 ax-resscn 11108 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
3129, 30sstri 3953 . . . . 5 + ⊆ ℂ
32 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑀s+) = (𝑀s+)
33 cnfldbas 20800 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
341, 33mgpbas 19902 . . . . . 6 ℂ = (Base‘𝑀)
3532, 34ressbas2 17120 . . . . 5 (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
3631, 35ax-mp 5 . . . 4 + = (Base‘(𝑀s+))
37 cnfld1 20822 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
381, 37ringidval 19915 . . . . 5 1 = (0g𝑀)
391oveq1i 7367 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
4039rpmsubg 20861 . . . . . . . . 9 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
41 subgsubm 18950 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
43 cnring 20819 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
44 cnfld0 20821 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℂfld)
45 cndrng 20826 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ DivRing
4633, 44, 45drngui 20191 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
4746, 1unitsubm 20099 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
4843, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
49 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
5049subsubm 18627 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
5242, 51mpbi 229 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
5352simpli 484 . . . . . 6 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
54 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
5532, 54subm0 18626 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+)))
5653, 55ax-mp 5 . . . . 5 (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+))
5738, 56eqtri 2764 . . . 4 1 = (0g‘(𝑀s+))
58 cncrng 20818 . . . . . 6 fld ∈ CRing
591crngmgp 19972 . . . . . 6 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
6058, 59ax-mp 5 . . . . 5 𝑀 ∈ CMnd
6132submmnd 18624 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
6253, 61mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
6332subcmn 19615 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
6460, 62, 63sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
65 reex 11142 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6665, 29ssexi 5279 . . . . . . 7 + ∈ V
67 cnfldmul 20802 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
681, 67mgpplusg 19900 . . . . . . . 8 · = (+g𝑀)
6932, 68ressplusg 17171 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ V → · = (+g‘(𝑀s+)))
7066, 69ax-mp 5 . . . . . 6 · = (+g‘(𝑀s+))
71 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
7271rpmsubg 20861 . . . . . . 7 + ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
731oveq1i 7367 . . . . . . . . 9 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
74 cnex 11132 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
75 difss 4091 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
7674, 75ssexi 5279 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
77 rpcndif0 12934 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
7877ssriv 3948 . . . . . . . . . 10 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
79 ressabs 17130 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+))
8076, 78, 79mp2an 690 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
8173, 80eqtr4i 2767 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+)
8281subggrp 18931 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑀s+) ∈ Grp)
8372, 82mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Grp)
84 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℝ+)
8515adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
8684, 85rpcxpcld 26087 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
87 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
8886, 87fmptd 7062 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):ℝ+⟶ℝ+)
89 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9089rprege0d 12964 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
91 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
9291rprege0d 12964 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
9316adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
94 mulcxp 26040 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
9590, 92, 93, 94syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
96 rpmulcl 12938 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9796adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
98 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
99 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ V
10098, 87, 99fvmpt3i 6953 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
10197, 100syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
102 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
103102, 87, 99fvmpt3i 6953 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
10489, 103syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
105 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
106105, 87, 99fvmpt3i 6953 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
10791, 106syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
108104, 107oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)) = ((𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
10995, 101, 1083eqtr4d 2786 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)))
11036, 36, 70, 70, 83, 83, 88, 109isghmd 19017 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)))
111 ghmmhm 19018 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)) → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
112110, 111syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
113 1red 11156 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1144, 2, 113fdmfifsupp 9315 . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 1)
11536, 57, 64, 62, 2, 112, 4, 114gsummhm 19715 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
11653a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
1174ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
11815adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
119117, 118rpcxpcld 26087 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
120 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
121119, 120fmptd 7062 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):𝐴⟶ℝ+)
1222, 116, 121, 32gsumsubm 18645 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
1239adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1244feqmptd 6910 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
1252, 117, 123, 124, 13offval2 7637 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
126125oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
127102cbvmptv 5218 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
128127a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
129 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
130117, 124, 128, 129fmptco 7075 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
131130oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
132122, 126, 1313eqtr4rd 2787 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
13336, 57, 64, 2, 4, 114gsumcl 19692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
134 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑘 = ((𝑀s+) Σg 𝐹) → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
135134, 87, 99fvmpt3i 6953 . . . . 5 (((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
136133, 135syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
1372, 116, 4, 32gsumsubm 18645 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀s+) Σg 𝐹))
138137oveq1d 7372 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
139136, 138eqtr4d 2779 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
140115, 132, 1393eqtr3d 2784 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
141117rpcnd 12959 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1422, 141fsumcl 15618 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
143142, 23, 24divrecd 11934 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
1442, 16, 141fsummulc1 15670 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
145143, 144eqtr2d 2777 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (♯‘𝐴)))
14616adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
147141, 146mulcld 11175 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℂ)
1482, 147gsumfsum 20864 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
1492, 141gsumfsum 20864 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
150149oveq1d 7372 . . . 4 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (♯‘𝐴)))
151145, 148, 1503eqtr4d 2786 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (♯‘𝐴)))
1522, 117, 146, 124, 13offval2 7637 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴)))))
153152oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))))
154124oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))))
155154oveq1d 7372 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (♯‘𝐴)))
156151, 153, 1553eqtr4d 2786 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
15728, 140, 1563brtr3d 5136 1 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  cle 11190   / cdiv 11812  cn 12153  +crp 12915  chash 14230  Σcsu 15570  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  SubMndcsubmnd 18600  Grpcgrp 18748  SubGrpcsubg 18922   GrpHom cghm 19005  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  fldccnfld 20796  𝑐ccxp 25911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-refld 21009  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator