Theorem amgmlemALT 50708

Description: Alternate proof of amgmlem 27205 using amgmwlem 50707. (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgmlemALT.0	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmlemALT.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
amgmlemALT.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
amgmlemALT.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgmlemALT	⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlemALT

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		amgmlemALT.0	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2		amgmlemALT.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		amgmlemALT.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4		amgmlemALT.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
5		hashnncl 14420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	2, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	3, 6	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 13074	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
9	8	rpreccld 13086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
10		fconst6g 6771	. . . 4 ⊢ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
12		fconstmpt 5725	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
14	13	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))))
15	7	nnrecred 12302	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
17		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
18		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	17, 18	gsumfsum 21634	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
20	2, 16, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
21		fsumconst 15864	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
22	2, 16, 21	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
23	7	nncnd 12264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
24	7	nnne0d 12301	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
25	23, 24	recidd 12001	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
26	22, 25	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = 1)
27	14, 20, 26	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
28	1, 2, 3, 4, 11, 27	amgmwlem 50707	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ≤ (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
29		rpssre 13040	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
30		ax-resscn 11172	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
31	29, 30	sstri 3947	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
32		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (𝑀 ↾s ℝ+)
33		cnfldbas 21576	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
34	1, 33	mgpbas 20265	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
35	32, 34	ressbas2 17320	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+))
37		cnfld1 21597	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
38	1, 37	ringidval 20309	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
39	1	oveq1i 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
40	39	rpmsubg 21631	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
41		subgsubm 19259	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
43		cnring 21594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
44		cnfld0 21596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
45		cndrng 21601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
46	33, 44, 45	drngui 20883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
47	46, 1	unitsubm 20514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
48	43, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
49		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
50	49	subsubm 18912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
51	48, 50	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
52	42, 51	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
53	52	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀)
54		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
55	32, 54	subm0 18911	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
56	53, 55	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
57	38, 56	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
58		cncrng 21593	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CRing
59	1	crngmgp 20367	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ CMnd
61	32	submmnd 18909	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
62	53, 61	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
63	32	subcmn 19951	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
64	60, 62, 63	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
65		reex 11206	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
66	65, 29	ssexi 5295	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ∈ V
67		cnfldmul 21580	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
68	1, 67	mgpplusg 20264	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘𝑀)
69	32, 68	ressplusg 17366	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ V → · = (+g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
70	66, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
71		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
72	71	rpmsubg 21631	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
73	1	oveq1i 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
74		cnex 11196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
75		difss 4090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
76	74, 75	ssexi 5295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
77		rpcndif0 13053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
78	77	ssriv 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})
79		ressabs 17330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+))
80	76, 78, 79	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
81	73, 80	eqtr4i 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+)
82	81	subggrp 19239	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Grp)
83	72, 82	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Grp)
84		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℝ+)
85	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
86	84, 85	rpcxpcld 26949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
87		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
88	86, 87	fmptd 7113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):ℝ+⟶ℝ+)
89		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
90	89	rprege0d 13083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
91		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
92	91	rprege0d 13083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
93	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
94		mulcxp 26901	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
95	90, 92, 93, 94	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
96		rpmulcl 13057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
97	96	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
98		oveq1 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
99		ovex 7452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ V
100	98, 87, 99	fvmpt3i 6999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
101	97, 100	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
102		oveq1 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
103	102, 87, 99	fvmpt3i 6999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
104	89, 103	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
105		oveq1 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
106	105, 87, 99	fvmpt3i 6999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
107	91, 106	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
108	104, 107	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
109	95, 101, 108	3eqtr4d 2810	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)))
110	36, 36, 70, 70, 83, 83, 88, 109	isghmd 19339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
111		ghmmhm 19340	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom (𝑀 ↾s ℝ+)) → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
112	110, 111	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
113		1red 11224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
114	4, 2, 113	fdmfifsupp 9342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1)
115	36, 57, 64, 62, 2, 112, 4, 114	gsummhm 20052	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)))
116	53	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
117	4	ffvelcdmda 7083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
118	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
119	117, 118	rpcxpcld 26949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
120		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
121	119, 120	fmptd 7113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):𝐴⟶ℝ+)
122	2, 116, 121, 32	gsumsubm 18931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
123	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
124	4	feqmptd 6953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
125	2, 117, 123, 124, 13	offval2 7704	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
126	125	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
127	102	cbvmptv 5217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
128	127	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
129		oveq1 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
130	117, 124, 128, 129	fmptco 7129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
131	130	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
132	122, 126, 131	3eqtr4rd 2811	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
133	36, 57, 64, 2, 4, 114	gsumcl 20029	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
134		oveq1 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
135	134, 87, 99	fvmpt3i 6999	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
136	133, 135	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
137	2, 116, 4, 32	gsumsubm 18931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹))
138	137	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
139	136, 138	eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
140	115, 132, 139	3eqtr3d 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
141	117	rpcnd 13078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
142	2, 141	fsumcl 15807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
143	142, 23, 24	divrecd 12009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
144	2, 16, 141	fsummulc1 15859	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
145	143, 144	eqtr2d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)))
146	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
147	141, 146	mulcld 11244	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℂ)
148	2, 147	gsumfsum 21634	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
149	2, 141	gsumfsum 21634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))
150	149	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)))
151	145, 148, 150	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)))
152	2, 117, 146, 124, 13	offval2 7704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴)))))
153	152	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))))
154	124	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
155	154	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)))
156	151, 153, 155	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
157	28, 140, 156	3brtr3d 5144	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682  Fincfn 8949  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   · cmul 11120   ≤ cle 11259   / cdiv 11886  ℕcn 12248  ℝ⁺crp 13032  ♯chash 14384  Σcsu 15761  Basecbs 17291   ↾_s cress 17312  +_gcplusg 17332  0_gc0g 17514   Σ_g cgsu 17515  Mndcmnd 18824   MndHom cmhm 18876  SubMndcsubmnd 18877  Grpcgrp 19044  SubGrpcsubg 19230   GrpHom cghm 19327  CMndccmn 19894  mulGrpcmgp 20260  Ringcrg 20359  CRingccrg 20360  ℂ_fldccnfld 21572  ↑_𝑐ccxp 26771

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194  ax-mulf 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-bc 14357  df-hash 14385  df-shft 15128  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-limsup 15546  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-ef 16143  df-sin 16145  df-cos 16146  df-pi 16148  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-gim 19373  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-drng 20879  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-refld 21805  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-lp 23343  df-perf 23344  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-haus 23522  df-cmp 23594  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-cncf 25088  df-limc 26076  df-dv 26077  df-log 26772  df-cxp 26773

This theorem is used by: (None)