Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmlemALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmlemALT 43137
Description: Alternate proof of amgmlem 24952 using amgmwlem 43136. (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmlemALT.0 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmlemALT.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
amgmlemALT.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
amgmlemALT.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgmlemALT (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlemALT
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 amgmlemALT.0 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2 amgmlemALT.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 amgmlemALT.2 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
4 amgmlemALT.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
5 hashnncl 13394 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
62, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
73, 6mpbird 248 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
87nnrpd 12103 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
98rpreccld 12115 . . . 4 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
10 fconst6g 6318 . . . 4 ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
12 fconstmpt 5376 . . . . . 6 (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
1413oveq2d 6899 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))))
157nnrecred 11363 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
1615recnd 10362 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
17 simpl 470 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
18 simplr 776 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
1917, 18gsumfsum 20040 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
202, 16, 19syl2anc 575 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
21 fsumconst 14763 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
222, 16, 21syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
237nncnd 11332 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
247nnne0d 11362 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2523, 24recidd 11090 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
2622, 25eqtrd 2851 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = 1)
2714, 20, 263eqtrd 2855 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
281, 2, 3, 4, 11, 27amgmwlem 43136 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ≤ (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
29 rpssre 12076 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
30 ax-resscn 10287 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
3129, 30sstri 3818 . . . . 5 + ⊆ ℂ
32 eqid 2817 . . . . . 6 (𝑀s+) = (𝑀s+)
33 cnfldbas 19977 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
341, 33mgpbas 18716 . . . . . 6 ℂ = (Base‘𝑀)
3532, 34ressbas2 16161 . . . . 5 (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
3631, 35ax-mp 5 . . . 4 + = (Base‘(𝑀s+))
37 cnfld1 19998 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
381, 37ringidval 18724 . . . . 5 1 = (0g𝑀)
391oveq1i 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
4039rpmsubg 20037 . . . . . . . . 9 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
41 subgsubm 17837 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
43 cnring 19995 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
44 cnfld0 19997 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℂfld)
45 cndrng 20002 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ DivRing
4633, 44, 45drngui 18976 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
4746, 1unitsubm 18891 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
4843, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
49 eqid 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
5049subsubm 17581 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
5242, 51mpbi 221 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
5352simpli 472 . . . . . 6 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
54 eqid 2817 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
5532, 54subm0 17580 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+)))
5653, 55ax-mp 5 . . . . 5 (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+))
5738, 56eqtri 2839 . . . 4 1 = (0g‘(𝑀s+))
58 cncrng 19994 . . . . . 6 fld ∈ CRing
591crngmgp 18776 . . . . . 6 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
6058, 59ax-mp 5 . . . . 5 𝑀 ∈ CMnd
6132submmnd 17578 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
6253, 61mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
6332subcmn 18462 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
6460, 62, 63sylancr 577 . . . 4 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
65 reex 10321 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6665, 29ssexi 5011 . . . . . . 7 + ∈ V
67 cnfldmul 19979 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
681, 67mgpplusg 18714 . . . . . . . 8 · = (+g𝑀)
6932, 68ressplusg 16223 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ V → · = (+g‘(𝑀s+)))
7066, 69ax-mp 5 . . . . . 6 · = (+g‘(𝑀s+))
71 eqid 2817 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
7271rpmsubg 20037 . . . . . . 7 + ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
731oveq1i 6893 . . . . . . . . 9 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
74 cnex 10311 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
75 difss 3947 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
7674, 75ssexi 5011 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
77 rpcndif0 12084 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
7877ssriv 3813 . . . . . . . . . 10 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
79 ressabs 16170 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+))
8076, 78, 79mp2an 675 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
8173, 80eqtr4i 2842 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+)
8281subggrp 17818 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑀s+) ∈ Grp)
8372, 82mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Grp)
84 simpr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℝ+)
8515adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
8684, 85rpcxpcld 24712 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
87 eqid 2817 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
8886, 87fmptd 6615 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):ℝ+⟶ℝ+)
89 simprl 778 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9089rprege0d 12112 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
91 simprr 780 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
9291rprege0d 12112 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
9316adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
94 mulcxp 24667 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
9590, 92, 93, 94syl3anc 1483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
96 rpmulcl 12088 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9796adantl 469 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
98 oveq1 6890 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
99 ovex 6915 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ V
10098, 87, 99fvmpt3i 6517 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
10197, 100syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
102 oveq1 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
103102, 87, 99fvmpt3i 6517 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
10489, 103syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
105 oveq1 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
106105, 87, 99fvmpt3i 6517 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
10791, 106syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
108104, 107oveq12d 6901 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)) = ((𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
10995, 101, 1083eqtr4d 2861 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)))
11036, 36, 70, 70, 83, 83, 88, 109isghmd 17890 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)))
111 ghmmhm 17891 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)) → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
112110, 111syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
113 1red 10335 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1144, 2, 113fdmfifsupp 8533 . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 1)
11536, 57, 64, 62, 2, 112, 4, 114gsummhm 18558 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
11653a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
1174ffvelrnda 6590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
11815adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
119117, 118rpcxpcld 24712 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
120 eqid 2817 . . . . . 6 (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
121119, 120fmptd 6615 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):𝐴⟶ℝ+)
1222, 116, 121, 32gsumsubm 17597 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
1239adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1244feqmptd 6479 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
1252, 117, 123, 124, 13offval2 7153 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
126125oveq2d 6899 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
127102cbvmptv 4955 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
128127a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
129 oveq1 6890 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
130117, 124, 128, 129fmptco 6628 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
131130oveq2d 6899 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
132122, 126, 1313eqtr4rd 2862 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
13336, 57, 64, 2, 4, 114gsumcl 18536 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
134 oveq1 6890 . . . . . 6 (𝑘 = ((𝑀s+) Σg 𝐹) → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
135134, 87, 99fvmpt3i 6517 . . . . 5 (((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
136133, 135syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
1372, 116, 4, 32gsumsubm 17597 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀s+) Σg 𝐹))
138137oveq1d 6898 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
139136, 138eqtr4d 2854 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
140115, 132, 1393eqtr3d 2859 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹𝑓𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
141117rpcnd 12107 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1422, 141fsumcl 14706 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
143142, 23, 24divrecd 11098 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
1442, 16, 141fsummulc1 14758 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
145143, 144eqtr2d 2852 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (♯‘𝐴)))
14616adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
147141, 146mulcld 10354 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℂ)
1482, 147gsumfsum 20040 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
1492, 141gsumfsum 20040 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
150149oveq1d 6898 . . . 4 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (♯‘𝐴)))
151145, 148, 1503eqtr4d 2861 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (♯‘𝐴)))
1522, 117, 146, 124, 13offval2 7153 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴)))))
153152oveq2d 6899 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))))
154124oveq2d 6899 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))))
155154oveq1d 6898 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (♯‘𝐴)))
156151, 153, 1553eqtr4d 2861 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹𝑓 · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
15728, 140, 1563brtr3d 4886 1 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  Vcvv 3402  cdif 3777  wss 3780  c0 4127  {csn 4381   class class class wbr 4855  cmpt 4934   × cxp 5322  ccom 5328  wf 6106  cfv 6110  (class class class)co 6883  𝑓 cof 7134  Fincfn 8201  cc 10228  cr 10229  0cc0 10230  1c1 10231   · cmul 10235  cle 10369   / cdiv 10978  cn 11314  +crp 12065  chash 13356  Σcsu 14658  Basecbs 16087  s cress 16088  +gcplusg 16172  0gc0g 16324   Σg cgsu 16325  Mndcmnd 17518   MndHom cmhm 17557  SubMndcsubmnd 17558  Grpcgrp 17646  SubGrpcsubg 17809   GrpHom cghm 17878  CMndccmn 18413  mulGrpcmgp 18710  Ringcrg 18768  CRingccrg 18769  fldccnfld 19973  𝑐ccxp 24538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-inf2 8794  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307  ax-pre-sup 10308  ax-addf 10309  ax-mulf 10310
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-isom 6119  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-of 7136  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-supp 7539  df-tpos 7596  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-2o 7806  df-oadd 7809  df-er 7988  df-map 8103  df-pm 8104  df-ixp 8155  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-fsupp 8524  df-fi 8565  df-sup 8596  df-inf 8597  df-oi 8663  df-card 9057  df-cda 9284  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10979  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11579  df-z 11663  df-dec 11779  df-uz 11924  df-q 12027  df-rp 12066  df-xneg 12181  df-xadd 12182  df-xmul 12183  df-ioo 12416  df-ioc 12417  df-ico 12418  df-icc 12419  df-fz 12569  df-fzo 12709  df-fl 12836  df-mod 12912  df-seq 13044  df-exp 13103  df-fac 13300  df-bc 13329  df-hash 13357  df-shft 14049  df-cj 14081  df-re 14082  df-im 14083  df-sqrt 14217  df-abs 14218  df-limsup 14444  df-clim 14461  df-rlim 14462  df-sum 14659  df-ef 15037  df-sin 15039  df-cos 15040  df-pi 15042  df-struct 16089  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-sets 16094  df-ress 16095  df-plusg 16185  df-mulr 16186  df-starv 16187  df-sca 16188  df-vsca 16189  df-ip 16190  df-tset 16191  df-ple 16192  df-ds 16194  df-unif 16195  df-hom 16196  df-cco 16197  df-rest 16307  df-topn 16308  df-0g 16326  df-gsum 16327  df-topgen 16328  df-pt 16329  df-prds 16332  df-xrs 16386  df-qtop 16391  df-imas 16392  df-xps 16394  df-mre 16470  df-mrc 16471  df-acs 16473  df-mgm 17466  df-sgrp 17508  df-mnd 17519  df-mhm 17559  df-submnd 17560  df-grp 17649  df-minusg 17650  df-mulg 17765  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-gim 17922  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-cring 18771  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-unit 18863  df-invr 18893  df-dvr 18904  df-drng 18972  df-subrg 19001  df-psmet 19965  df-xmet 19966  df-met 19967  df-bl 19968  df-mopn 19969  df-fbas 19970  df-fg 19971  df-cnfld 19974  df-refld 20179  df-top 20932  df-topon 20949  df-topsp 20971  df-bases 20984  df-cld 21057  df-ntr 21058  df-cls 21059  df-nei 21136  df-lp 21174  df-perf 21175  df-cn 21265  df-cnp 21266  df-haus 21353  df-cmp 21424  df-tx 21599  df-hmeo 21792  df-fil 21883  df-fm 21975  df-flim 21976  df-flf 21977  df-xms 22358  df-ms 22359  df-tms 22360  df-cncf 22914  df-limc 23866  df-dv 23867  df-log 24539  df-cxp 24540
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator