Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmlemALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmlemALT 49033
Description: Alternate proof of amgmlem 27047 using amgmwlem 49032. (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmlemALT.0 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmlemALT.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
amgmlemALT.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
amgmlemALT.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgmlemALT (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlemALT
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 amgmlemALT.0 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2 amgmlemALT.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 amgmlemALT.2 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
4 amgmlemALT.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
5 hashnncl 14401 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
62, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
73, 6mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
87nnrpd 13072 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
98rpreccld 13084 . . . 4 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
10 fconst6g 6797 . . . 4 ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
12 fconstmpt 5750 . . . . . 6 (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
1413oveq2d 7446 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))))
157nnrecred 12314 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
1615recnd 11286 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
17 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
18 simplr 769 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
1917, 18gsumfsum 21469 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
202, 16, 19syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
21 fsumconst 15822 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
222, 16, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
237nncnd 12279 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
247nnne0d 12313 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2523, 24recidd 12035 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
2622, 25eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = 1)
2714, 20, 263eqtrd 2778 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
281, 2, 3, 4, 11, 27amgmwlem 49032 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ≤ (ℂfld Σg (𝐹f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
29 rpssre 13039 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
30 ax-resscn 11209 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
3129, 30sstri 4004 . . . . 5 + ⊆ ℂ
32 eqid 2734 . . . . . 6 (𝑀s+) = (𝑀s+)
33 cnfldbas 21385 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
341, 33mgpbas 20157 . . . . . 6 ℂ = (Base‘𝑀)
3532, 34ressbas2 17282 . . . . 5 (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
3631, 35ax-mp 5 . . . 4 + = (Base‘(𝑀s+))
37 cnfld1 21423 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
381, 37ringidval 20200 . . . . 5 1 = (0g𝑀)
391oveq1i 7440 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
4039rpmsubg 21466 . . . . . . . . 9 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
41 subgsubm 19178 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
43 cnring 21420 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
44 cnfld0 21422 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℂfld)
45 cndrng 21428 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ DivRing
4633, 44, 45drngui 20751 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
4746, 1unitsubm 20402 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
4843, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
49 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
5049subsubm 18841 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
5242, 51mpbi 230 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
5352simpli 483 . . . . . 6 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
54 eqid 2734 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
5532, 54subm0 18840 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+)))
5653, 55ax-mp 5 . . . . 5 (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+))
5738, 56eqtri 2762 . . . 4 1 = (0g‘(𝑀s+))
58 cncrng 21418 . . . . . 6 fld ∈ CRing
591crngmgp 20258 . . . . . 6 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
6058, 59ax-mp 5 . . . . 5 𝑀 ∈ CMnd
6132submmnd 18838 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
6253, 61mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
6332subcmn 19869 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
6460, 62, 63sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
65 reex 11243 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6665, 29ssexi 5327 . . . . . . 7 + ∈ V
67 cnfldmul 21389 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
681, 67mgpplusg 20155 . . . . . . . 8 · = (+g𝑀)
6932, 68ressplusg 17335 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ V → · = (+g‘(𝑀s+)))
7066, 69ax-mp 5 . . . . . 6 · = (+g‘(𝑀s+))
71 eqid 2734 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
7271rpmsubg 21466 . . . . . . 7 + ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
731oveq1i 7440 . . . . . . . . 9 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
74 cnex 11233 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
75 difss 4145 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
7674, 75ssexi 5327 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
77 rpcndif0 13051 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
7877ssriv 3998 . . . . . . . . . 10 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
79 ressabs 17294 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+))
8076, 78, 79mp2an 692 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
8173, 80eqtr4i 2765 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+)
8281subggrp 19159 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑀s+) ∈ Grp)
8372, 82mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Grp)
84 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℝ+)
8515adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
8684, 85rpcxpcld 26789 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
87 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
8886, 87fmptd 7133 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):ℝ+⟶ℝ+)
89 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9089rprege0d 13081 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
91 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
9291rprege0d 13081 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
9316adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
94 mulcxp 26741 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
9590, 92, 93, 94syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
96 rpmulcl 13055 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9796adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
98 oveq1 7437 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
99 ovex 7463 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ V
10098, 87, 99fvmpt3i 7020 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
10197, 100syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
102 oveq1 7437 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
103102, 87, 99fvmpt3i 7020 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
10489, 103syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
105 oveq1 7437 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
106105, 87, 99fvmpt3i 7020 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
10791, 106syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
108104, 107oveq12d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)) = ((𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
10995, 101, 1083eqtr4d 2784 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)))
11036, 36, 70, 70, 83, 83, 88, 109isghmd 19255 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)))
111 ghmmhm 19256 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)) → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
112110, 111syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
113 1red 11259 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1144, 2, 113fdmfifsupp 9412 . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 1)
11536, 57, 64, 62, 2, 112, 4, 114gsummhm 19970 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
11653a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
1174ffvelcdmda 7103 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
11815adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
119117, 118rpcxpcld 26789 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
120 eqid 2734 . . . . . 6 (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
121119, 120fmptd 7133 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):𝐴⟶ℝ+)
1222, 116, 121, 32gsumsubm 18860 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
1239adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1244feqmptd 6976 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
1252, 117, 123, 124, 13offval2 7716 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
126125oveq2d 7446 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
127102cbvmptv 5260 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
128127a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
129 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
130117, 124, 128, 129fmptco 7148 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
131130oveq2d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
132122, 126, 1313eqtr4rd 2785 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
13336, 57, 64, 2, 4, 114gsumcl 19947 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
134 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑘 = ((𝑀s+) Σg 𝐹) → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
135134, 87, 99fvmpt3i 7020 . . . . 5 (((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
136133, 135syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
1372, 116, 4, 32gsumsubm 18860 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀s+) Σg 𝐹))
138137oveq1d 7445 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
139136, 138eqtr4d 2777 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
140115, 132, 1393eqtr3d 2782 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
141117rpcnd 13076 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1422, 141fsumcl 15765 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
143142, 23, 24divrecd 12043 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
1442, 16, 141fsummulc1 15817 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
145143, 144eqtr2d 2775 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (♯‘𝐴)))
14616adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
147141, 146mulcld 11278 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℂ)
1482, 147gsumfsum 21469 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
1492, 141gsumfsum 21469 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
150149oveq1d 7445 . . . 4 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (♯‘𝐴)))
151145, 148, 1503eqtr4d 2784 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (♯‘𝐴)))
1522, 117, 146, 124, 13offval2 7716 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴)))))
153152oveq2d 7446 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))))
154124oveq2d 7446 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))))
155154oveq1d 7445 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (♯‘𝐴)))
156151, 153, 1553eqtr4d 2784 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
15728, 140, 1563brtr3d 5178 1 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  cdif 3959  wss 3962  c0 4338  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  cle 11293   / cdiv 11917  cn 12263  +crp 13031  chash 14365  Σcsu 15718  Basecbs 17244  s cress 17273  +gcplusg 17297  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18759   MndHom cmhm 18806  SubMndcsubmnd 18807  Grpcgrp 18963  SubGrpcsubg 19150   GrpHom cghm 19242  CMndccmn 19812  mulGrpcmgp 20151  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  fldccnfld 21381  𝑐ccxp 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-refld 21640  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator