Theorem amgmlemALT 51416

Description: Alternate proof of amgmlem 27374 using amgmwlem 51415. (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgmlemALT.0	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmlemALT.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
amgmlemALT.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
amgmlemALT.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgmlemALT	⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlemALT

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		amgmlemALT.0	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2		amgmlemALT.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		amgmlemALT.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4		amgmlemALT.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
5		hashnncl 14551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	2, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	3, 6	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 13202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
9	8	rpreccld 13214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
10		fconst6g 6801	. . . 4 ⊢ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
12		fconstmpt 5720	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
14	13	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))))
15	7	nnrecred 12429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
17		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
18		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	17, 18	gsumfsum 21794	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
20	2, 16, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
21		fsumconst 16000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
22	2, 16, 21	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
23	7	nncnd 12391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
24	7	nnne0d 12428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
25	23, 24	recidd 12128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
26	22, 25	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = 1)
27	14, 20, 26	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
28	1, 2, 3, 4, 11, 27	amgmwlem 51415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ≤ (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
29		rpssre 13168	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
30		ax-resscn 11296	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
31	29, 30	sstri 3922	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
32		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (𝑀 ↾s ℝ+)
33		cnfldbas 21733	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
34	1, 33	mgpbas 20416	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
35	32, 34	ressbas2 17460	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+))
37		cnfld1 21755	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
38	1, 37	ringidval 20460	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
39	1	oveq1i 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
40	39	rpmsubg 21791	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
41		subgsubm 19409	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
43		cnring 21752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
44		cnfld0 21754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
45		cndrng 21759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
46	33, 44, 45	drngui 21037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
47	46, 1	unitsubm 20667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
48	43, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
49		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
50	49	subsubm 19062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
51	48, 50	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
52	42, 51	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
53	52	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀)
54		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
55	32, 54	subm0 19061	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
56	53, 55	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
57	38, 56	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
58		cncrng 21751	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CRing
59	1	crngmgp 20518	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ CMnd
61	32	submmnd 19059	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
62	53, 61	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
63	32	subcmn 20102	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
64	60, 62, 63	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
65		reex 11330	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
66	65, 29	ssexi 5291	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ∈ V
67		cnfldmul 21737	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
68	1, 67	mgpplusg 20415	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘𝑀)
69	32, 68	ressplusg 17508	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ V → · = (+g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
70	66, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
71		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
72	71	rpmsubg 21791	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
73	1	oveq1i 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
74		cnex 11320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
75		difss 4075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
76	74, 75	ssexi 5291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
77		rpcndif0 13181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
78	77	ssriv 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})
79		ressabs 17470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+))
80	76, 78, 79	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
81	73, 80	eqtr4i 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+)
82	81	subggrp 19389	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Grp)
83	72, 82	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Grp)
84		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℝ+)
85	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
86	84, 85	rpcxpcld 27118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
87		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
88	86, 87	fmptd 7146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):ℝ+⟶ℝ+)
89		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
90	89	rprege0d 13211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
91		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
92	91	rprege0d 13211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
93	16	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
94		mulcxp 27070	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
95	90, 92, 93, 94	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
96		rpmulcl 13185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
97	96	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
98		oveq1 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
99		ovex 7484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ V
100	98, 87, 99	fvmpt3i 7030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
101	97, 100	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
102		oveq1 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
103	102, 87, 99	fvmpt3i 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
104	89, 103	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
105		oveq1 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
106	105, 87, 99	fvmpt3i 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
107	91, 106	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
108	104, 107	oveq12d 7469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
109	95, 101, 108	3eqtr4d 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)))
110	36, 36, 70, 70, 83, 83, 88, 109	isghmd 19489	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
111		ghmmhm 19490	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom (𝑀 ↾s ℝ+)) → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
112	110, 111	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
113		1red 11348	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
114	4, 2, 113	fdmfifsupp 9404	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1)
115	36, 57, 64, 62, 2, 112, 4, 114	gsummhm 20203	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)))
116	53	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
117	4	ffvelcdmda 7116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
118	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
119	117, 118	rpcxpcld 27118	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
120		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
121	119, 120	fmptd 7146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):𝐴⟶ℝ+)
122	2, 116, 121, 32	gsumsubm 19081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
123	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
124	4	feqmptd 6984	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
125	2, 117, 123, 124, 13	offval2 7745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
126	125	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
127	102	cbvmptv 5215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
128	127	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
129		oveq1 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
130	117, 124, 128, 129	fmptco 7162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
131	130	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
132	122, 126, 131	3eqtr4rd 2809	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
133	36, 57, 64, 2, 4, 114	gsumcl 20180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
134		oveq1 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
135	134, 87, 99	fvmpt3i 7030	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
136	133, 135	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
137	2, 116, 4, 32	gsumsubm 19081	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹))
138	137	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
139	136, 138	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
140	115, 132, 139	3eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
141	117	rpcnd 13206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
142	2, 141	fsumcl 15943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
143	142, 23, 24	divrecd 12136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
144	2, 16, 141	fsummulc1 15995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
145	143, 144	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)))
146	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
147	141, 146	mulcld 11368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℂ)
148	2, 147	gsumfsum 21794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
149	2, 141	gsumfsum 21794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))
150	149	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)))
151	145, 148, 150	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)))
152	2, 117, 146, 124, 13	offval2 7745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴)))))
153	152	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))))
154	124	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
155	154	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)))
156	151, 153, 155	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
157	28, 140, 156	3brtr3d 5142	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656   ∘ ccom 5662  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723  Fincfn 9011  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   ≤ cle 11383   / cdiv 12013  ℕcn 12375  ℝ⁺crp 13160  ♯chash 14515  Σcsu 15897  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  +_gcplusg 17472  0_gc0g 17660   Σ_g cgsu 17661  Mndcmnd 18973   MndHom cmhm 19026  SubMndcsubmnd 19027  Grpcgrp 19194  SubGrpcsubg 19380   GrpHom cghm 19477  CMndccmn 20045  mulGrpcmgp 20411  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511  ℂ_fldccnfld 21729  ↑_𝑐ccxp 26940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-gim 19523  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-refld 21966  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-cmp 23760  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941  df-cxp 26942

This theorem is used by: (None)