Theorem amgmlemALT 46178

Description: Alternate proof of amgmlem 25872 using amgmwlem 46177. (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgmlemALT.0	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmlemALT.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
amgmlemALT.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
amgmlemALT.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgmlemALT	⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlemALT

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		amgmlemALT.0	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2		amgmlemALT.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		amgmlemALT.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4		amgmlemALT.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
5		hashnncl 13933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	2, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	3, 6	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 12626	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
9	8	rpreccld 12638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
10		fconst6g 6608	. . . 4 ⊢ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
12		fconstmpt 5611	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
14	13	oveq2d 7229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))))
15	7	nnrecred 11881	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 10861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
17		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
18		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	17, 18	gsumfsum 20430	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
20	2, 16, 19	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
21		fsumconst 15354	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
22	2, 16, 21	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
23	7	nncnd 11846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
24	7	nnne0d 11880	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
25	23, 24	recidd 11603	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
26	22, 25	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = 1)
27	14, 20, 26	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
28	1, 2, 3, 4, 11, 27	amgmwlem 46177	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ≤ (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
29		rpssre 12593	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
30		ax-resscn 10786	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
31	29, 30	sstri 3910	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
32		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (𝑀 ↾s ℝ+)
33		cnfldbas 20367	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
34	1, 33	mgpbas 19510	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
35	32, 34	ressbas2 16791	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+))
37		cnfld1 20388	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
38	1, 37	ringidval 19518	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
39	1	oveq1i 7223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
40	39	rpmsubg 20427	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
41		subgsubm 18565	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
43		cnring 20385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
44		cnfld0 20387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
45		cndrng 20392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
46	33, 44, 45	drngui 19773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
47	46, 1	unitsubm 19688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
48	43, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
49		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
50	49	subsubm 18243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
51	48, 50	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
52	42, 51	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
53	52	simpli 487	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀)
54		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
55	32, 54	subm0 18242	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
56	53, 55	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
57	38, 56	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
58		cncrng 20384	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CRing
59	1	crngmgp 19570	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ CMnd
61	32	submmnd 18240	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
62	53, 61	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
63	32	subcmn 19222	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
64	60, 62, 63	sylancr 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
65		reex 10820	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
66	65, 29	ssexi 5215	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ∈ V
67		cnfldmul 20369	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
68	1, 67	mgpplusg 19508	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘𝑀)
69	32, 68	ressplusg 16834	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ V → · = (+g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
70	66, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
71		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
72	71	rpmsubg 20427	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
73	1	oveq1i 7223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
74		cnex 10810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
75		difss 4046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
76	74, 75	ssexi 5215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
77		rpcndif0 12605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
78	77	ssriv 3905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})
79		ressabs 16800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+))
80	76, 78, 79	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
81	73, 80	eqtr4i 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+)
82	81	subggrp 18546	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Grp)
83	72, 82	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Grp)
84		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℝ+)
85	15	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
86	84, 85	rpcxpcld 25620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
87		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
88	86, 87	fmptd 6931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):ℝ+⟶ℝ+)
89		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
90	89	rprege0d 12635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
91		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
92	91	rprege0d 12635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
93	16	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
94		mulcxp 25573	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
95	90, 92, 93, 94	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
96		rpmulcl 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
97	96	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
98		oveq1 7220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
99		ovex 7246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ V
100	98, 87, 99	fvmpt3i 6823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
101	97, 100	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
102		oveq1 7220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
103	102, 87, 99	fvmpt3i 6823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
104	89, 103	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
105		oveq1 7220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
106	105, 87, 99	fvmpt3i 6823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
107	91, 106	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
108	104, 107	oveq12d 7231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
109	95, 101, 108	3eqtr4d 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)))
110	36, 36, 70, 70, 83, 83, 88, 109	isghmd 18631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
111		ghmmhm 18632	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom (𝑀 ↾s ℝ+)) → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
112	110, 111	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
113		1red 10834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
114	4, 2, 113	fdmfifsupp 8995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1)
115	36, 57, 64, 62, 2, 112, 4, 114	gsummhm 19323	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)))
116	53	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
117	4	ffvelrnda 6904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
118	15	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
119	117, 118	rpcxpcld 25620	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
120		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
121	119, 120	fmptd 6931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):𝐴⟶ℝ+)
122	2, 116, 121, 32	gsumsubm 18261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
123	9	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
124	4	feqmptd 6780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
125	2, 117, 123, 124, 13	offval2 7488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
126	125	oveq2d 7229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
127	102	cbvmptv 5158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
128	127	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
129		oveq1 7220	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
130	117, 124, 128, 129	fmptco 6944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
131	130	oveq2d 7229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
132	122, 126, 131	3eqtr4rd 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
133	36, 57, 64, 2, 4, 114	gsumcl 19300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
134		oveq1 7220	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
135	134, 87, 99	fvmpt3i 6823	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
136	133, 135	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
137	2, 116, 4, 32	gsumsubm 18261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹))
138	137	oveq1d 7228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
139	136, 138	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
140	115, 132, 139	3eqtr3d 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
141	117	rpcnd 12630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
142	2, 141	fsumcl 15297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
143	142, 23, 24	divrecd 11611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
144	2, 16, 141	fsummulc1 15349	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
145	143, 144	eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)))
146	16	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
147	141, 146	mulcld 10853	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℂ)
148	2, 147	gsumfsum 20430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
149	2, 141	gsumfsum 20430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))
150	149	oveq1d 7228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)))
151	145, 148, 150	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)))
152	2, 117, 146, 124, 13	offval2 7488	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴)))))
153	152	oveq2d 7229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))))
154	124	oveq2d 7229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
155	154	oveq1d 7228	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)))
156	151, 153, 155	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
157	28, 140, 156	3brtr3d 5084	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  Vcvv 3408   ∖ cdif 3863   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  {csn 4541   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135   × cxp 5549   ∘ ccom 5555  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ∘_f cof 7467  Fincfn 8626  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734   ≤ cle 10868   / cdiv 11489  ℕcn 11830  ℝ⁺crp 12586  ♯chash 13896  Σcsu 15249  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784  +_gcplusg 16802  0_gc0g 16944   Σ_g cgsu 16945  Mndcmnd 18173   MndHom cmhm 18216  SubMndcsubmnd 18217  Grpcgrp 18365  SubGrpcsubg 18537   GrpHom cghm 18619  CMndccmn 19170  mulGrpcmgp 19504  Ringcrg 19562  CRingccrg 19563  ℂ_fldccnfld 20363  ↑_𝑐ccxp 25444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-gim 18663  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-drng 19769  df-subrg 19798  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-refld 20567  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-cmp 22284  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445  df-cxp 25446

This theorem is referenced by: (None)