Theorem amgmlemALT 50476

Description: Alternate proof of amgmlem 27119 using amgmwlem 50475. (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgmlemALT.0	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmlemALT.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
amgmlemALT.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
amgmlemALT.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgmlemALT	⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlemALT

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		amgmlemALT.0	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2		amgmlemALT.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		amgmlemALT.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4		amgmlemALT.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
5		hashnncl 14401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	2, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	3, 6	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 13057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
9	8	rpreccld 13069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
10		fconst6g 6768	. . . 4 ⊢ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
12		fconstmpt 5724	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
14	13	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))))
15	7	nnrecred 12286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
17		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
18		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	17, 18	gsumfsum 21552	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
20	2, 16, 19	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
21		fsumconst 15840	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
22	2, 16, 21	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
23	7	nncnd 12248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
24	7	nnne0d 12285	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
25	23, 24	recidd 11985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
26	22, 25	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = 1)
27	14, 20, 26	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
28	1, 2, 3, 4, 11, 27	amgmwlem 50475	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ≤ (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
29		rpssre 13023	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
30		ax-resscn 11156	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
31	29, 30	sstri 3954	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
32		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (𝑀 ↾s ℝ+)
33		cnfldbas 21494	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
34	1, 33	mgpbas 20220	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
35	32, 34	ressbas2 17297	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+))
37		cnfld1 21515	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
38	1, 37	ringidval 20264	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
39	1	oveq1i 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
40	39	rpmsubg 21549	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
41		subgsubm 19214	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
43		cnring 21512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
44		cnfld0 21514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
45		cndrng 21519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
46	33, 44, 45	drngui 20818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
47	46, 1	unitsubm 20467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
48	43, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
49		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
50	49	subsubm 18874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
51	48, 50	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
52	42, 51	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
53	52	simpli 488	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀)
54		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
55	32, 54	subm0 18873	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
56	53, 55	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
57	38, 56	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
58		cncrng 21511	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CRing
59	1	crngmgp 20322	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ CMnd
61	32	submmnd 18871	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
62	53, 61	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
63	32	subcmn 19906	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
64	60, 62, 63	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
65		reex 11190	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
66	65, 29	ssexi 5293	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ∈ V
67		cnfldmul 21498	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
68	1, 67	mgpplusg 20219	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘𝑀)
69	32, 68	ressplusg 17343	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ V → · = (+g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
70	66, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
71		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
72	71	rpmsubg 21549	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
73	1	oveq1i 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
74		cnex 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
75		difss 4098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
76	74, 75	ssexi 5293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
77		rpcndif0 13036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
78	77	ssriv 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})
79		ressabs 17307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+))
80	76, 78, 79	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
81	73, 80	eqtr4i 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+)
82	81	subggrp 19194	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Grp)
83	72, 82	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Grp)
84		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℝ+)
85	15	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
86	84, 85	rpcxpcld 26863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
87		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
88	86, 87	fmptd 7110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):ℝ+⟶ℝ+)
89		simprl 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
90	89	rprege0d 13066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
91		simprr 784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
92	91	rprege0d 13066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
93	16	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
94		mulcxp 26815	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
95	90, 92, 93, 94	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
96		rpmulcl 13040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
97	96	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
98		oveq1 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
99		ovex 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ V
100	98, 87, 99	fvmpt3i 6996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
101	97, 100	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
102		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
103	102, 87, 99	fvmpt3i 6996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
104	89, 103	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
105		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
106	105, 87, 99	fvmpt3i 6996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
107	91, 106	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
108	104, 107	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
109	95, 101, 108	3eqtr4d 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)))
110	36, 36, 70, 70, 83, 83, 88, 109	isghmd 19294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
111		ghmmhm 19295	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom (𝑀 ↾s ℝ+)) → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
112	110, 111	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
113		1red 11208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
114	4, 2, 113	fdmfifsupp 9334	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1)
115	36, 57, 64, 62, 2, 112, 4, 114	gsummhm 20007	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)))
116	53	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
117	4	ffvelcdmda 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
118	15	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
119	117, 118	rpcxpcld 26863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
120		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
121	119, 120	fmptd 7110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):𝐴⟶ℝ+)
122	2, 116, 121, 32	gsumsubm 18893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
123	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
124	4	feqmptd 6950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
125	2, 117, 123, 124, 13	offval2 7695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
126	125	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
127	102	cbvmptv 5219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
128	127	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
129		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
130	117, 124, 128, 129	fmptco 7126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
131	130	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
132	122, 126, 131	3eqtr4rd 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
133	36, 57, 64, 2, 4, 114	gsumcl 19984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
134		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
135	134, 87, 99	fvmpt3i 6996	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
136	133, 135	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
137	2, 116, 4, 32	gsumsubm 18893	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹))
138	137	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
139	136, 138	eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
140	115, 132, 139	3eqtr3d 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
141	117	rpcnd 13061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
142	2, 141	fsumcl 15783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
143	142, 23, 24	divrecd 11993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
144	2, 16, 141	fsummulc1 15835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
145	143, 144	eqtr2d 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)))
146	16	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
147	141, 146	mulcld 11228	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℂ)
148	2, 147	gsumfsum 21552	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
149	2, 141	gsumfsum 21552	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))
150	149	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)))
151	145, 148, 150	3eqtr4d 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)))
152	2, 117, 146, 124, 13	offval2 7695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴)))))
153	152	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))))
154	124	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
155	154	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)))
156	151, 153, 155	3eqtr4d 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
157	28, 140, 156	3brtr3d 5146	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4594   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7673  Fincfn 8942  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   · cmul 11104   ≤ cle 11243   / cdiv 11870  ℕcn 12232  ℝ⁺crp 13015  ♯chash 14365  Σcsu 15736  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  +_gcplusg 17309  0_gc0g 17491   Σ_g cgsu 17492  Mndcmnd 18791   MndHom cmhm 18838  SubMndcsubmnd 18839  Grpcgrp 18999  SubGrpcsubg 19185   GrpHom cghm 19282  CMndccmn 19849  mulGrpcmgp 20215  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315  ℂ_fldccnfld 21490  ↑_𝑐ccxp 26685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-gim 19328  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-dvr 20482  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-drng 20814  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-fbas 21487  df-fg 21488  df-cnfld 21491  df-refld 21723  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cld 23144  df-ntr 23145  df-cls 23146  df-nei 23223  df-lp 23261  df-perf 23262  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-haus 23440  df-cmp 23512  df-tx 23687  df-hmeo 23880  df-fil 23971  df-fm 24063  df-flim 24064  df-flf 24065  df-xms 24445  df-ms 24446  df-tms 24447  df-cncf 25005  df-limc 25993  df-dv 25994  df-log 26686  df-cxp 26687

This theorem is referenced by: (None)