Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmlemALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmlemALT 49322
Description: Alternate proof of amgmlem 27033 using amgmwlem 49321. (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmlemALT.0 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmlemALT.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
amgmlemALT.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
amgmlemALT.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
Assertion
Ref Expression
amgmlemALT (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlemALT
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 amgmlemALT.0 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2 amgmlemALT.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 amgmlemALT.2 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
4 amgmlemALT.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ+)
5 hashnncl 14405 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
62, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
73, 6mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
87nnrpd 13075 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
98rpreccld 13087 . . . 4 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
10 fconst6g 6797 . . . 4 ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
12 fconstmpt 5747 . . . . . 6 (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
1413oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))))
157nnrecred 12317 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
1615recnd 11289 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
17 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
18 simplr 769 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
1917, 18gsumfsum 21452 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
202, 16, 19syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
21 fsumconst 15826 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
222, 16, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
237nncnd 12282 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
247nnne0d 12316 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
2523, 24recidd 12038 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
2622, 25eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = 1)
2714, 20, 263eqtrd 2781 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
281, 2, 3, 4, 11, 27amgmwlem 49321 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ≤ (ℂfld Σg (𝐹f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
29 rpssre 13042 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
30 ax-resscn 11212 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
3129, 30sstri 3993 . . . . 5 + ⊆ ℂ
32 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑀s+) = (𝑀s+)
33 cnfldbas 21368 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
341, 33mgpbas 20142 . . . . . 6 ℂ = (Base‘𝑀)
3532, 34ressbas2 17283 . . . . 5 (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀s+)))
3631, 35ax-mp 5 . . . 4 + = (Base‘(𝑀s+))
37 cnfld1 21406 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
381, 37ringidval 20180 . . . . 5 1 = (0g𝑀)
391oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
4039rpmsubg 21449 . . . . . . . . 9 + ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
41 subgsubm 19166 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 + ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0})))
43 cnring 21403 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
44 cnfld0 21405 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℂfld)
45 cndrng 21411 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ DivRing
4633, 44, 45drngui 20735 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
4746, 1unitsubm 20386 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
4843, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
49 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑀s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀s (ℂ ∖ {0}))
5049subsubm 18829 . . . . . . . . 9 ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
5242, 51mpbi 230 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
5352simpli 483 . . . . . 6 + ∈ (SubMnd‘𝑀)
54 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
5532, 54subm0 18828 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+)))
5653, 55ax-mp 5 . . . . 5 (0g𝑀) = (0g‘(𝑀s+))
5738, 56eqtri 2765 . . . 4 1 = (0g‘(𝑀s+))
58 cncrng 21401 . . . . . 6 fld ∈ CRing
591crngmgp 20238 . . . . . 6 (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
6058, 59ax-mp 5 . . . . 5 𝑀 ∈ CMnd
6132submmnd 18826 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀s+) ∈ Mnd)
6253, 61mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Mnd)
6332subcmn 19855 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀s+) ∈ Mnd) → (𝑀s+) ∈ CMnd)
6460, 62, 63sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ CMnd)
65 reex 11246 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6665, 29ssexi 5322 . . . . . . 7 + ∈ V
67 cnfldmul 21372 . . . . . . . . 9 · = (.r‘ℂfld)
681, 67mgpplusg 20141 . . . . . . . 8 · = (+g𝑀)
6932, 68ressplusg 17334 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ V → · = (+g‘(𝑀s+)))
7066, 69ax-mp 5 . . . . . 6 · = (+g‘(𝑀s+))
71 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
7271rpmsubg 21449 . . . . . . 7 + ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
731oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (𝑀s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
74 cnex 11236 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
75 difss 4136 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
7674, 75ssexi 5322 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
77 rpcndif0 13054 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
7877ssriv 3987 . . . . . . . . . 10 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
79 ressabs 17294 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+))
8076, 78, 79mp2an 692 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
8173, 80eqtr4i 2768 . . . . . . . 8 (𝑀s+) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+)
8281subggrp 19147 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑀s+) ∈ Grp)
8372, 82mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀s+) ∈ Grp)
84 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℝ+)
8515adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
8684, 85rpcxpcld 26775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ+) → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
87 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
8886, 87fmptd 7134 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):ℝ+⟶ℝ+)
89 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9089rprege0d 13084 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
91 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
9291rprege0d 13084 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
9316adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
94 mulcxp 26727 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
9590, 92, 93, 94syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
96 rpmulcl 13058 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
9796adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
98 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
99 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ V
10098, 87, 99fvmpt3i 7021 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
10197, 100syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
102 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
103102, 87, 99fvmpt3i 7021 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
10489, 103syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
105 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
106105, 87, 99fvmpt3i 7021 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
10791, 106syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
108104, 107oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)) = ((𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
10995, 101, 1083eqtr4d 2787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)))
11036, 36, 70, 70, 83, 83, 88, 109isghmd 19243 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)))
111 ghmmhm 19244 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) GrpHom (𝑀s+)) → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
112110, 111syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀s+) MndHom (𝑀s+)))
113 1red 11262 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1144, 2, 113fdmfifsupp 9415 . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 1)
11536, 57, 64, 62, 2, 112, 4, 114gsummhm 19956 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)))
11653a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
1174ffvelcdmda 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
11815adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
119117, 118rpcxpcld 26775 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
120 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
121119, 120fmptd 7134 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):𝐴⟶ℝ+)
1222, 116, 121, 32gsumsubm 18848 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
1239adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1244feqmptd 6977 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
1252, 117, 123, 124, 13offval2 7717 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
126125oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (𝑀 Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
127102cbvmptv 5255 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
128127a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
129 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
130117, 124, 128, 129fmptco 7149 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
131130oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑀s+) Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
132122, 126, 1313eqtr4rd 2788 . . 3 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
13336, 57, 64, 2, 4, 114gsumcl 19933 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
134 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑘 = ((𝑀s+) Σg 𝐹) → (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
135134, 87, 99fvmpt3i 7021 . . . . 5 (((𝑀s+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
136133, 135syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
1372, 116, 4, 32gsumsubm 18848 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀s+) Σg 𝐹))
138137oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀s+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
139136, 138eqtr4d 2780 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀s+) Σg 𝐹)) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
140115, 132, 1393eqtr3d 2785 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹f𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
141117rpcnd 13079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1422, 141fsumcl 15769 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
143142, 23, 24divrecd 12046 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
1442, 16, 141fsummulc1 15821 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
145143, 144eqtr2d 2778 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (♯‘𝐴)))
14616adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
147141, 146mulcld 11281 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℂ)
1482, 147gsumfsum 21452 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = Σ𝑘𝐴 ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
1492, 141gsumfsum 21452 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
150149oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘𝐴 (𝐹𝑘) / (♯‘𝐴)))
151145, 148, 1503eqtr4d 2787 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (♯‘𝐴)))
1522, 117, 146, 124, 13offval2 7717 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴)))))
153152oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))))
154124oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))))
155154oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((ℂfld Σg (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘))) / (♯‘𝐴)))
156151, 153, 1553eqtr4d 2787 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
15728, 140, 1563brtr3d 5174 1 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  +crp 13034  chash 14369  Σcsu 15722  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747   MndHom cmhm 18794  SubMndcsubmnd 18795  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138   GrpHom cghm 19230  CMndccmn 19798  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  fldccnfld 21364  𝑐ccxp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator