Theorem amgmlemALT 47240

Description: Alternate proof of amgmlem 26339 using amgmwlem 47239. (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgmlemALT.0	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
amgmlemALT.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
amgmlemALT.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
amgmlemALT.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
amgmlemALT	⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Proof of Theorem amgmlemALT

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		amgmlemALT.0	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘ℂfld)
2		amgmlemALT.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		amgmlemALT.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4		amgmlemALT.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ+)
5		hashnncl 14266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	2, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	3, 6	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 12955	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ+)
9	8	rpreccld 12967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
10		fconst6g 6731	. . . 4 ⊢ ((1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}):𝐴⟶ℝ+)
12		fconstmpt 5694	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴))))
14	13	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))))
15	7	nnrecred 12204	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
17		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
18		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
19	17, 18	gsumfsum 20864	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
20	2, 16, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (1 / (♯‘𝐴)))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)))
21		fsumconst 15675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
22	2, 16, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))))
23	7	nncnd 12169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
24	7	nnne0d 12203	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ≠ 0)
25	23, 24	recidd 11926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) · (1 / (♯‘𝐴))) = 1)
26	22, 25	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (1 / (♯‘𝐴)) = 1)
27	14, 20, 26	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = 1)
28	1, 2, 3, 4, 11, 27	amgmwlem 47239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) ≤ (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
29		rpssre 12922	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
30		ax-resscn 11108	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
31	29, 30	sstri 3953	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
32		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (𝑀 ↾s ℝ+)
33		cnfldbas 20800	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
34	1, 33	mgpbas 19902	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘𝑀)
35	32, 34	ressbas2 17120	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ → ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
36	31, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ+ = (Base‘(𝑀 ↾s ℝ+))
37		cnfld1 20822	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
38	1, 37	ringidval 19915	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝑀)
39	1	oveq1i 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
40	39	rpmsubg 20861	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
41		subgsubm 18950	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})))
43		cnring 20819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂfld ∈ Ring
44		cnfld0 20821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
45		cndrng 20826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
46	33, 44, 45	drngui 20191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
47	46, 1	unitsubm 20099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀))
48	43, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀)
49		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0})) = (𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))
50	49	subsubm 18627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘𝑀) → (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
51	48, 50	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘(𝑀 ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})))
52	42, 51	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0}))
53	52	simpli 484	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀)
54		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
55	32, 54	subm0 18626	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
56	53, 55	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
57	38, 56	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
58		cncrng 20818	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CRing
59	1	crngmgp 19972	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ CMnd
61	32	submmnd 18624	. . . . . 6 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
62	53, 61	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd)
63	32	subcmn 19615	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Mnd) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
64	60, 62, 63	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ CMnd)
65		reex 11142	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
66	65, 29	ssexi 5279	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ∈ V
67		cnfldmul 20802	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
68	1, 67	mgpplusg 19900	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘𝑀)
69	32, 68	ressplusg 17171	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ V → · = (+g‘(𝑀 ↾s ℝ+)))
70	66, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(𝑀 ↾s ℝ+))
71		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
72	71	rpmsubg 20861	. . . . . . 7 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
73	1	oveq1i 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
74		cnex 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
75		difss 4091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
76	74, 75	ssexi 5279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
77		rpcndif0 12934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
78	77	ssriv 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})
79		ressabs 17130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+))
80	76, 78, 79	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
81	73, 80	eqtr4i 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ↾s ℝ+) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+)
82	81	subggrp 18931	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Grp)
83	72, 82	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾s ℝ+) ∈ Grp)
84		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → 𝑘 ∈ ℝ+)
85	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
86	84, 85	rpcxpcld 26087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
87		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
88	86, 87	fmptd 7062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):ℝ+⟶ℝ+)
89		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
90	89	rprege0d 12964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
91		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
92	91	rprege0d 12964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦))
93	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
94		mulcxp 26040	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
95	90, 92, 93, 94	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
96		rpmulcl 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
97	96	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+)
98		oveq1 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑥 · 𝑦) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
99		ovex 7390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ V
100	98, 87, 99	fvmpt3i 6953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
101	97, 100	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
102		oveq1 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
103	102, 87, 99	fvmpt3i 6953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
104	89, 103	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) = (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
105		oveq1 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
106	105, 87, 99	fvmpt3i 6953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
107	91, 106	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
108	104, 107	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)) = ((𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) · (𝑦↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
109	95, 101, 108	3eqtr4d 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘(𝑥 · 𝑦)) = (((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑥) · ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘𝑦)))
110	36, 36, 70, 70, 83, 83, 88, 109	isghmd 19017	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
111		ghmmhm 19018	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) GrpHom (𝑀 ↾s ℝ+)) → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
112	110, 111	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∈ ((𝑀 ↾s ℝ+) MndHom (𝑀 ↾s ℝ+)))
113		1red 11156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
114	4, 2, 113	fdmfifsupp 9315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 1)
115	36, 57, 64, 62, 2, 112, 4, 114	gsummhm 19715	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)))
116	53	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ (SubMnd‘𝑀))
117	4	ffvelcdmda 7035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
118	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
119	117, 118	rpcxpcld 26087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℝ+)
120		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
121	119, 120	fmptd 7062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))):𝐴⟶ℝ+)
122	2, 116, 121, 32	gsumsubm 18645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
123	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℝ+)
124	4	feqmptd 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
125	2, 117, 123, 124, 13	offval2 7637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
126	125	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (𝑀 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
127	102	cbvmptv 5218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
128	127	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
129		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑥↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
130	117, 124, 128, 129	fmptco 7075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))))
131	130	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))))
132	122, 126, 131	3eqtr4rd 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴)))) ∘ 𝐹)) = (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))))
133	36, 57, 64, 2, 4, 114	gsumcl 19692	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+)
134		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) → (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
135	134, 87, 99	fvmpt3i 6953	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹) ∈ ℝ+ → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
136	133, 135	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
137	2, 116, 4, 32	gsumsubm 18645	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹))
138	137	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) = (((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
139	136, 138	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ+ ↦ (𝑘↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))‘((𝑀 ↾s ℝ+) Σg 𝐹)) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
140	115, 132, 139	3eqtr3d 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))))
141	117	rpcnd 12959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
142	2, 141	fsumcl 15618	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
143	142, 23, 24	divrecd 11934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
144	2, 16, 141	fsummulc1 15670	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
145	143, 144	eqtr2d 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)))
146	16	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (1 / (♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
147	141, 146	mulcld 11175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))) ∈ ℂ)
148	2, 147	gsumfsum 20864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))
149	2, 141	gsumfsum 20864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘))
150	149	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) / (♯‘𝐴)))
151	145, 148, 150	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)))
152	2, 117, 146, 124, 13	offval2 7637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))})) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴)))))
153	152	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (1 / (♯‘𝐴))))))
154	124	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
155	154	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)) = ((ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) / (♯‘𝐴)))
156	151, 153, 155	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝐹 ∘f · (𝐴 × {(1 / (♯‘𝐴))}))) = ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))
157	28, 140, 156	3brtr3d 5136	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹)↑𝑐(1 / (♯‘𝐴))) ≤ ((ℂfld Σg 𝐹) / (♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615  Fincfn 8883  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  ℕcn 12153  ℝ⁺crp 12915  ♯chash 14230  Σcsu 15570  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  +_gcplusg 17133  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  SubMndcsubmnd 18600  Grpcgrp 18748  SubGrpcsubg 18922   GrpHom cghm 19005  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  ℂ_fldccnfld 20796  ↑_𝑐ccxp 25911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-refld 21009  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913

This theorem is referenced by: (None)