Users' Mathboxes Mathbox for Kunhao Zheng < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  amgmlemALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem amgmlemALT 47336
Description: Alternate proof of amgmlem 26355 using amgmwlem 47335. (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
amgmlemALT.0 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
amgmlemALT.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
amgmlemALT.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
amgmlemALT.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„+)
Assertion
Ref Expression
amgmlemALT (πœ‘ β†’ ((𝑀 Ξ£g 𝐹)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g 𝐹) / (β™―β€˜π΄)))

Proof of Theorem amgmlemALT
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 amgmlemALT.0 . . 3 𝑀 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
2 amgmlemALT.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
3 amgmlemALT.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
4 amgmlemALT.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„+)
5 hashnncl 14272 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
62, 5syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
73, 6mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
87nnrpd 12960 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ ℝ+)
98rpreccld 12972 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ ℝ+)
10 fconst6g 6732 . . . 4 ((1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ ℝ+ β†’ (𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))}):π΄βŸΆβ„+)
119, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))}):π΄βŸΆβ„+)
12 fconstmpt 5695 . . . . . 6 (𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))}) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (1 / (β™―β€˜π΄)))
1312a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))}) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (1 / (β™―β€˜π΄))))
1413oveq2d 7374 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))})) = (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (1 / (β™―β€˜π΄)))))
157nnrecred 12209 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ ℝ)
1615recnd 11188 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ β„‚)
17 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
18 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ β„‚)
1917, 18gsumfsum 20880 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (1 / (β™―β€˜π΄)))) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (1 / (β™―β€˜π΄)))
202, 16, 19syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (1 / (β™―β€˜π΄)))) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (1 / (β™―β€˜π΄)))
21 fsumconst 15680 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (1 / (β™―β€˜π΄)) = ((β™―β€˜π΄) Β· (1 / (β™―β€˜π΄))))
222, 16, 21syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (1 / (β™―β€˜π΄)) = ((β™―β€˜π΄) Β· (1 / (β™―β€˜π΄))))
237nncnd 12174 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„‚)
247nnne0d 12208 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) β‰  0)
2523, 24recidd 11931 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π΄) Β· (1 / (β™―β€˜π΄))) = 1)
2622, 25eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (1 / (β™―β€˜π΄)) = 1)
2714, 20, 263eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))})) = 1)
281, 2, 3, 4, 11, 27amgmwlem 47335 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))}))) ≀ (β„‚fld Ξ£g (𝐹 ∘f Β· (𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))}))))
29 rpssre 12927 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
30 ax-resscn 11113 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
3129, 30sstri 3954 . . . . 5 ℝ+ βŠ† β„‚
32 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑀 β†Ύs ℝ+) = (𝑀 β†Ύs ℝ+)
33 cnfldbas 20816 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
341, 33mgpbas 19907 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜π‘€)
3532, 34ressbas2 17125 . . . . 5 (ℝ+ βŠ† β„‚ β†’ ℝ+ = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs ℝ+)))
3631, 35ax-mp 5 . . . 4 ℝ+ = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs ℝ+))
37 cnfld1 20838 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
381, 37ringidval 19920 . . . . 5 1 = (0gβ€˜π‘€)
391oveq1i 7368 . . . . . . . . . 10 (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
4039rpmsubg 20877 . . . . . . . . 9 ℝ+ ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
41 subgsubm 18955 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ ℝ+ ∈ (SubMndβ€˜(𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 ℝ+ ∈ (SubMndβ€˜(𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
43 cnring 20835 . . . . . . . . . 10 β„‚fld ∈ Ring
44 cnfld0 20837 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
45 cndrng 20842 . . . . . . . . . . . 12 β„‚fld ∈ DivRing
4633, 44, 45drngui 20203 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
4746, 1unitsubm 20104 . . . . . . . . . 10 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
4843, 47ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜π‘€)
49 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = (𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
5049subsubm 18632 . . . . . . . . 9 ((β„‚ βˆ– {0}) ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ (ℝ+ ∈ (SubMndβ€˜(𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∈ (SubMndβ€˜(𝑀 β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) ↔ (ℝ+ ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0})))
5242, 51mpbi 229 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
5352simpli 485 . . . . . 6 ℝ+ ∈ (SubMndβ€˜π‘€)
54 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
5532, 54subm0 18631 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs ℝ+)))
5653, 55ax-mp 5 . . . . 5 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs ℝ+))
5738, 56eqtri 2761 . . . 4 1 = (0gβ€˜(𝑀 β†Ύs ℝ+))
58 cncrng 20834 . . . . . 6 β„‚fld ∈ CRing
591crngmgp 19977 . . . . . 6 (β„‚fld ∈ CRing β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
6058, 59ax-mp 5 . . . . 5 𝑀 ∈ CMnd
6132submmnd 18629 . . . . . 6 (ℝ+ ∈ (SubMndβ€˜π‘€) β†’ (𝑀 β†Ύs ℝ+) ∈ Mnd)
6253, 61mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 β†Ύs ℝ+) ∈ Mnd)
6332subcmn 19620 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑀 β†Ύs ℝ+) ∈ Mnd) β†’ (𝑀 β†Ύs ℝ+) ∈ CMnd)
6460, 62, 63sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 β†Ύs ℝ+) ∈ CMnd)
65 reex 11147 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6665, 29ssexi 5280 . . . . . . 7 ℝ+ ∈ V
67 cnfldmul 20818 . . . . . . . . 9 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
681, 67mgpplusg 19905 . . . . . . . 8 Β· = (+gβ€˜π‘€)
6932, 68ressplusg 17176 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs ℝ+)))
7066, 69ax-mp 5 . . . . . 6 Β· = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs ℝ+))
71 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
7271rpmsubg 20877 . . . . . . 7 ℝ+ ∈ (SubGrpβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
731oveq1i 7368 . . . . . . . . 9 (𝑀 β†Ύs ℝ+) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs ℝ+)
74 cnex 11137 . . . . . . . . . . 11 β„‚ ∈ V
75 difss 4092 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚
7674, 75ssexi 5280 . . . . . . . . . 10 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ V
77 rpcndif0 12939 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ+ β†’ 𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
7877ssriv 3949 . . . . . . . . . 10 ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
79 ressabs 17135 . . . . . . . . . 10 (((β„‚ βˆ– {0}) ∈ V ∧ ℝ+ βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs ℝ+) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs ℝ+))
8076, 78, 79mp2an 691 . . . . . . . . 9 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs ℝ+) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs ℝ+)
8173, 80eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 (𝑀 β†Ύs ℝ+) = (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs ℝ+)
8281subggrp 18936 . . . . . . 7 (ℝ+ ∈ (SubGrpβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) β†’ (𝑀 β†Ύs ℝ+) ∈ Grp)
8372, 82mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 β†Ύs ℝ+) ∈ Grp)
84 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ+) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
8515adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ ℝ)
8684, 85rpcxpcld 26103 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ+) β†’ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))) ∈ ℝ+)
87 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄)))) = (π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))
8886, 87fmptd 7063 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄)))):ℝ+βŸΆβ„+)
89 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
9089rprege0d 12969 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
91 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
9291rprege0d 12969 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑦))
9316adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ β„‚)
94 mulcxp 26056 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑦) ∧ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))) = ((π‘₯↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))) Β· (𝑦↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄)))))
9590, 92, 93, 94syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))) = ((π‘₯↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))) Β· (𝑦↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄)))))
96 rpmulcl 12943 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ+)
9796adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ+)
98 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))) = ((π‘₯ Β· 𝑦)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
99 ovex 7391 . . . . . . . . 9 (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))) ∈ V
10098, 87, 99fvmpt3i 6954 . . . . . . . 8 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ+ β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = ((π‘₯ Β· 𝑦)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
10197, 100syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = ((π‘₯ Β· 𝑦)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
102 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))) = (π‘₯↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
103102, 87, 99fvmpt3i 6954 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜π‘₯) = (π‘₯↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
10489, 103syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜π‘₯) = (π‘₯↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
105 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))) = (𝑦↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
106105, 87, 99fvmpt3i 6954 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜π‘¦) = (𝑦↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
10791, 106syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜π‘¦) = (𝑦↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
108104, 107oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ (((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜π‘₯) Β· ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜π‘¦)) = ((π‘₯↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))) Β· (𝑦↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄)))))
10995, 101, 1083eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜π‘₯) Β· ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜π‘¦)))
11036, 36, 70, 70, 83, 83, 88, 109isghmd 19022 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄)))) ∈ ((𝑀 β†Ύs ℝ+) GrpHom (𝑀 β†Ύs ℝ+)))
111 ghmmhm 19023 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄)))) ∈ ((𝑀 β†Ύs ℝ+) GrpHom (𝑀 β†Ύs ℝ+)) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄)))) ∈ ((𝑀 β†Ύs ℝ+) MndHom (𝑀 β†Ύs ℝ+)))
112110, 111syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄)))) ∈ ((𝑀 β†Ύs ℝ+) MndHom (𝑀 β†Ύs ℝ+)))
113 1red 11161 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
1144, 2, 113fdmfifsupp 9320 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 1)
11536, 57, 64, 62, 2, 112, 4, 114gsummhm 19720 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄)))) ∘ 𝐹)) = ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g 𝐹)))
11653a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ+ ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
1174ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
11815adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ ℝ)
119117, 118rpcxpcld 26103 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))) ∈ ℝ+)
120 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄)))) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
121119, 120fmptd 7063 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄)))):π΄βŸΆβ„+)
1222, 116, 121, 32gsumsubm 18650 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))) = ((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))))
1239adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ ℝ+)
1244feqmptd 6911 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
1252, 117, 123, 124, 13offval2 7638 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))})) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄)))))
126125oveq2d 7374 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))}))) = (𝑀 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))))
127102cbvmptv 5219 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
128127a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄)))))
129 oveq1 7365 . . . . . 6 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (π‘₯↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
130117, 124, 128, 129fmptco 7076 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄)))) ∘ 𝐹) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄)))))
131130oveq2d 7374 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄)))) ∘ 𝐹)) = ((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))))
132122, 126, 1313eqtr4rd 2784 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄)))) ∘ 𝐹)) = (𝑀 Ξ£g (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))}))))
13336, 57, 64, 2, 4, 114gsumcl 19697 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g 𝐹) ∈ ℝ+)
134 oveq1 7365 . . . . . 6 (π‘˜ = ((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g 𝐹) β†’ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))) = (((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g 𝐹)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
135134, 87, 99fvmpt3i 6954 . . . . 5 (((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g 𝐹) ∈ ℝ+ β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g 𝐹)) = (((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g 𝐹)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
136133, 135syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g 𝐹)) = (((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g 𝐹)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
1372, 116, 4, 32gsumsubm 18650 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g 𝐹) = ((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g 𝐹))
138137oveq1d 7373 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Ξ£g 𝐹)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))) = (((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g 𝐹)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
139136, 138eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ ℝ+ ↦ (π‘˜β†‘π‘(1 / (β™―β€˜π΄))))β€˜((𝑀 β†Ύs ℝ+) Ξ£g 𝐹)) = ((𝑀 Ξ£g 𝐹)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
140115, 132, 1393eqtr3d 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 Ξ£g (𝐹 ∘f ↑𝑐(𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))}))) = ((𝑀 Ξ£g 𝐹)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))))
141117rpcnd 12964 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1422, 141fsumcl 15623 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
143142, 23, 24divrecd 11939 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜) / (β™―β€˜π΄)) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (β™―β€˜π΄))))
1442, 16, 141fsummulc1 15675 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (β™―β€˜π΄))) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (β™―β€˜π΄))))
145143, 144eqtr2d 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (β™―β€˜π΄))) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜) / (β™―β€˜π΄)))
14616adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (1 / (β™―β€˜π΄)) ∈ β„‚)
147141, 146mulcld 11180 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (β™―β€˜π΄))) ∈ β„‚)
1482, 147gsumfsum 20880 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (β™―β€˜π΄))))) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (β™―β€˜π΄))))
1492, 141gsumfsum 20880 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜))
150149oveq1d 7373 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) / (β™―β€˜π΄)) = (Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘˜) / (β™―β€˜π΄)))
151145, 148, 1503eqtr4d 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (β™―β€˜π΄))))) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) / (β™―β€˜π΄)))
1522, 117, 146, 124, 13offval2 7638 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· (𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))})) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (β™―β€˜π΄)))))
153152oveq2d 7374 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝐹 ∘f Β· (𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))}))) = (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (1 / (β™―β€˜π΄))))))
154124oveq2d 7374 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g 𝐹) = (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))))
155154oveq1d 7373 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g 𝐹) / (β™―β€˜π΄)) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘˜))) / (β™―β€˜π΄)))
156151, 153, 1553eqtr4d 2783 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝐹 ∘f Β· (𝐴 Γ— {(1 / (β™―β€˜π΄))}))) = ((β„‚fld Ξ£g 𝐹) / (β™―β€˜π΄)))
15728, 140, 1563brtr3d 5137 1 (πœ‘ β†’ ((𝑀 Ξ£g 𝐹)↑𝑐(1 / (β™―β€˜π΄))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g 𝐹) / (β™―β€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195   / cdiv 11817  β„•cn 12158  β„+crp 12920  β™―chash 14236  Ξ£csu 15576  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117  +gcplusg 17138  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561   MndHom cmhm 18604  SubMndcsubmnd 18605  Grpcgrp 18753  SubGrpcsubg 18927   GrpHom cghm 19010  CMndccmn 19567  mulGrpcmgp 19901  Ringcrg 19969  CRingccrg 19970  β„‚fldccnfld 20812  β†‘𝑐ccxp 25927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-gim 19054  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-drng 20199  df-subrg 20234  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-refld 21025  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator