Theorem reefgim 26823

Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
reefgim.1	⊢ 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
reefgim	⊢ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)

Proof of Theorem reefgim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rebase 21956	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
3	2	rpmsubg 21781	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
4		reefgim.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
5		cnex 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
6	5	difexi 5297	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
7		rpcndif0 13179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
8	7	ssriv 3917	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})
9		ressabs 17467	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+))
10	6, 8, 9	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
11	4, 10	eqtr4i 2789	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+)
12	11	subgbas 19381	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ = (Base‘𝑃))
13	3, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ+ = (Base‘𝑃)
14		replusg 21960	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
16		cnfldmul 21728	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
17	15, 16	mgpplusg 20406	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
18	4, 17	ressplusg 17503	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → · = (+g‘𝑃))
19	3, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑃)
20		resubdrg 21958	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
21	20	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
22		df-refld 21955	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
23	22	subrgring 20868	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Ring
25		ringgrp 20506	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
26	24, 25	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝfld ∈ Grp)
27	11	subggrp 19380	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → 𝑃 ∈ Grp)
28	3, 27	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑃 ∈ Grp)
29		reeff1o 26820	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶1-1ontoℝ+
30		f1of 6852	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶1-1ontoℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
31	29, 30	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (⊤ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
32		recn 11327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
33		recn 11327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
34		efadd 16301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
35	32, 33, 34	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
36		readdcl 11320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
37	36	fvresd 6934	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (exp‘(𝑥 + 𝑦)))
38		fvres 6933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
39		fvres 6933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) = (exp‘𝑦))
40	38, 39	oveqan12d 7468	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
41	35, 37, 40	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
42	41	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
43	1, 13, 14, 19, 26, 28, 31, 42	isghmd 19480	. . 3 ⊢ (⊤ → (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃))
44	43	mptru 1577	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃)
45	1, 13	isgim 19517	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃) ↔ ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃) ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶1-1ontoℝ+))
46	44, 29, 45	mpbir2an 724	1 ⊢ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588   ↾ cres 5658  ⟶wf 6560  ⟶1-1ontowf1o 6563  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237   + caddc 11240   · cmul 11242  ℝ⁺crp 13158  expce 16268  Basecbs 17428   ↾_s cress 17449  +_gcplusg 17469  Grpcgrp 19185  SubGrpcsubg 19371   GrpHom cghm 19468   GrpIso cgim 19512  mulGrpcmgp 20402  Ringcrg 20501  SubRingcsubrg 20863  DivRingcdr 21022  ℂ_fldccnfld 21720  ℝ_fldcrefld 21954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316  ax-mulf 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-tpos 8279  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-fi 9438  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ioo 13518  df-ico 13520  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-seq 14183  df-exp 14243  df-fac 14457  df-bc 14486  df-hash 14514  df-shft 15261  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-limsup 15679  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-ef 16274  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-rest 17634  df-topn 17635  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-topgen 17655  df-pt 17656  df-prds 17659  df-xrs 17715  df-qtop 17720  df-imas 17721  df-xps 17723  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-submnd 19020  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-mulg 19319  df-subg 19374  df-ghm 19469  df-gim 19514  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-ring 20503  df-cring 20504  df-oppr 20609  df-dvdsr 20629  df-unit 20630  df-invr 20660  df-dvr 20673  df-subrng 20840  df-subrg 20864  df-drng 21024  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-fbas 21717  df-fg 21718  df-cnfld 21721  df-refld 21955  df-top 23256  df-topon 23273  df-topsp 23295  df-bases 23308  df-cld 23381  df-ntr 23382  df-cls 23383  df-nei 23460  df-lp 23498  df-perf 23499  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-haus 23677  df-tx 23925  df-hmeo 24118  df-fil 24209  df-fm 24301  df-flim 24302  df-flf 24303  df-xms 24683  df-ms 24684  df-tms 24685  df-cncf 25243  df-limc 26230  df-dv 26231

This theorem is used by:  reloggim  26973