Theorem reefgim 26358

Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
reefgim.1	⊢ 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
reefgim	⊢ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)

Proof of Theorem reefgim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rebase 21513	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
3	2	rpmsubg 21338	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
4		reefgim.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
5		cnex 11090	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
6	5	difexi 5269	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
7		rpcndif0 12914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
8	7	ssriv 3939	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})
9		ressabs 17159	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+))
10	6, 8, 9	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
11	4, 10	eqtr4i 2755	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+)
12	11	subgbas 19009	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ = (Base‘𝑃))
13	3, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ+ = (Base‘𝑃)
14		replusg 21517	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
16		cnfldmul 21269	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
17	15, 16	mgpplusg 20029	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
18	4, 17	ressplusg 17195	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → · = (+g‘𝑃))
19	3, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑃)
20		resubdrg 21515	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
21	20	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
22		df-refld 21512	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
23	22	subrgring 20459	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Ring
25		ringgrp 20123	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
26	24, 25	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝfld ∈ Grp)
27	11	subggrp 19008	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → 𝑃 ∈ Grp)
28	3, 27	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑃 ∈ Grp)
29		reeff1o 26355	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
30		f1of 6764	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
31	29, 30	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
32		recn 11099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
33		recn 11099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
34		efadd 16001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
35	32, 33, 34	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
36		readdcl 11092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
37	36	fvresd 6842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (exp‘(𝑥 + 𝑦)))
38		fvres 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
39		fvres 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) = (exp‘𝑦))
40	38, 39	oveqan12d 7368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
41	35, 37, 40	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
42	41	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
43	1, 13, 14, 19, 26, 28, 31, 42	isghmd 19104	. . 3 ⊢ (⊤ → (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃))
44	43	mptru 1547	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃)
45	1, 13	isgim 19141	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃) ↔ ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃) ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+))
46	44, 29, 45	mpbir2an 711	1 ⊢ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4577   ↾ cres 5621  ⟶wf 6478  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009   + caddc 11012   · cmul 11014  ℝ⁺crp 12893  expce 15968  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  +_gcplusg 17161  Grpcgrp 18812  SubGrpcsubg 18999   GrpHom cghm 19091   GrpIso cgim 19136  mulGrpcmgp 20025  Ringcrg 20118  SubRingcsubrg 20454  DivRingcdr 20614  ℂ_fldccnfld 21261  ℝ_fldcrefld 21511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-gim 19138  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-refld 21512  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766

This theorem is referenced by:  reloggim  26506