Theorem reefgim 24498

Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
reefgim.1	⊢ 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
reefgim	⊢ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)

Proof of Theorem reefgim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rebase 20229	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
2		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
3	2	rpmsubg 20086	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
4		reefgim.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
5		cnex 10272	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
6		difexg 4971	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∈ V → (ℂ ∖ {0}) ∈ V)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
8		rpcn 12043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		rpne0 12049	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ≠ 0)
10		eldifsn 4474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
11	8, 9, 10	sylanbrc 578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
12	11	ssriv 3767	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})
13		ressabs 16215	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+))
14	7, 12, 13	mp2an 683	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
15	4, 14	eqtr4i 2790	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+)
16	15	subgbas 17865	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ = (Base‘𝑃))
17	3, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ+ = (Base‘𝑃)
18		replusg 20233	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
19		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
20		cnfldmul 20028	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
21	19, 20	mgpplusg 18763	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
22	4, 21	ressplusg 16268	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → · = (+g‘𝑃))
23	3, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑃)
24		resubdrg 20231	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
25	24	simpli 476	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
26		df-refld 20228	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
27	26	subrgring 19055	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
28	25, 27	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Ring
29		ringgrp 18822	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
30	28, 29	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝfld ∈ Grp)
31	15	subggrp 17864	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → 𝑃 ∈ Grp)
32	3, 31	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑃 ∈ Grp)
33		reeff1o 24495	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
34		f1of 6322	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
35	33, 34	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
36		recn 10281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
37		recn 10281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
38		efadd 15109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
39	36, 37, 38	syl2an 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
40		readdcl 10274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
41		fvres 6396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (exp‘(𝑥 + 𝑦)))
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (exp‘(𝑥 + 𝑦)))
43		fvres 6396	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
44		fvres 6396	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) = (exp‘𝑦))
45	43, 44	oveqan12d 6863	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
46	39, 42, 45	3eqtr4d 2809	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
47	46	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
48	1, 17, 18, 23, 30, 32, 35, 47	isghmd 17936	. . 3 ⊢ (⊤ → (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃))
49	48	mptru 1660	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃)
50	1, 17	isgim 17971	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃) ↔ ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃) ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+))
51	49, 33, 50	mpbir2an 702	1 ⊢ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1652  ⊤wtru 1653   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  Vcvv 3350   ∖ cdif 3731   ⊆ wss 3734  {csn 4336   ↾ cres 5281  ⟶wf 6066  –1-1-onto→wf1o 6069  ‘cfv 6070  (class class class)co 6844  ℂcc 10189  ℝcr 10190  0cc0 10191   + caddc 10194   · cmul 10196  ℝ⁺crp 12031  expce 15077  Basecbs 16133   ↾_s cress 16134  +_gcplusg 16217  Grpcgrp 17692  SubGrpcsubg 17855   GrpHom cghm 17924   GrpIso cgim 17966  mulGrpcmgp 18759  Ringcrg 18817  DivRingcdr 19019  SubRingcsubrg 19048  ℂ_fldccnfld 20022  ℝ_fldcrefld 20227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-addf 10270  ax-mulf 10271

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-tpos 7557  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-seq 13012  df-exp 13071  df-fac 13268  df-bc 13297  df-hash 13325  df-shft 14095  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-limsup 14490  df-clim 14507  df-rlim 14508  df-sum 14705  df-ef 15083  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-hom 16241  df-cco 16242  df-rest 16352  df-topn 16353  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-topgen 16373  df-pt 16374  df-prds 16377  df-xrs 16431  df-qtop 16436  df-imas 16437  df-xps 16439  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-grp 17695  df-minusg 17696  df-mulg 17811  df-subg 17858  df-ghm 17925  df-gim 17968  df-cntz 18016  df-cmn 18464  df-abl 18465  df-mgp 18760  df-ur 18772  df-ring 18819  df-cring 18820  df-oppr 18893  df-dvdsr 18911  df-unit 18912  df-invr 18942  df-dvr 18953  df-drng 19021  df-subrg 19050  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-fbas 20019  df-fg 20020  df-cnfld 20023  df-refld 20228  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-cld 21106  df-ntr 21107  df-cls 21108  df-nei 21185  df-lp 21223  df-perf 21224  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-haus 21402  df-tx 21648  df-hmeo 21841  df-fil 21932  df-fm 22024  df-flim 22025  df-flf 22026  df-xms 22407  df-ms 22408  df-tms 22409  df-cncf 22963  df-limc 23924  df-dv 23925

This theorem is referenced by:  reloggim  24639