MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reefgim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reefgim 26480
Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
reefgim.1 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
Assertion
Ref Expression
reefgim (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)

Proof of Theorem reefgim
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rebase 21602 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
2 eqid 2726 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
32rpmsubg 21428 . . . . 5 + ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
4 reefgim.1 . . . . . . 7 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
5 cnex 11239 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
65difexi 5335 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
7 rpcndif0 13047 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
87ssriv 3983 . . . . . . . 8 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
9 ressabs 17263 . . . . . . . 8 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+))
106, 8, 9mp2an 690 . . . . . . 7 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
114, 10eqtr4i 2757 . . . . . 6 𝑃 = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+)
1211subgbas 19124 . . . . 5 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ = (Base‘𝑃))
133, 12ax-mp 5 . . . 4 + = (Base‘𝑃)
14 replusg 21606 . . . 4 + = (+g‘ℝfld)
15 eqid 2726 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
16 cnfldmul 21351 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
1715, 16mgpplusg 20121 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
184, 17ressplusg 17304 . . . . 5 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → · = (+g𝑃))
193, 18ax-mp 5 . . . 4 · = (+g𝑃)
20 resubdrg 21604 . . . . . . 7 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
2120simpli 482 . . . . . 6 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
22 df-refld 21601 . . . . . . 7 fld = (ℂflds ℝ)
2322subrgring 20558 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
2421, 23ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Ring
25 ringgrp 20221 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
2624, 25mp1i 13 . . . 4 (⊤ → ℝfld ∈ Grp)
2711subggrp 19123 . . . . 5 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → 𝑃 ∈ Grp)
283, 27mp1i 13 . . . 4 (⊤ → 𝑃 ∈ Grp)
29 reeff1o 26477 . . . . 5 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
30 f1of 6843 . . . . 5 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3129, 30mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
32 recn 11248 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
33 recn 11248 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
34 efadd 16096 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
3532, 33, 34syl2an 594 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
36 readdcl 11241 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3736fvresd 6921 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (exp‘(𝑥 + 𝑦)))
38 fvres 6920 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
39 fvres 6920 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) = (exp‘𝑦))
4038, 39oveqan12d 7443 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
4135, 37, 403eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
4241adantl 480 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
431, 13, 14, 19, 26, 28, 31, 42isghmd 19219 . . 3 (⊤ → (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃))
4443mptru 1541 . 2 (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃)
451, 13isgim 19256 . 2 ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃) ↔ ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃) ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+))
4644, 29, 45mpbir2an 709 1 (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  Vcvv 3462  cdif 3944  wss 3947  {csn 4633  cres 5684  wf 6550  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158   + caddc 11161   · cmul 11163  +crp 13028  expce 16063  Basecbs 17213  s cress 17242  +gcplusg 17266  Grpcgrp 18928  SubGrpcsubg 19114   GrpHom cghm 19206   GrpIso cgim 19251  mulGrpcmgp 20117  Ringcrg 20216  SubRingcsubrg 20551  DivRingcdr 20707  fldccnfld 21343  fldcrefld 21600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-gim 19253  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-drng 20709  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-refld 21601  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887
This theorem is referenced by:  reloggim  26626
  Copyright terms: Public domain W3C validator