Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reefgim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reefgim 25059
 Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
reefgim.1 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
Assertion
Ref Expression
reefgim (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)

Proof of Theorem reefgim
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rebase 20304 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
2 eqid 2798 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
32rpmsubg 20163 . . . . 5 + ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
4 reefgim.1 . . . . . . 7 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
5 cnex 10614 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
65difexi 5197 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
7 rpcndif0 12403 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
87ssriv 3919 . . . . . . . 8 + ⊆ (ℂ ∖ {0})
9 ressabs 16562 . . . . . . . 8 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+))
106, 8, 9mp2an 691 . . . . . . 7 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s+)
114, 10eqtr4i 2824 . . . . . 6 𝑃 = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s+)
1211subgbas 18283 . . . . 5 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ = (Base‘𝑃))
133, 12ax-mp 5 . . . 4 + = (Base‘𝑃)
14 replusg 20308 . . . 4 + = (+g‘ℝfld)
15 eqid 2798 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
16 cnfldmul 20105 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
1715, 16mgpplusg 19244 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
184, 17ressplusg 16611 . . . . 5 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → · = (+g𝑃))
193, 18ax-mp 5 . . . 4 · = (+g𝑃)
20 resubdrg 20306 . . . . . . 7 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
2120simpli 487 . . . . . 6 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
22 df-refld 20303 . . . . . . 7 fld = (ℂflds ℝ)
2322subrgring 19539 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
2421, 23ax-mp 5 . . . . 5 fld ∈ Ring
25 ringgrp 19303 . . . . 5 (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
2624, 25mp1i 13 . . . 4 (⊤ → ℝfld ∈ Grp)
2711subggrp 18282 . . . . 5 (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → 𝑃 ∈ Grp)
283, 27mp1i 13 . . . 4 (⊤ → 𝑃 ∈ Grp)
29 reeff1o 25056 . . . . 5 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
30 f1of 6594 . . . . 5 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3129, 30mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
32 recn 10623 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
33 recn 10623 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
34 efadd 15446 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
3532, 33, 34syl2an 598 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
36 readdcl 10616 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3736fvresd 6670 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (exp‘(𝑥 + 𝑦)))
38 fvres 6669 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
39 fvres 6669 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) = (exp‘𝑦))
4038, 39oveqan12d 7159 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
4135, 37, 403eqtr4d 2843 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
4241adantl 485 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
431, 13, 14, 19, 26, 28, 31, 42isghmd 18367 . . 3 (⊤ → (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃))
4443mptru 1545 . 2 (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃)
451, 13isgim 18402 . 2 ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃) ↔ ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃) ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+))
4644, 29, 45mpbir2an 710 1 (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  {csn 4525   ↾ cres 5522  ⟶wf 6323  –1-1-onto→wf1o 6326  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  ℂcc 10531  ℝcr 10532  0cc0 10533   + caddc 10536   · cmul 10538  ℝ+crp 12384  expce 15414  Basecbs 16482   ↾s cress 16483  +gcplusg 16564  Grpcgrp 18102  SubGrpcsubg 18273   GrpHom cghm 18355   GrpIso cgim 18397  mulGrpcmgp 19240  Ringcrg 19298  DivRingcdr 19503  SubRingcsubrg 19532  ℂfldccnfld 20099  ℝfldcrefld 20302 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-inf2 9095  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611  ax-addf 10612  ax-mulf 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7395  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7821  df-tpos 7882  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-seq 13372  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19241  df-ur 19253  df-ring 19300  df-cring 19301  df-oppr 19377  df-dvdsr 19395  df-unit 19396  df-invr 19426  df-dvr 19437  df-drng 19505  df-subrg 19534  df-psmet 20091  df-xmet 20092  df-met 20093  df-bl 20094  df-mopn 20095  df-fbas 20096  df-fg 20097  df-cnfld 20100  df-refld 20303  df-top 21513  df-topon 21530  df-topsp 21552  df-bases 21565  df-cld 21638  df-ntr 21639  df-cls 21640  df-nei 21717  df-lp 21755  df-perf 21756  df-cn 21846  df-cnp 21847  df-haus 21934  df-tx 22181  df-hmeo 22374  df-fil 22465  df-fm 22557  df-flim 22558  df-flf 22559  df-xms 22941  df-ms 22942  df-tms 22943  df-cncf 23497  df-limc 24483  df-dv 24484 This theorem is referenced by:  reloggim  25204
 Copyright terms: Public domain W3C validator