Theorem reefgim 26642

Description: The exponential function is a group isomorphism from the group of reals under addition to the group of positive reals under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
reefgim.1	⊢ 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
reefgim	⊢ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)

Proof of Theorem reefgim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rebase 21785	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
2		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
3	2	rpmsubg 21610	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
4		reefgim.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
5		cnex 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
6	5	difexi 5303	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
7		rpcndif0 13048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
8	7	ssriv 3942	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})
9		ressabs 17325	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+))
10	6, 8, 9	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℝ+)
11	4, 10	eqtr4i 2791	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s ℝ+)
12	11	subgbas 19219	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → ℝ+ = (Base‘𝑃))
13	3, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ+ = (Base‘𝑃)
14		replusg 21789	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
15		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
16		cnfldmul 21559	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
17	15, 16	mgpplusg 20243	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
18	4, 17	ressplusg 17361	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → · = (+g‘𝑃))
19	3, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝑃)
20		resubdrg 21787	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
21	20	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
22		df-refld 21784	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
23	22	subrgring 20702	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝfld ∈ Ring)
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Ring
25		ringgrp 20343	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ Ring → ℝfld ∈ Grp)
26	24, 25	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝfld ∈ Grp)
27	11	subggrp 19218	. . . . 5 ⊢ (ℝ+ ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → 𝑃 ∈ Grp)
28	3, 27	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑃 ∈ Grp)
29		reeff1o 26639	. . . . 5 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
30		f1of 6824	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
31	29, 30	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (⊤ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
32		recn 11201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
33		recn 11201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
34		efadd 16165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
35	32, 33, 34	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (exp‘(𝑥 + 𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
36		readdcl 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
37	36	fvresd 6905	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (exp‘(𝑥 + 𝑦)))
38		fvres 6904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
39		fvres 6904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) = (exp‘𝑦))
40	38, 39	oveqan12d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)) = ((exp‘𝑥) · (exp‘𝑦)))
41	35, 37, 40	3eqtr4d 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
42	41	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((exp ↾ ℝ)‘(𝑥 + 𝑦)) = (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) · ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
43	1, 13, 14, 19, 26, 28, 31, 42	isghmd 19318	. . 3 ⊢ (⊤ → (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃))
44	43	mptru 1577	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃)
45	1, 13	isgim 19355	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃) ↔ ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpHom 𝑃) ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+))
46	44, 29, 45	mpbir2an 724	1 ⊢ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝfld GrpIso 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4591   ↾ cres 5665  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111   + caddc 11114   · cmul 11116  ℝ⁺crp 13027  expce 16132  Basecbs 17286   ↾_s cress 17307  +_gcplusg 17327  Grpcgrp 19023  SubGrpcsubg 19209   GrpHom cghm 19306   GrpIso cgim 19350  mulGrpcmgp 20239  Ringcrg 20338  SubRingcsubrg 20697  DivRingcdr 20856  ℂ_fldccnfld 21551  ℝ_fldcrefld 21783

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190  ax-mulf 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15123  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-limsup 15541  df-clim 15558  df-rlim 15559  df-sum 15757  df-ef 16138  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-rest 17492  df-topn 17493  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-topgen 17513  df-pt 17514  df-prds 17517  df-xrs 17573  df-qtop 17578  df-imas 17579  df-xps 17581  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-gim 19352  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-cring 20341  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-dvr 20508  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-drng 20858  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-fbas 21548  df-fg 21549  df-cnfld 21552  df-refld 21784  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-cld 23205  df-ntr 23206  df-cls 23207  df-nei 23284  df-lp 23322  df-perf 23323  df-cn 23413  df-cnp 23414  df-haus 23501  df-tx 23748  df-hmeo 23941  df-fil 24032  df-fm 24124  df-flim 24125  df-flf 24126  df-xms 24506  df-ms 24507  df-tms 24508  df-cncf 25066  df-limc 26054  df-dv 26055

This theorem is used by:  reloggim  26793