Theorem wrdt2ind 33286

Description: Perform an induction over the structure of a word of even length. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
wrdt2ind.1	⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
wrdt2ind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
wrdt2ind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) → (𝜑 ↔ 𝜃))
wrdt2ind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
wrdt2ind.5	⊢ 𝜓
wrdt2ind.6	⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
wrdt2ind	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐵,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑖, 𝑗)   𝜒(𝑦, 𝑖, 𝑗)   𝜃(𝑦, 𝑖, 𝑗)   𝜏(𝑦, 𝑖, 𝑗)   𝐴(𝑦, 𝑗)

Proof of Theorem wrdt2ind

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 → (2 · 𝑛) = (2 · 0))
2	1	eqeq1d 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 0) = (♯‘𝑥)))
3	2	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
4	3	ralbidv 3191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
5		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
6	5	eqeq1d 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑘) = (♯‘𝑥)))
7	6	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
8	7	ralbidv 3191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
9		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑘 + 1)))
10	9	eqeq1d 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥)))
11	10	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
12	11	ralbidv 3191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
13		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
14	13	eqeq1d 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑚) = (♯‘𝑥)))
15	14	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
16	15	ralbidv 3191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
17		2t0e0 12421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = 0
18	17	eqeq1i 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 0) = (♯‘𝑥) ↔ 0 = (♯‘𝑥))
19		eqcom 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = (♯‘𝑥) ↔ (♯‘𝑥) = 0)
20	18, 19	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 0) = (♯‘𝑥) ↔ (♯‘𝑥) = 0)
21		hasheq0 14410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
22	20, 21	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((2 · 0) = (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 = ∅))
23		wrdt2ind.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝜓
24		wrdt2ind.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
25	23, 24	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝜑)
26	22, 25	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
27	26	rgen 3084	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑)
28		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
29	28	eqeq2d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑘) = (♯‘𝑦)))
30		wrdt2ind.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
31	29, 30	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)))
32	31	cbvralvw 3246	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒))
33		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ Word 𝐵)
34		0zd 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ∈ ℤ)
35		lencl 14581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
36	33, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
37	36	nn0zd 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℤ)
38		2z 12636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℤ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℤ)
40	37, 39	zsubcld 12715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℤ)
41		2re 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
43		nn0re 12523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
44		0le2 12353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ≤ 2
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
46		nn0ge0 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
47	42, 43, 45, 46	mulge0d 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2 · 𝑘))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ (2 · 𝑘))
49		2cnd 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
50		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
51	50	nn0cnd 12577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℂ)
52		1cnd 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
53	49, 51, 52	adddid 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
54		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))
55		2t1e2 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 · 1) = 2
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 1) = 2)
57	56	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑘) + 2))
58	53, 54, 57	3eqtr3d 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) = ((2 · 𝑘) + 2))
59	58	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) = (((2 · 𝑘) + 2) − 2))
60	49, 51	mulcld 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
61	60, 49	pncand 11580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((2 · 𝑘) + 2) − 2) = (2 · 𝑘))
62	59, 61	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) = (2 · 𝑘))
63	48, 62	breqtrrd 5142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ ((♯‘𝑥) − 2))
64	40	zred 12710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℝ)
65	36	nn0red 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
66		2pos 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
67	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℝ)
68	67, 65	ltsubposd 11810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 < 2 ↔ ((♯‘𝑥) − 2) < (♯‘𝑥)))
69	66, 68	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) < (♯‘𝑥))
70	64, 65, 69	ltled 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ≤ (♯‘𝑥))
71	34, 37, 40, 63, 70	elfzd 13553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0...(♯‘𝑥)))
72		pfxlen 14732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0...(♯‘𝑥))) → (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) = ((♯‘𝑥) − 2))
73	33, 71, 72	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) = ((♯‘𝑥) − 2))
74	73, 62	eqtr2d 2802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))))
75	74	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))))
76		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (♯‘𝑦) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))))
77	76	eqeq2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) ↔ (2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)))))
78		vex 3462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑦 ∈ V
79	78, 30	sbcie 3788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒)
80		dfsbcq 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑))
81	79, 80	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (𝜒 ↔ [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑))
82	77, 81	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒) ↔ ((2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) → [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑)))
83		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒))
84		pfxcl 14726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐵 → (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ∈ Word 𝐵)
85	84	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ∈ Word 𝐵)
86	82, 83, 85	rspcdva 3585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) → [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑))
87	75, 86	mpd 16	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑)
88		2nn0 12531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ0
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℕ0)
90	49	addlidd 11421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 + 2) = 2)
91		0red 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ∈ ℝ)
92	62, 64	eqeltrrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
93	91, 92, 67, 48	leadd1dd 11838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 + 2) ≤ ((2 · 𝑘) + 2))
94	90, 93	eqbrtrrd 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 2))
95	94, 58	breqtrrd 5142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
96		nn0sub 12564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0))
97	96	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0)
98	89, 36, 95, 97	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0)
99	65	recnd 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℂ)
100	99, 49, 52	subsubd 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑥) − 2) + 1))
101		2m1e1 12375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 − 1) = 1
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 − 1) = 1)
103	102	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑥) − 1))
104	100, 103	eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 2) + 1) = ((♯‘𝑥) − 1))
105	65	lem1d 12158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 1) ≤ (♯‘𝑥))
106	104, 105	eqbrtrd 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 2) + 1) ≤ (♯‘𝑥))
107		nn0p1elfzo 13742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑥) − 2) + 1) ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
108	98, 36, 106, 107	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
109		wrdsymbcl 14575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵)
110	33, 108, 109	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵)
111	110	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵)
112		nn0ge2m1nn0 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
113	36, 95, 112	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
114	99, 52	npcand 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 1) + 1) = (♯‘𝑥))
115	65	leidd 11790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑥))
116	114, 115	eqbrtrd 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 1) + 1) ≤ (♯‘𝑥))
117		nn0p1elfzo 13742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑥) − 1) + 1) ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
118	113, 36, 116, 117	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
119		wrdsymbcl 14575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵)
120	33, 118, 119	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵)
121	120	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵)
122		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩))
123	122	sbceq1d 3752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → ([(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑))
124	80, 123	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 → [(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑)))
125		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → 𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)))
126		eqidd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → 𝑗 = 𝑗)
127	125, 126	s2eqd 14911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → ⟨“𝑖𝑗”⟩ = ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩)
128	127	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩))
129	128	sbceq1d 3752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → ([((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑))
130	129	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → (([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑)))
131		eqidd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)))
132		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → 𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
133	131, 132	s2eqd 14911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩ = ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩)
134	133	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
135	134	sbceq1d 3752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → ([((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
136	135	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → (([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑)))
137		wrdt2ind.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝜒 → 𝜃))
138		ovex 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) ∈ V
139		wrdt2ind.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) → (𝜑 ↔ 𝜃))
140	138, 139	sbcie 3788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ([(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃)
141	137, 79, 140	3imtr4g 299	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 → [(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑))
142	124, 130, 136, 141	vtocl3ga 3548	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵) → ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
143	85, 111, 121, 142	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
144	87, 143	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑)
145		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ Word 𝐵)
146		1red 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
147		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
148	147	nn0red 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℝ)
149	148, 146	readdcld 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
150	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℝ)
151	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ 2)
152		0p1e1 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
153		0red 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ∈ ℝ)
154	147	nn0ge0d 12578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ 𝑘)
155	146	leidd 11790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ≤ 1)
156	153, 146, 148, 146, 154, 155	le2addd 11843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
157	152, 156	eqbrtrrid 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ≤ (𝑘 + 1))
158	146, 149, 150, 151, 157	lemul2ad 12165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 1) ≤ (2 · (𝑘 + 1)))
159	55, 158	eqbrtrrid 5150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (2 · (𝑘 + 1)))
160		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))
161	159, 160	breqtrd 5140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
162		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑥)
163	162	pfxlsw2ccat 33283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
164	163	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) = 𝑥)
165	164	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
166	145, 161, 165	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
167		sbceq1a 3758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) → (𝜑 ↔ [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
168	166, 167	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝜑 ↔ [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
169	144, 168	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝜑)
170	169	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐵) → ((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
171	170	ralrimiva 3160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
172	171	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
173	32, 172	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
174	4, 8, 12, 16, 27, 173	nn0ind 12701	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
175	174	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
176		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ Word 𝐵)
177		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
178	177	eqeq2d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)))
179		wrdt2ind.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
180	178, 179	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
181	180	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
182	176, 181	rspcdv 3576	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑) → ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
183	175, 182	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏))
184	183	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)) → 𝜏)
185	184	adantllr 732	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)) → 𝜏)
186		lencl 14581	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
187		evennn02n 16418	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (2 ∥ (♯‘𝐴) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)))
188	187	biimpa 482	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴))
189	186, 188	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴))
190	185, 189	r19.29a 3176	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → 𝜏)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  [wsbc 3747  ∅c0 4289   class class class wbr 5112  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11253   ≤ cle 11254   − cmin 11451  2c2 12305  ℕ₀cn0 12514  ℤcz 12601  ...cfz 13545  ..^cfzo 13693  ♯chash 14377  Word cword 14561   ++ cconcat 14618   prefix cpfx 14719  ⟨“cs2 14889   ∥ cdvds 16320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-n0 12515  df-xnn0 12588  df-z 12602  df-uz 12873  df-rp 13027  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-hash 14378  df-word 14562  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14645  df-substr 14690  df-pfx 14720  df-s2 14896  df-dvds 16321

This theorem is used by:  cyc3genpm  33485