Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wrdt2ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdt2ind 30800
Description: Perform an induction over the structure of a word of even length. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
wrdt2ind.1 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
wrdt2ind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
wrdt2ind.3 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) → (𝜑𝜃))
wrdt2ind.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
wrdt2ind.5 𝜓
wrdt2ind.6 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑖𝐵𝑗𝐵) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
wrdt2ind ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐵,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗)   𝜒(𝑦,𝑖,𝑗)   𝜃(𝑦,𝑖,𝑗)   𝜏(𝑦,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑦,𝑗)

Proof of Theorem wrdt2ind
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7178 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 → (2 · 𝑛) = (2 · 0))
21eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 0) = (♯‘𝑥)))
32imbi1d 345 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
43ralbidv 3109 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
5 oveq2 7178 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
65eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑘) = (♯‘𝑥)))
76imbi1d 345 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
87ralbidv 3109 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
9 oveq2 7178 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑘 + 1)))
109eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥)))
1110imbi1d 345 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
1211ralbidv 3109 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
13 oveq2 7178 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
1413eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑚) = (♯‘𝑥)))
1514imbi1d 345 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
1615ralbidv 3109 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
17 2t0e0 11885 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
1817eqeq1i 2743 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 0) = (♯‘𝑥) ↔ 0 = (♯‘𝑥))
19 eqcom 2745 . . . . . . . . . . 11 (0 = (♯‘𝑥) ↔ (♯‘𝑥) = 0)
2018, 19bitri 278 . . . . . . . . . 10 ((2 · 0) = (♯‘𝑥) ↔ (♯‘𝑥) = 0)
21 hasheq0 13816 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
2220, 21syl5bb 286 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((2 · 0) = (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 = ∅))
23 wrdt2ind.5 . . . . . . . . . 10 𝜓
24 wrdt2ind.1 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
2523, 24mpbiri 261 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → 𝜑)
2622, 25syl6bi 256 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
2726rgen 3063 . . . . . . 7 𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑)
28 fveq2 6674 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
2928eqeq2d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑘) = (♯‘𝑦)))
30 wrdt2ind.2 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
3129, 30imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)))
3231cbvralvw 3349 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒))
33 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ Word 𝐵)
34 0zd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ∈ ℤ)
35 lencl 13974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
3736nn0zd 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℤ)
38 2z 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℤ
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℤ)
4037, 39zsubcld 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℤ)
41 2re 11790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
43 nn0re 11985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
44 0le2 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ≤ 2
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
46 nn0ge0 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
4742, 43, 45, 46mulge0d 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2 · 𝑘))
4847adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ (2 · 𝑘))
49 2cnd 11794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
50 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5150nn0cnd 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℂ)
52 1cnd 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
5349, 51, 52adddid 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
54 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))
55 2t1e2 11879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 · 1) = 2
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 1) = 2)
5756oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑘) + 2))
5853, 54, 573eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) = ((2 · 𝑘) + 2))
5958oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) = (((2 · 𝑘) + 2) − 2))
6049, 51mulcld 10739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
6160, 49pncand 11076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((2 · 𝑘) + 2) − 2) = (2 · 𝑘))
6259, 61eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) = (2 · 𝑘))
6348, 62breqtrrd 5058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ ((♯‘𝑥) − 2))
6440zred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℝ)
6536nn0red 12037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
66 2pos 11819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
6741a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℝ)
6867, 65ltsubposd 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 < 2 ↔ ((♯‘𝑥) − 2) < (♯‘𝑥)))
6966, 68mpbii 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) < (♯‘𝑥))
7064, 65, 69ltled 10866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ≤ (♯‘𝑥))
7134, 37, 40, 63, 70elfzd 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0...(♯‘𝑥)))
72 pfxlen 14134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0...(♯‘𝑥))) → (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) = ((♯‘𝑥) − 2))
7333, 71, 72syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) = ((♯‘𝑥) − 2))
7473, 62eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))))
7574adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))))
76 fveq2 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (♯‘𝑦) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))))
7776eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) ↔ (2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)))))
78 vex 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
7978, 30sbcie 3722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝜒)
80 dfsbcq 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑))
8179, 80bitr3id 288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (𝜒[(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑))
8277, 81imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒) ↔ ((2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) → [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑)))
83 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒))
84 pfxcl 14128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ∈ Word 𝐵)
8584ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ∈ Word 𝐵)
8682, 83, 85rspcdva 3528 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) → [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑))
8775, 86mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑)
88 2nn0 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ0
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℕ0)
9049addid2d 10919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 + 2) = 2)
91 0red 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ∈ ℝ)
9262, 64eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
9391, 92, 67, 48leadd1dd 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 + 2) ≤ ((2 · 𝑘) + 2))
9490, 93eqbrtrrd 5054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 2))
9594, 58breqtrrd 5058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
96 nn0sub 12026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0))
9796biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0)
9889, 36, 95, 97syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0)
9965recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℂ)
10099, 49, 52subsubd 11103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑥) − 2) + 1))
101 2m1e1 11842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 − 1) = 1
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 − 1) = 1)
103102oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑥) − 1))
104100, 103eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 2) + 1) = ((♯‘𝑥) − 1))
10565lem1d 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 1) ≤ (♯‘𝑥))
106104, 105eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 2) + 1) ≤ (♯‘𝑥))
107 nn0p1elfzo 13171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑥) − 2) + 1) ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
10898, 36, 106, 107syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
109 wrdsymbcl 13968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵)
11033, 108, 109syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵)
111110adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵)
112 nn0ge2m1nn0 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
11336, 95, 112syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
11499, 52npcand 11079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 1) + 1) = (♯‘𝑥))
11565leidd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑥))
116114, 115eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 1) + 1) ≤ (♯‘𝑥))
117 nn0p1elfzo 13171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((♯‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑥) − 1) + 1) ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
118113, 36, 116, 117syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
119 wrdsymbcl 13968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵)
12033, 118, 119syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵)
121120adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵)
122 oveq1 7177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩))
123122sbceq1d 3685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → ([(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑))
12480, 123imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑)))
125 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → 𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)))
126 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → 𝑗 = 𝑗)
127125, 126s2eqd 14314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → ⟨“𝑖𝑗”⟩ = ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩)
128127oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩))
129128sbceq1d 3685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → ([((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑))
130129imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → (([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑)))
131 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)))
132 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → 𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
133131, 132s2eqd 14314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩ = ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩)
134133oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
135134sbceq1d 3685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → ([((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
136135imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → (([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑)))
137 wrdt2ind.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑖𝐵𝑗𝐵) → (𝜒𝜃))
138 ovex 7203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) ∈ V
139 wrdt2ind.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) → (𝜑𝜃))
140138, 139sbcie 3722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑𝜃)
141137, 79, 1403imtr4g 299 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑖𝐵𝑗𝐵) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑))
142124, 130, 136, 141vtocl3ga 3482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵) → ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
14385, 111, 121, 142syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
14487, 143mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑)
145 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ Word 𝐵)
146 1red 10720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
147 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
148147nn0red 12037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℝ)
149148, 146readdcld 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
15041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℝ)
15144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ 2)
152 0p1e1 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
153 0red 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ∈ ℝ)
154147nn0ge0d 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ 𝑘)
155146leidd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ≤ 1)
156153, 146, 148, 146, 154, 155le2addd 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
157152, 156eqbrtrrid 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ≤ (𝑘 + 1))
158146, 149, 150, 151, 157lemul2ad 11658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 1) ≤ (2 · (𝑘 + 1)))
15955, 158eqbrtrrid 5066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (2 · (𝑘 + 1)))
160 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))
161159, 160breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
162 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (♯‘𝑥) = (♯‘𝑥)
163162pfxlsw2ccat 30799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
164163eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) = 𝑥)
165164eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
166145, 161, 165syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
167 sbceq1a 3691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) → (𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
169144, 168mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝜑)
170169expr 460 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐵) → ((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
171170ralrimiva 3096 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
172171ex 416 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
17332, 172syl5bi 245 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
1744, 8, 12, 16, 27, 173nn0ind 12158 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
175174adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝐵𝑚 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
176 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝐵𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ Word 𝐵)
177 fveq2 6674 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
178177eqeq2d 2749 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)))
179 wrdt2ind.4 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
180178, 179imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
181180adantl 485 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Word 𝐵𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
182176, 181rspcdv 3518 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝐵𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑) → ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
183175, 182mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝐵𝑚 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏))
184183imp 410 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝐵𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)) → 𝜏)
185184adantllr 719 . 2 ((((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)) → 𝜏)
186 lencl 13974 . . 3 (𝐴 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
187 evennn02n 15795 . . . 4 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (2 ∥ (♯‘𝐴) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)))
188187biimpa 480 . . 3 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴))
189186, 188sylan 583 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴))
190185, 189r19.29a 3199 1 ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  wrex 3054  [wsbc 3680  c0 4211   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620   < clt 10753  cle 10754  cmin 10948  2c2 11771  0cn0 11976  cz 12062  ...cfz 12981  ..^cfzo 13124  chash 13782  Word cword 13955   ++ cconcat 14011   prefix cpfx 14121  ⟨“cs2 14292  cdvds 15699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-hash 13783  df-word 13956  df-lsw 14004  df-concat 14012  df-s1 14039  df-substr 14092  df-pfx 14122  df-s2 14299  df-dvds 15700
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  30996
  Copyright terms: Public domain W3C validator