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Theorem wrdt2ind 31225
Description: Perform an induction over the structure of a word of even length. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
wrdt2ind.1 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
wrdt2ind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
wrdt2ind.3 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) → (𝜑𝜃))
wrdt2ind.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
wrdt2ind.5 𝜓
wrdt2ind.6 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑖𝐵𝑗𝐵) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
wrdt2ind ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐵,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗)   𝜒(𝑦,𝑖,𝑗)   𝜃(𝑦,𝑖,𝑗)   𝜏(𝑦,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑦,𝑗)

Proof of Theorem wrdt2ind
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7283 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 → (2 · 𝑛) = (2 · 0))
21eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 0) = (♯‘𝑥)))
32imbi1d 342 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
43ralbidv 3112 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
5 oveq2 7283 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
65eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑘) = (♯‘𝑥)))
76imbi1d 342 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
87ralbidv 3112 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
9 oveq2 7283 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑘 + 1)))
109eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥)))
1110imbi1d 342 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
1211ralbidv 3112 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
13 oveq2 7283 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
1413eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑚) = (♯‘𝑥)))
1514imbi1d 342 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
1615ralbidv 3112 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
17 2t0e0 12142 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
1817eqeq1i 2743 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 0) = (♯‘𝑥) ↔ 0 = (♯‘𝑥))
19 eqcom 2745 . . . . . . . . . . 11 (0 = (♯‘𝑥) ↔ (♯‘𝑥) = 0)
2018, 19bitri 274 . . . . . . . . . 10 ((2 · 0) = (♯‘𝑥) ↔ (♯‘𝑥) = 0)
21 hasheq0 14078 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
2220, 21syl5bb 283 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((2 · 0) = (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 = ∅))
23 wrdt2ind.5 . . . . . . . . . 10 𝜓
24 wrdt2ind.1 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
2523, 24mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → 𝜑)
2622, 25syl6bi 252 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
2726rgen 3074 . . . . . . 7 𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑)
28 fveq2 6774 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
2928eqeq2d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑘) = (♯‘𝑦)))
30 wrdt2ind.2 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
3129, 30imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)))
3231cbvralvw 3383 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒))
33 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ Word 𝐵)
34 0zd 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ∈ ℤ)
35 lencl 14236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
3736nn0zd 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℤ)
38 2z 12352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℤ
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℤ)
4037, 39zsubcld 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℤ)
41 2re 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
43 nn0re 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
44 0le2 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ≤ 2
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
46 nn0ge0 12258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
4742, 43, 45, 46mulge0d 11552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2 · 𝑘))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ (2 · 𝑘))
49 2cnd 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
50 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5150nn0cnd 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℂ)
52 1cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
5349, 51, 52adddid 10999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
54 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))
55 2t1e2 12136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 · 1) = 2
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 1) = 2)
5756oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑘) + 2))
5853, 54, 573eqtr3d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) = ((2 · 𝑘) + 2))
5958oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) = (((2 · 𝑘) + 2) − 2))
6049, 51mulcld 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
6160, 49pncand 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((2 · 𝑘) + 2) − 2) = (2 · 𝑘))
6259, 61eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) = (2 · 𝑘))
6348, 62breqtrrd 5102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ ((♯‘𝑥) − 2))
6440zred 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℝ)
6536nn0red 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
66 2pos 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
6741a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℝ)
6867, 65ltsubposd 11561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 < 2 ↔ ((♯‘𝑥) − 2) < (♯‘𝑥)))
6966, 68mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) < (♯‘𝑥))
7064, 65, 69ltled 11123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ≤ (♯‘𝑥))
7134, 37, 40, 63, 70elfzd 13247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0...(♯‘𝑥)))
72 pfxlen 14396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0...(♯‘𝑥))) → (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) = ((♯‘𝑥) − 2))
7333, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) = ((♯‘𝑥) − 2))
7473, 62eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))))
7574adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))))
76 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (♯‘𝑦) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))))
7776eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) ↔ (2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)))))
78 vex 3436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ V
7978, 30sbcie 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝜒)
80 dfsbcq 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑))
8179, 80bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (𝜒[(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑))
8277, 81imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒) ↔ ((2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) → [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑)))
83 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒))
84 pfxcl 14390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ∈ Word 𝐵)
8584ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ∈ Word 𝐵)
8682, 83, 85rspcdva 3562 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) → [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑))
8775, 86mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑)
88 2nn0 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ0
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℕ0)
9049addid2d 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 + 2) = 2)
91 0red 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ∈ ℝ)
9262, 64eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
9391, 92, 67, 48leadd1dd 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 + 2) ≤ ((2 · 𝑘) + 2))
9490, 93eqbrtrrd 5098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 2))
9594, 58breqtrrd 5102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
96 nn0sub 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0))
9796biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0)
9889, 36, 95, 97syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0)
9965recnd 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℂ)
10099, 49, 52subsubd 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑥) − 2) + 1))
101 2m1e1 12099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 − 1) = 1
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 − 1) = 1)
103102oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑥) − 1))
104100, 103eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 2) + 1) = ((♯‘𝑥) − 1))
10565lem1d 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 1) ≤ (♯‘𝑥))
106104, 105eqbrtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 2) + 1) ≤ (♯‘𝑥))
107 nn0p1elfzo 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑥) − 2) + 1) ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
10898, 36, 106, 107syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
109 wrdsymbcl 14230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵)
11033, 108, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵)
111110adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵)
112 nn0ge2m1nn0 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
11336, 95, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
11499, 52npcand 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 1) + 1) = (♯‘𝑥))
11565leidd 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑥))
116114, 115eqbrtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 1) + 1) ≤ (♯‘𝑥))
117 nn0p1elfzo 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((♯‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑥) − 1) + 1) ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
118113, 36, 116, 117syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
119 wrdsymbcl 14230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵)
12033, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵)
121120adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵)
122 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩))
123122sbceq1d 3721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → ([(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑))
12480, 123imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑)))
125 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → 𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)))
126 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → 𝑗 = 𝑗)
127125, 126s2eqd 14576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → ⟨“𝑖𝑗”⟩ = ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩)
128127oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩))
129128sbceq1d 3721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → ([((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑))
130129imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → (([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑)))
131 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)))
132 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → 𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
133131, 132s2eqd 14576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩ = ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩)
134133oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
135134sbceq1d 3721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → ([((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
136135imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → (([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑)))
137 wrdt2ind.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑖𝐵𝑗𝐵) → (𝜒𝜃))
138 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) ∈ V
139 wrdt2ind.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) → (𝜑𝜃))
140138, 139sbcie 3759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑𝜃)
141137, 79, 1403imtr4g 296 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑖𝐵𝑗𝐵) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑))
142124, 130, 136, 141vtocl3ga 3517 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵) → ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
14385, 111, 121, 142syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
14487, 143mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑)
145 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ Word 𝐵)
146 1red 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
147 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
148147nn0red 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℝ)
149148, 146readdcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
15041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℝ)
15144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ 2)
152 0p1e1 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
153 0red 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ∈ ℝ)
154147nn0ge0d 12296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ 𝑘)
155146leidd 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ≤ 1)
156153, 146, 148, 146, 154, 155le2addd 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
157152, 156eqbrtrrid 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ≤ (𝑘 + 1))
158146, 149, 150, 151, 157lemul2ad 11915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 1) ≤ (2 · (𝑘 + 1)))
15955, 158eqbrtrrid 5110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (2 · (𝑘 + 1)))
160 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))
161159, 160breqtrd 5100 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
162 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (♯‘𝑥) = (♯‘𝑥)
163162pfxlsw2ccat 31224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
164163eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) = 𝑥)
165164eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
166145, 161, 165syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
167 sbceq1a 3727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) → (𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
169144, 168mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝜑)
170169expr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐵) → ((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
171170ralrimiva 3103 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
172171ex 413 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
17332, 172syl5bi 241 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
1744, 8, 12, 16, 27, 173nn0ind 12415 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
175174adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝐵𝑚 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
176 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝐵𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ Word 𝐵)
177 fveq2 6774 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
178177eqeq2d 2749 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)))
179 wrdt2ind.4 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
180178, 179imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
181180adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Word 𝐵𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
182176, 181rspcdv 3553 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝐵𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑) → ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
183175, 182mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝐵𝑚 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏))
184183imp 407 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝐵𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)) → 𝜏)
185184adantllr 716 . 2 ((((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)) → 𝜏)
186 lencl 14236 . . 3 (𝐴 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
187 evennn02n 16059 . . . 4 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (2 ∥ (♯‘𝐴) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)))
188187biimpa 477 . . 3 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴))
189186, 188sylan 580 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴))
190185, 189r19.29a 3218 1 ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065  [wsbc 3716  c0 4256   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  2c2 12028  0cn0 12233  cz 12319  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  chash 14044  Word cword 14217   ++ cconcat 14273   prefix cpfx 14383  ⟨“cs2 14554  cdvds 15963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-s2 14561  df-dvds 15964
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  31419
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