Theorem wrdt2ind 32875

Description: Perform an induction over the structure of a word of even length. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
wrdt2ind.1	⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
wrdt2ind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
wrdt2ind.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) → (𝜑 ↔ 𝜃))
wrdt2ind.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
wrdt2ind.5	⊢ 𝜓
wrdt2ind.6	⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
wrdt2ind	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐵,𝑖,𝑗,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑖,𝑗)   𝜒(𝑦,𝑖,𝑗)   𝜃(𝑦,𝑖,𝑗)   𝜏(𝑦,𝑖,𝑗)   𝐴(𝑦,𝑗)

Proof of Theorem wrdt2ind

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 → (2 · 𝑛) = (2 · 0))
2	1	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 0) = (♯‘𝑥)))
3	2	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
4	3	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
5		oveq2 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
6	5	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑘) = (♯‘𝑥)))
7	6	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
8	7	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
9		oveq2 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑘 + 1)))
10	9	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥)))
11	10	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
12	11	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
13		oveq2 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
14	13	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑚) = (♯‘𝑥)))
15	14	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
16	15	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑛) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
17		2t0e0 12350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 0) = 0
18	17	eqeq1i 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 0) = (♯‘𝑥) ↔ 0 = (♯‘𝑥))
19		eqcom 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = (♯‘𝑥) ↔ (♯‘𝑥) = 0)
20	18, 19	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 0) = (♯‘𝑥) ↔ (♯‘𝑥) = 0)
21		hasheq0 14328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
22	20, 21	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((2 · 0) = (♯‘𝑥) ↔ 𝑥 = ∅))
23		wrdt2ind.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝜓
24		wrdt2ind.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝜑 ↔ 𝜓))
25	23, 24	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝜑)
26	22, 25	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
27	26	rgen 3046	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 0) = (♯‘𝑥) → 𝜑)
28		fveq2 6858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
29	28	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑘) = (♯‘𝑦)))
30		wrdt2ind.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
31	29, 30	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)))
32	31	cbvralvw 3215	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒))
33		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ Word 𝐵)
34		0zd 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ∈ ℤ)
35		lencl 14498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
37	36	nn0zd 12555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℤ)
38		2z 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℤ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℤ)
40	37, 39	zsubcld 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℤ)
41		2re 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
43		nn0re 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
44		0le2 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ≤ 2
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 2)
46		nn0ge0 12467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
47	42, 43, 45, 46	mulge0d 11755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2 · 𝑘))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ (2 · 𝑘))
49		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
50		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
51	50	nn0cnd 12505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℂ)
52		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
53	49, 51, 52	adddid 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
54		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))
55		2t1e2 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 · 1) = 2
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 1) = 2)
57	56	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑘) + 2))
58	53, 54, 57	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) = ((2 · 𝑘) + 2))
59	58	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) = (((2 · 𝑘) + 2) − 2))
60	49, 51	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
61	60, 49	pncand 11534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((2 · 𝑘) + 2) − 2) = (2 · 𝑘))
62	59, 61	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) = (2 · 𝑘))
63	48, 62	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ ((♯‘𝑥) − 2))
64	40	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℝ)
65	36	nn0red 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℝ)
66		2pos 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
67	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℝ)
68	67, 65	ltsubposd 11764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 < 2 ↔ ((♯‘𝑥) − 2) < (♯‘𝑥)))
69	66, 68	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) < (♯‘𝑥))
70	64, 65, 69	ltled 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ≤ (♯‘𝑥))
71	34, 37, 40, 63, 70	elfzd 13476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0...(♯‘𝑥)))
72		pfxlen 14648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0...(♯‘𝑥))) → (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) = ((♯‘𝑥) − 2))
73	33, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) = ((♯‘𝑥) − 2))
74	73, 62	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))))
75	74	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))))
76		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (♯‘𝑦) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))))
77	76	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → ((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) ↔ (2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)))))
78		vex 3451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑦 ∈ V
79	78, 30	sbcie 3795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒)
80		dfsbcq 3755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑))
81	79, 80	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (𝜒 ↔ [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑))
82	77, 81	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒) ↔ ((2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) → [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑)))
83		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒))
84		pfxcl 14642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Word 𝐵 → (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ∈ Word 𝐵)
85	84	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ∈ Word 𝐵)
86	82, 83, 85	rspcdva 3589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((2 · 𝑘) = (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2))) → [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑))
87	75, 86	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑)
88		2nn0 12459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ0
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℕ0)
90	49	addlidd 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 + 2) = 2)
91		0red 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ∈ ℝ)
92	62, 64	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
93	91, 92, 67, 48	leadd1dd 11792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 + 2) ≤ ((2 · 𝑘) + 2))
94	90, 93	eqbrtrrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ ((2 · 𝑘) + 2))
95	94, 58	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
96		nn0sub 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0))
97	96	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0)
98	89, 36, 95, 97	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0)
99	65	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ∈ ℂ)
100	99, 49, 52	subsubd 11561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − (2 − 1)) = (((♯‘𝑥) − 2) + 1))
101		2m1e1 12307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 − 1) = 1
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 − 1) = 1)
103	102	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − (2 − 1)) = ((♯‘𝑥) − 1))
104	100, 103	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 2) + 1) = ((♯‘𝑥) − 1))
105	65	lem1d 12116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 1) ≤ (♯‘𝑥))
106	104, 105	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 2) + 1) ≤ (♯‘𝑥))
107		nn0p1elfzo 13663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑥) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑥) − 2) + 1) ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
108	98, 36, 106, 107	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
109		wrdsymbcl 14492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ ((♯‘𝑥) − 2) ∈ (0..^(♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵)
110	33, 108, 109	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵)
111	110	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵)
112		nn0ge2m1nn0 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
113	36, 95, 112	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0)
114	99, 52	npcand 11537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 1) + 1) = (♯‘𝑥))
115	65	leidd 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (♯‘𝑥) ≤ (♯‘𝑥))
116	114, 115	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (((♯‘𝑥) − 1) + 1) ≤ (♯‘𝑥))
117		nn0p1elfzo 13663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑥) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝑥) − 1) + 1) ≤ (♯‘𝑥)) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
118	113, 36, 116, 117	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
119		wrdsymbcl 14492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵)
120	33, 118, 119	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵)
121	120	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵)
122		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩))
123	122	sbceq1d 3758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → ([(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑))
124	80, 123	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 → [(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑)))
125		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → 𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)))
126		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → 𝑗 = 𝑗)
127	125, 126	s2eqd 14829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → ⟨“𝑖𝑗”⟩ = ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩)
128	127	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩))
129	128	sbceq1d 3758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → ([((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑))
130	129	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) → (([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑)))
131		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)))
132		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → 𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
133	131, 132	s2eqd 14829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩ = ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩)
134	133	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
135	134	sbceq1d 3758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → ([((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
136	135	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) → (([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑)))
137		wrdt2ind.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (𝜒 → 𝜃))
138		ovex 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) ∈ V
139		wrdt2ind.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) → (𝜑 ↔ 𝜃))
140	138, 139	sbcie 3795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ([(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃)
141	137, 79, 140	3imtr4g 296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 → [(𝑦 ++ ⟨“𝑖𝑗”⟩) / 𝑥]𝜑))
142	124, 130, 136, 141	vtocl3ga 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 2)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ 𝐵) → ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
143	85, 111, 121, 142	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) / 𝑥]𝜑 → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
144	87, 143	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑)
145		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ Word 𝐵)
146		1red 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
147		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
148	147	nn0red 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℝ)
149	148, 146	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
150	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ∈ ℝ)
151	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ 2)
152		0p1e1 12303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
153		0red 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ∈ ℝ)
154	147	nn0ge0d 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 0 ≤ 𝑘)
155	146	leidd 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ≤ 1)
156	153, 146, 148, 146, 154, 155	le2addd 11797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (0 + 1) ≤ (𝑘 + 1))
157	152, 156	eqbrtrrid 5143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 1 ≤ (𝑘 + 1))
158	146, 149, 150, 151, 157	lemul2ad 12123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · 1) ≤ (2 · (𝑘 + 1)))
159	55, 158	eqbrtrrid 5143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (2 · (𝑘 + 1)))
160		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))
161	159, 160	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
162		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (♯‘𝑥) = (♯‘𝑥)
163	162	pfxlsw2ccat 32872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
164	163	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) = 𝑥)
165	164	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
166	145, 161, 165	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩))
167		sbceq1a 3764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) → (𝜑 ↔ [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → (𝜑 ↔ [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 2)) ++ ⟨“(𝑥‘((♯‘𝑥) − 2))(𝑥‘((♯‘𝑥) − 1))”⟩) / 𝑥]𝜑))
169	144, 168	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥))) → 𝜑)
170	169	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐵) → ((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
171	170	ralrimiva 3125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒)) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
172	171	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑦) → 𝜒) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
173	32, 172	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑘) = (♯‘𝑥) → 𝜑) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · (𝑘 + 1)) = (♯‘𝑥) → 𝜑)))
174	4, 8, 12, 16, 27, 173	nn0ind 12629	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
175	174	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑))
176		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ Word 𝐵)
177		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
178	177	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) ↔ (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)))
179		wrdt2ind.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
180	178, 179	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
181	180	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑) ↔ ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
182	176, 181	rspcdv 3580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((2 · 𝑚) = (♯‘𝑥) → 𝜑) → ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
183	175, 182	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑚) = (♯‘𝐴) → 𝜏))
184	183	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)) → 𝜏)
185	184	adantllr 719	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)) → 𝜏)
186		lencl 14498	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
187		evennn02n 16320	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (2 ∥ (♯‘𝐴) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴)))
188	187	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴))
189	186, 188	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 (2 · 𝑚) = (♯‘𝐴))
190	185, 189	r19.29a 3141	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝐵 ∧ 2 ∥ (♯‘𝐴)) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  [wsbc 3753  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535   prefix cpfx 14635  ⟨“cs2 14807   ∥ cdvds 16222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-lsw 14528  df-concat 14536  df-s1 14561  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-s2 14814  df-dvds 16223

This theorem is referenced by:  cyc3genpm  33109