Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wrdt2ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdt2ind 32622
Description: Perform an induction over the structure of a word of even length. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
wrdt2ind.1 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))
wrdt2ind.2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ’))
wrdt2ind.3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œƒ))
wrdt2ind.4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ))
wrdt2ind.5 ๐œ“
wrdt2ind.6 ((๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐œ’ โ†’ ๐œƒ))
Assertion
Ref Expression
wrdt2ind ((๐ด โˆˆ Word ๐ต โˆง 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ๐œ)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–,๐‘ฅ   ๐ต,๐‘–,๐‘—,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ’,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—   ๐œ,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘ฆ   ๐œƒ,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐œ“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—)   ๐œ’(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—)   ๐œƒ(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—)   ๐œ(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—)   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘—)

Proof of Theorem wrdt2ind
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = 0 โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท 0))
21eqeq1d 2728 . . . . . . . . 9 (๐‘› = 0 โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” (2 ยท 0) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)))
32imbi1d 341 . . . . . . . 8 (๐‘› = 0 โ†’ (((2 ยท ๐‘›) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†” ((2 ยท 0) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘)))
43ralbidv 3171 . . . . . . 7 (๐‘› = 0 โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘›) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท 0) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘)))
5 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘˜))
65eqeq1d 2728 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” (2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)))
76imbi1d 341 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†” ((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘)))
87ralbidv 3171 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘›) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘)))
9 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (๐‘˜ + 1) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท (๐‘˜ + 1)))
109eqeq1d 2728 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)))
1110imbi1d 341 . . . . . . . 8 (๐‘› = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†” ((2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘)))
1211ralbidv 3171 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘˜ + 1) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘›) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘)))
13 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘š))
1413eqeq1d 2728 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((2 ยท ๐‘›) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” (2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)))
1514imbi1d 341 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((2 ยท ๐‘›) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†” ((2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘)))
1615ralbidv 3171 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘›) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘)))
17 2t0e0 12385 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 0) = 0
1817eqeq1i 2731 . . . . . . . . . . 11 ((2 ยท 0) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” 0 = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
19 eqcom 2733 . . . . . . . . . . 11 (0 = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = 0)
2018, 19bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท 0) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = 0)
21 hasheq0 14328 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = 0 โ†” ๐‘ฅ = โˆ…))
2220, 21bitrid 283 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โ†’ ((2 ยท 0) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” ๐‘ฅ = โˆ…))
23 wrdt2ind.5 . . . . . . . . . 10 ๐œ“
24 wrdt2ind.1 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))
2523, 24mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ๐œ‘)
2622, 25syl6bi 253 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โ†’ ((2 ยท 0) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘))
2726rgen 3057 . . . . . . 7 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท 0) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘)
28 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ))
2928eqeq2d 2737 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” (2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ)))
30 wrdt2ind.2 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ’))
3129, 30imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†” ((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)))
3231cbvralvw 3228 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’))
33 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต)
34 0zd 12574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
35 lencl 14489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
3736nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
38 2z 12598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 โˆˆ โ„ค
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
4037, 39zsubcld 12675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„ค)
41 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 โˆˆ โ„
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„)
43 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
44 0le2 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 โ‰ค 2
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค 2)
46 nn0ge0 12501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
4742, 43, 45, 46mulge0d 11795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘˜))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐‘˜))
49 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
50 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
5150nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
52 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5349, 51, 52adddid 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = ((2 ยท ๐‘˜) + (2 ยท 1)))
54 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
55 2t1e2 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 ยท 1) = 2
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (2 ยท 1) = 2)
5756oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) + (2 ยท 1)) = ((2 ยท ๐‘˜) + 2))
5853, 54, 573eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = ((2 ยท ๐‘˜) + 2))
5958oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) = (((2 ยท ๐‘˜) + 2) โˆ’ 2))
6049, 51mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6160, 49pncand 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) + 2) โˆ’ 2) = (2 ยท ๐‘˜))
6259, 61eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) = (2 ยท ๐‘˜))
6348, 62breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))
6440zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
6536nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
66 2pos 12319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
6741a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
6867, 65ltsubposd 11804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (0 < 2 โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) < (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)))
6966, 68mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) < (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
7064, 65, 69ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
7134, 37, 40, 63, 70elfzd 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)))
72 pfxlen 14639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))
7333, 71, 72syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))
7473, 62eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))))
7574adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))))
76 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))))
7776eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†” (2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)))))
78 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘ฆ โˆˆ V
7978, 30sbcie 3815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([๐‘ฆ / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†” ๐œ’)
80 dfsbcq 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ ([๐‘ฆ / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†” [(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
8179, 80bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ (๐œ’ โ†” [(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
8277, 81imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’) โ†” ((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))) โ†’ [(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) / ๐‘ฅ]๐œ‘)))
83 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’))
84 pfxcl 14633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โ†’ (๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โˆˆ Word ๐ต)
8584ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โˆˆ Word ๐ต)
8682, 83, 85rspcdva 3607 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))) โ†’ [(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
8775, 86mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ [(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) / ๐‘ฅ]๐œ‘)
88 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„•0
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
9049addlidd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (0 + 2) = 2)
91 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
9262, 64eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
9391, 92, 67, 48leadd1dd 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (0 + 2) โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 2))
9490, 93eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) + 2))
9594, 58breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 2 โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
96 nn0sub 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0))
9796biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0) โˆง 2 โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0)
9889, 36, 95, 97syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0)
9965recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
10099, 49, 52subsubd 11603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (2 โˆ’ 1)) = (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) + 1))
101 2m1e1 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 โˆ’ 1) = 1
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (2 โˆ’ 1) = 1)
103102oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ (2 โˆ’ 1)) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))
104100, 103eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) + 1) = ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))
10565lem1d 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
106104, 105eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) + 1) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
107 nn0p1elfzo 13681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โˆง (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) + 1) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)))
10898, 36, 106, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)))
109 wrdsymbcl 14483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2) โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โˆˆ ๐ต)
11033, 108, 109syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โˆˆ ๐ต)
111110adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โˆˆ ๐ต)
112 nn0ge2m1nn0 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
11336, 95, 112syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
11499, 52npcand 11579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) + 1) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
11565leidd 11784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
116114, 115eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) + 1) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
117 nn0p1elfzo 13681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โˆง (((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) + 1) โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)))
118113, 36, 116, 117syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)))
119 wrdsymbcl 14483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆˆ ๐ต)
12033, 118, 119syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆˆ ๐ต)
121120adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆˆ ๐ต)
122 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ (๐‘ฆ ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) = ((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ))
123122sbceq1d 3777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ ([(๐‘ฆ ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†” [((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
12480, 123imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ (([๐‘ฆ / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†’ [(๐‘ฆ ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘) โ†” ([(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†’ [((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘)))
125 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘– = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ ๐‘– = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)))
126 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘– = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ ๐‘— = ๐‘—)
127125, 126s2eqd 14820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘– = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ = โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))๐‘—โ€โŸฉ)
128127oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘– = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ ((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) = ((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))๐‘—โ€โŸฉ))
129128sbceq1d 3777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ ([((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†” [((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))๐‘—โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
130129imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โ†’ (([(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†’ [((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘) โ†” ([(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†’ [((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))๐‘—โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘)))
131 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘— = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)))
132 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘— = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘— = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))
133131, 132s2eqd 14820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘— = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โ†’ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))๐‘—โ€โŸฉ = โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ)
134133oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โ†’ ((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))๐‘—โ€โŸฉ) = ((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ))
135134sbceq1d 3777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โ†’ ([((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))๐‘—โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†” [((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
136135imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— = (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โ†’ (([(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†’ [((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))๐‘—โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘) โ†” ([(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†’ [((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘)))
137 wrdt2ind.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐œ’ โ†’ ๐œƒ))
138 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) โˆˆ V
139 wrdt2ind.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œƒ))
140138, 139sbcie 3815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([(๐‘ฆ ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†” ๐œƒ)
141137, 79, 1403imtr4g 296 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ต) โ†’ ([๐‘ฆ / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†’ [(๐‘ฆ ++ โŸจโ€œ๐‘–๐‘—โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
142124, 130, 136, 141vtocl3ga 3564 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โˆˆ Word ๐ต โˆง (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆˆ ๐ต) โ†’ ([(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†’ [((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
14385, 111, 121, 142syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ([(๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†’ [((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
14487, 143mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ [((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘)
145 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต)
146 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
147 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
148147nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
149148, 146readdcld 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
15041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
15144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค 2)
152 0p1e1 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
153 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
154147nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
155146leidd 11784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 1 โ‰ค 1)
156153, 146, 148, 146, 154, 155le2addd 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (0 + 1) โ‰ค (๐‘˜ + 1))
157152, 156eqbrtrrid 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘˜ + 1))
158146, 149, 150, 151, 157lemul2ad 12158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท (๐‘˜ + 1)))
15955, 158eqbrtrrid 5177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 2 โ‰ค (2 ยท (๐‘˜ + 1)))
160 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
161159, 160breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 2 โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
162 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)
163162pfxlsw2ccat 32621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง 2 โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ = ((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ))
164163eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง 2 โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ) = ๐‘ฅ)
165164eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง 2 โ‰ค (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ = ((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ))
166145, 161, 165syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ = ((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ))
167 sbceq1a 3783 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ) โ†’ (๐œ‘ โ†” [((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐œ‘ โ†” [((๐‘ฅ prefix ((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2)) ++ โŸจโ€œ(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 2))(๐‘ฅโ€˜((โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))โ€โŸฉ) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
169144, 168mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต โˆง (2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐œ‘)
170169expr 456 . . . . . . . . . 10 (((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต) โ†’ ((2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘))
171170ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘))
172171ex 412 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฆ) โ†’ ๐œ’) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘)))
17332, 172biimtrid 241 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘˜) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท (๐‘˜ + 1)) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘)))
1744, 8, 12, 16, 27, 173nn0ind 12661 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘))
175174adantl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Word ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘))
176 simpl 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Word ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ Word ๐ต)
177 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
178177eqeq2d 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†” (2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐ด)))
179 wrdt2ind.4 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ))
180178, 179imbi12d 344 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†” ((2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†’ ๐œ)))
181180adantl 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ Word ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ฅ = ๐ด) โ†’ (((2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†” ((2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†’ ๐œ)))
182176, 181rspcdv 3598 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Word ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Word ๐ต((2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ) โ†’ ๐œ‘) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†’ ๐œ)))
183175, 182mpd 15 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Word ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†’ ๐œ))
184183imp 406 . . 3 (((๐ด โˆˆ Word ๐ต โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ๐œ)
185184adantllr 716 . 2 ((((๐ด โˆˆ Word ๐ต โˆง 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ๐œ)
186 lencl 14489 . . 3 (๐ด โˆˆ Word ๐ต โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
187 evennn02n 16300 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ด) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐ด)))
188187biimpa 476 . . 3 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
189186, 188sylan 579 . 2 ((๐ด โˆˆ Word ๐ต โˆง 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (2 ยท ๐‘š) = (โ™ฏโ€˜๐ด))
190185, 189r19.29a 3156 1 ((๐ด โˆˆ Word ๐ต โˆง 2 โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ๐œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  [wsbc 3772  โˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  โ™ฏchash 14295  Word cword 14470   ++ cconcat 14526   prefix cpfx 14626  โŸจโ€œcs2 14798   โˆฅ cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-s2 14805  df-dvds 16205
This theorem is referenced by:  cyc3genpm  32817
  Copyright terms: Public domain W3C validator