Theorem zindbi 41685

Description: Inductively transfer a property to the integers if it holds for zero and passes between adjacent integers in either direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zindbi.1	⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓 ↔ 𝜒))
zindbi.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
zindbi.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
zindbi.4	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜃))
zindbi.5	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
zindbi	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃 ↔ 𝜏))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)

Proof of Theorem zindbi

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11208	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2		zindbi.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜃))
3	1, 2	sbcie 3821	. . 3 ⊢ ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃)
4		0z 12569	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		eleq1 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
6		breq1 5152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ 𝑏))
7	5, 6	3anbi13d 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏)))
8		dfsbcq 3780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
9	8	bibi1d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)))
10	7, 9	imbi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))))
11		eleq1 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
12		breq2 5153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ 𝐴))
13	11, 12	3anbi23d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
14		dfsbcq 3780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
15	14	bibi2d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
16	13, 15	imbi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))))
17		dfsbcq 3780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
18	17	bibi2d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)))
19		dfsbcq 3780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
20	19	bibi2d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)))
21		dfsbcq 3780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
22	21	bibi2d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
23		biidd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
24		vex 3479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑦 ∈ V
25		zindbi.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
26	24, 25	sbcie 3821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
27		dfsbcq 3780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
28	26, 27	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝜓 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
29		ovex 7442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 + 1) ∈ V
30		zindbi.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
31	29, 30	sbcie 3821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒)
32		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + 1) = (𝑏 + 1))
33	32	sbceq1d 3783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
34	31, 33	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝜒 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
35	28, 34	bibi12d 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝜓 ↔ 𝜒) ↔ ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
36		zindbi.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓 ↔ 𝜒))
37	35, 36	vtoclga 3566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
38	37	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
39	38	bibi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
40	39	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
41	18, 20, 22, 20, 23, 40	uzind 12654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
42	10, 16, 41	vtocl2g 3563	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
43	42	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
44	43	pm2.43i 52	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
45	4, 44	mp3an1 1449	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
46		eleq1 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
47		breq1 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≤ 𝑏 ↔ 𝐴 ≤ 𝑏))
48	46, 47	3anbi13d 1439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏)))
49		dfsbcq 3780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
50	49	bibi1d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)))
51	48, 50	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))))
52		eleq1 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
53		breq2 5153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝐴 ≤ 𝑏 ↔ 𝐴 ≤ 0))
54	52, 53	3anbi23d 1440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0)))
55		dfsbcq 3780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
56	55	bibi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 0 → (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑)))
57	54, 56	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))))
58	51, 57, 41	vtocl2g 3563	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑)))
59	58	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑)))
60	59	pm2.43i 52	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
61	4, 60	mp3an2 1450	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
62	61	bicomd 222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
63		0re 11216	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
64		zre 12562	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
65		letric 11314	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 0))
66	63, 64, 65	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 0))
67	45, 62, 66	mpjaodan 958	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
68	3, 67	bitr3id 285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
69		zindbi.5	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
70	69	sbcieg 3818	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜏))
71	68, 70	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃 ↔ 𝜏))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  [wsbc 3778   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ≤ cle 11249  ℤcz 12558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559

This theorem is referenced by:  jm2.25  41738