Theorem zindbi 43130

Description: Inductively transfer a property to the integers if it holds for zero and passes between adjacent integers in either direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zindbi.1	⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓 ↔ 𝜒))
zindbi.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
zindbi.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
zindbi.4	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜃))
zindbi.5	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
zindbi	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃 ↔ 𝜏))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)

Proof of Theorem zindbi

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11124	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2		zindbi.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜃))
3	1, 2	sbcie 3780	. . 3 ⊢ ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃)
4		0z 12497	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		eleq1 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
6		breq1 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ 𝑏))
7	5, 6	3anbi13d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏)))
8		dfsbcq 3740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
9	8	bibi1d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)))
10	7, 9	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))))
11		eleq1 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
12		breq2 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ 𝐴))
13	11, 12	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
14		dfsbcq 3740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
15	14	bibi2d 342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
16	13, 15	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))))
17		dfsbcq 3740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
18	17	bibi2d 342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)))
19		dfsbcq 3740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
20	19	bibi2d 342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)))
21		dfsbcq 3740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
22	21	bibi2d 342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
23		biidd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
24		vex 3442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑦 ∈ V
25		zindbi.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
26	24, 25	sbcie 3780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
27		dfsbcq 3740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
28	26, 27	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝜓 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
29		ovex 7389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 + 1) ∈ V
30		zindbi.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
31	29, 30	sbcie 3780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒)
32		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + 1) = (𝑏 + 1))
33	32	sbceq1d 3743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
34	31, 33	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝜒 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
35	28, 34	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝜓 ↔ 𝜒) ↔ ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
36		zindbi.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓 ↔ 𝜒))
37	35, 36	vtoclga 3530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
38	37	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
39	38	bibi2d 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
40	39	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
41	18, 20, 22, 20, 23, 40	uzind 12582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
42	10, 16, 41	vtocl2g 3527	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
43	42	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
44	43	pm2.43i 52	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
45	4, 44	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
46		eleq1 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
47		breq1 5099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≤ 𝑏 ↔ 𝐴 ≤ 𝑏))
48	46, 47	3anbi13d 1440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏)))
49		dfsbcq 3740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
50	49	bibi1d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)))
51	48, 50	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))))
52		eleq1 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
53		breq2 5100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝐴 ≤ 𝑏 ↔ 𝐴 ≤ 0))
54	52, 53	3anbi23d 1441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0)))
55		dfsbcq 3740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
56	55	bibi2d 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 0 → (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑)))
57	54, 56	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))))
58	51, 57, 41	vtocl2g 3527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑)))
59	58	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑)))
60	59	pm2.43i 52	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
61	4, 60	mp3an2 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
62	61	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
63		0re 11132	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
64		zre 12490	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
65		letric 11231	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 0))
66	63, 64, 65	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 0))
67	45, 62, 66	mpjaodan 960	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
68	3, 67	bitr3id 285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
69		zindbi.5	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
70	69	sbcieg 3778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜏))
71	68, 70	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃 ↔ 𝜏))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  [wsbc 3738   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   ≤ cle 11165  ℤcz 12486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487

This theorem is referenced by:  jm2.25  43183