Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zindbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zindbi 42958
Description: Inductively transfer a property to the integers if it holds for zero and passes between adjacent integers in either direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zindbi.1 (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓𝜒))
zindbi.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
zindbi.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
zindbi.4 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜃))
zindbi.5 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
Assertion
Ref Expression
zindbi (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃𝜏))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)

Proof of Theorem zindbi
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 11255 . . . 4 0 ∈ V
2 zindbi.4 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜃))
31, 2sbcie 3830 . . 3 ([0 / 𝑥]𝜑𝜃)
4 0z 12624 . . . . 5 0 ∈ ℤ
5 eleq1 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
6 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (𝑦𝑏 ↔ 0 ≤ 𝑏))
75, 63anbi13d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏)))
8 dfsbcq 3790 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))
98bibi1d 343 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)))
107, 9imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))))
11 eleq1 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
12 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ 𝐴))
1311, 123anbi23d 1441 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐴 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
14 dfsbcq 3790 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐴 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
1514bibi2d 342 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐴 → (([0 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑)))
1613, 15imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐴 → (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))))
17 dfsbcq 3790 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
1817bibi2d 342 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑦 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)))
19 dfsbcq 3790 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))
2019bibi2d 342 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)))
21 dfsbcq 3790 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
2221bibi2d 342 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
23 biidd 262 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
24 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ V
25 zindbi.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
2624, 25sbcie 3830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝜓)
27 dfsbcq 3790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))
2826, 27bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝜓[𝑏 / 𝑥]𝜑))
29 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 + 1) ∈ V
30 zindbi.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
3129, 30sbcie 3830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑𝜒)
32 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + 1) = (𝑏 + 1))
3332sbceq1d 3793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
3431, 33bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝜒[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
3528, 34bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 → ((𝜓𝜒) ↔ ([𝑏 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
36 zindbi.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓𝜒))
3735, 36vtoclga 3577 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℤ → ([𝑏 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
38373ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → ([𝑏 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
3938bibi2d 342 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
4039biimpd 229 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
4118, 20, 22, 20, 23, 40uzind 12710 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))
4210, 16, 41vtocl2g 3574 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑)))
43423adant3 1133 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑)))
4443pm2.43i 52 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
454, 44mp3an1 1450 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
46 eleq1 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
47 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑏𝐴𝑏))
4846, 473anbi13d 1440 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑏)))
49 dfsbcq 3790 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
5049bibi1d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)))
5148, 50imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))))
52 eleq1 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
53 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → (𝐴𝑏𝐴 ≤ 0))
5452, 533anbi23d 1441 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0)))
55 dfsbcq 3790 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))
5655bibi2d 342 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 → (([𝐴 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑)))
5754, 56imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 0 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))))
5851, 57, 41vtocl2g 3574 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑)))
59583adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑)))
6059pm2.43i 52 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))
614, 60mp3an2 1451 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))
6261bicomd 223 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
63 0re 11263 . . . . 5 0 ∈ ℝ
64 zre 12617 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
65 letric 11361 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0))
6663, 64, 65sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0))
6745, 62, 66mpjaodan 961 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
683, 67bitr3id 285 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃[𝐴 / 𝑥]𝜑))
69 zindbi.5 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
7069sbcieg 3828 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜏))
7168, 70bitrd 279 1 (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃𝜏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  [wsbc 3788   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cle 11296  cz 12613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614
This theorem is referenced by:  jm2.25  43011
  Copyright terms: Public domain W3C validator