Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zindbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zindbi 40260
 Description: Inductively transfer a property to the integers if it holds for zero and passes between adjacent integers in either direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zindbi.1 (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓𝜒))
zindbi.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
zindbi.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
zindbi.4 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜃))
zindbi.5 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
Assertion
Ref Expression
zindbi (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃𝜏))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)

Proof of Theorem zindbi
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 10673 . . . 4 0 ∈ V
2 zindbi.4 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜃))
31, 2sbcie 3737 . . 3 ([0 / 𝑥]𝜑𝜃)
4 0z 12031 . . . . 5 0 ∈ ℤ
5 eleq1 2839 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
6 breq1 5035 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (𝑦𝑏 ↔ 0 ≤ 𝑏))
75, 63anbi13d 1435 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏)))
8 dfsbcq 3698 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))
98bibi1d 347 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)))
107, 9imbi12d 348 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))))
11 eleq1 2839 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
12 breq2 5036 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ 𝐴))
1311, 123anbi23d 1436 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐴 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
14 dfsbcq 3698 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐴 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
1514bibi2d 346 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐴 → (([0 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑)))
1613, 15imbi12d 348 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐴 → (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))))
17 dfsbcq 3698 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
1817bibi2d 346 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑦 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)))
19 dfsbcq 3698 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))
2019bibi2d 346 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)))
21 dfsbcq 3698 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
2221bibi2d 346 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
23 biidd 265 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
24 vex 3413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ V
25 zindbi.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
2624, 25sbcie 3737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝜓)
27 dfsbcq 3698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))
2826, 27bitr3id 288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝜓[𝑏 / 𝑥]𝜑))
29 ovex 7183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 + 1) ∈ V
30 zindbi.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
3129, 30sbcie 3737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑𝜒)
32 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + 1) = (𝑏 + 1))
3332sbceq1d 3701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
3431, 33bitr3id 288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝜒[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
3528, 34bibi12d 349 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 → ((𝜓𝜒) ↔ ([𝑏 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
36 zindbi.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓𝜒))
3735, 36vtoclga 3492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℤ → ([𝑏 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
38373ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → ([𝑏 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
3938bibi2d 346 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
4039biimpd 232 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
4118, 20, 22, 20, 23, 40uzind 12113 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))
4210, 16, 41vtocl2g 3490 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑)))
43423adant3 1129 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑)))
4443pm2.43i 52 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
454, 44mp3an1 1445 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
46 eleq1 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
47 breq1 5035 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑏𝐴𝑏))
4846, 473anbi13d 1435 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑏)))
49 dfsbcq 3698 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
5049bibi1d 347 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)))
5148, 50imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))))
52 eleq1 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
53 breq2 5036 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → (𝐴𝑏𝐴 ≤ 0))
5452, 533anbi23d 1436 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0)))
55 dfsbcq 3698 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))
5655bibi2d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 → (([𝐴 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑)))
5754, 56imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 0 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))))
5851, 57, 41vtocl2g 3490 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑)))
59583adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑)))
6059pm2.43i 52 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))
614, 60mp3an2 1446 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))
6261bicomd 226 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
63 0re 10681 . . . . 5 0 ∈ ℝ
64 zre 12024 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
65 letric 10778 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0))
6663, 64, 65sylancr 590 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0))
6745, 62, 66mpjaodan 956 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
683, 67bitr3id 288 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃[𝐴 / 𝑥]𝜑))
69 zindbi.5 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
7069sbcieg 3735 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜏))
7168, 70bitrd 282 1 (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃𝜏))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  [wsbc 3696   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   ≤ cle 10714  ℤcz 12020 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021 This theorem is referenced by:  jm2.25  40313
 Copyright terms: Public domain W3C validator