Theorem zindbi 43787

Description: Inductively transfer a property to the integers if it holds for zero and passes between adjacent integers in either direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zindbi.1	⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓 ↔ 𝜒))
zindbi.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
zindbi.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
zindbi.4	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜃))
zindbi.5	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
zindbi	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃 ↔ 𝜏))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)

Proof of Theorem zindbi

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11224	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2		zindbi.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜃))
3	1, 2	sbcie 3780	. . 3 ⊢ ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃)
4		0z 12626	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		eleq1 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
6		breq1 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ 𝑏))
7	5, 6	3anbi13d 1466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏)))
8		dfsbcq 3741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
9	8	bibi1d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)))
10	7, 9	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))))
11		eleq1 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
12		breq2 5107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ 𝐴))
13	11, 12	3anbi23d 1467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
14		dfsbcq 3741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
15	14	bibi2d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
16	13, 15	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))))
17		dfsbcq 3741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
18	17	bibi2d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)))
19		dfsbcq 3741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
20	19	bibi2d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)))
21		dfsbcq 3741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
22	21	bibi2d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
23		biidd 265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
24		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑦 ∈ V
25		zindbi.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
26	24, 25	sbcie 3780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
27		dfsbcq 3741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
28	26, 27	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝜓 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
29		ovex 7446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 + 1) ∈ V
30		zindbi.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
31	29, 30	sbcie 3780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒)
32		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + 1) = (𝑏 + 1))
33	32	sbceq1d 3744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
34	31, 33	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝜒 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
35	28, 34	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝜓 ↔ 𝜒) ↔ ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
36		zindbi.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓 ↔ 𝜒))
37	35, 36	vtoclga 3536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
38	37	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
39	38	bibi2d 345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
40	39	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
41	18, 20, 22, 20, 23, 40	uzind 12713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
42	10, 16, 41	vtocl2g 3533	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
43	42	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
44	43	pm2.43i 53	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
45	4, 44	mp3an1 1477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
46		eleq1 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
47		breq1 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≤ 𝑏 ↔ 𝐴 ≤ 𝑏))
48	46, 47	3anbi13d 1466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏)))
49		dfsbcq 3741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
50	49	bibi1d 346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)))
51	48, 50	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))))
52		eleq1 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
53		breq2 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝐴 ≤ 𝑏 ↔ 𝐴 ≤ 0))
54	52, 53	3anbi23d 1467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0)))
55		dfsbcq 3741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
56	55	bibi2d 345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 0 → (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑)))
57	54, 56	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))))
58	51, 57, 41	vtocl2g 3533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑)))
59	58	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑)))
60	59	pm2.43i 53	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
61	4, 60	mp3an2 1478	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
62	61	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
63		0re 11234	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
64		zre 12619	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
65		letric 11334	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 0))
66	63, 64, 65	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 0))
67	45, 62, 66	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
68	3, 67	bitr3id 288	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
69		zindbi.5	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
70	69	sbcieg 3778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜏))
71	68, 70	bitrd 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃 ↔ 𝜏))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  [wsbc 3739   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ≤ cle 11268  ℤcz 12615

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616

This theorem is used by:  jm2.25  43840