Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zindbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zindbi 41256
Description: Inductively transfer a property to the integers if it holds for zero and passes between adjacent integers in either direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zindbi.1 (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓𝜒))
zindbi.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
zindbi.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
zindbi.4 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜃))
zindbi.5 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
Assertion
Ref Expression
zindbi (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃𝜏))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)

Proof of Theorem zindbi
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 11149 . . . 4 0 ∈ V
2 zindbi.4 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜃))
31, 2sbcie 3782 . . 3 ([0 / 𝑥]𝜑𝜃)
4 0z 12510 . . . . 5 0 ∈ ℤ
5 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
6 breq1 5108 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (𝑦𝑏 ↔ 0 ≤ 𝑏))
75, 63anbi13d 1438 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏)))
8 dfsbcq 3741 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))
98bibi1d 343 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)))
107, 9imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))))
11 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
12 breq2 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ 𝐴))
1311, 123anbi23d 1439 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐴 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
14 dfsbcq 3741 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐴 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
1514bibi2d 342 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐴 → (([0 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑)))
1613, 15imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐴 → (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))))
17 dfsbcq 3741 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
1817bibi2d 342 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑦 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)))
19 dfsbcq 3741 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑏 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))
2019bibi2d 342 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)))
21 dfsbcq 3741 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
2221bibi2d 342 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
23 biidd 261 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
24 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ V
25 zindbi.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
2624, 25sbcie 3782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝜓)
27 dfsbcq 3741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))
2826, 27bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝜓[𝑏 / 𝑥]𝜑))
29 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 + 1) ∈ V
30 zindbi.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
3129, 30sbcie 3782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑𝜒)
32 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + 1) = (𝑏 + 1))
3332sbceq1d 3744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
3431, 33bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝜒[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
3528, 34bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑏 → ((𝜓𝜒) ↔ ([𝑏 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
36 zindbi.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓𝜒))
3735, 36vtoclga 3534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℤ → ([𝑏 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
38373ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → ([𝑏 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
3938bibi2d 342 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
4039biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
4118, 20, 22, 20, 23, 40uzind 12595 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))
4210, 16, 41vtocl2g 3531 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑)))
43423adant3 1132 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑)))
4443pm2.43i 52 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
454, 44mp3an1 1448 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
46 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
47 breq1 5108 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑏𝐴𝑏))
4846, 473anbi13d 1438 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑏)))
49 dfsbcq 3741 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
5049bibi1d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)))
5148, 50imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑))))
52 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
53 breq2 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → (𝐴𝑏𝐴 ≤ 0))
5452, 533anbi23d 1439 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0)))
55 dfsbcq 3741 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))
5655bibi2d 342 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 → (([𝐴 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑)))
5754, 56imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 0 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))))
5851, 57, 41vtocl2g 3531 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑)))
59583adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑)))
6059pm2.43i 52 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))
614, 60mp3an2 1449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[0 / 𝑥]𝜑))
6261bicomd 222 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
63 0re 11157 . . . . 5 0 ∈ ℝ
64 zre 12503 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
65 letric 11255 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0))
6663, 64, 65sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0))
6745, 62, 66mpjaodan 957 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → ([0 / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
683, 67bitr3id 284 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃[𝐴 / 𝑥]𝜑))
69 zindbi.5 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
7069sbcieg 3779 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜏))
7168, 70bitrd 278 1 (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃𝜏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  [wsbc 3739   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cle 11190  cz 12499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500
This theorem is referenced by:  jm2.25  41309
  Copyright terms: Public domain W3C validator