Theorem zindbi 42935

Description: Inductively transfer a property to the integers if it holds for zero and passes between adjacent integers in either direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
zindbi.1	⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓 ↔ 𝜒))
zindbi.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
zindbi.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
zindbi.4	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜃))
zindbi.5	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
zindbi	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃 ↔ 𝜏))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)

Proof of Theorem zindbi

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11168	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2		zindbi.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜃))
3	1, 2	sbcie 3795	. . 3 ⊢ ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃)
4		0z 12540	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		eleq1 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
6		breq1 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ 𝑏))
7	5, 6	3anbi13d 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏)))
8		dfsbcq 3755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
9	8	bibi1d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)))
10	7, 9	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))))
11		eleq1 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
12		breq2 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (0 ≤ 𝑏 ↔ 0 ≤ 𝐴))
13	11, 12	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
14		dfsbcq 3755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
15	14	bibi2d 342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
16	13, 15	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))))
17		dfsbcq 3755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
18	17	bibi2d 342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑)))
19		dfsbcq 3755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
20	19	bibi2d 342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)))
21		dfsbcq 3755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
22	21	bibi2d 342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
23		biidd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
24		vex 3451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑦 ∈ V
25		zindbi.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
26	24, 25	sbcie 3795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
27		dfsbcq 3755	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
28	26, 27	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝜓 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
29		ovex 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 + 1) ∈ V
30		zindbi.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
31	29, 30	sbcie 3795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒)
32		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 + 1) = (𝑏 + 1))
33	32	sbceq1d 3758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
34	31, 33	bitr3id 285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝜒 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
35	28, 34	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝜓 ↔ 𝜒) ↔ ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
36		zindbi.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝜓 ↔ 𝜒))
37	35, 36	vtoclga 3543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
38	37	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑))
39	38	bibi2d 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
40	39	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑏 + 1) / 𝑥]𝜑)))
41	18, 20, 22, 20, 23, 40	uzind 12626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))
42	10, 16, 41	vtocl2g 3540	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
43	42	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
44	43	pm2.43i 52	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
45	4, 44	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
46		eleq1 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
47		breq1 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≤ 𝑏 ↔ 𝐴 ≤ 𝑏))
48	46, 47	3anbi13d 1440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏)))
49		dfsbcq 3755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
50	49	bibi1d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)))
51	48, 50	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≤ 𝑏) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑))))
52		eleq1 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
53		breq2 5111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝐴 ≤ 𝑏 ↔ 𝐴 ≤ 0))
54	52, 53	3anbi23d 1441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0)))
55		dfsbcq 3755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → ([𝑏 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
56	55	bibi2d 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 0 → (([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑) ↔ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑)))
57	54, 56	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))))
58	51, 57, 41	vtocl2g 3540	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑)))
59	58	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑)))
60	59	pm2.43i 52	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
61	4, 60	mp3an2 1451	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [0 / 𝑥]𝜑))
62	61	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
63		0re 11176	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
64		zre 12533	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
65		letric 11274	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 0))
66	63, 64, 65	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 0))
67	45, 62, 66	mpjaodan 960	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ([0 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
68	3, 67	bitr3id 285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
69		zindbi.5	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
70	69	sbcieg 3793	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜏))
71	68, 70	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝜃 ↔ 𝜏))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  [wsbc 3753   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   ≤ cle 11209  ℤcz 12529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530

This theorem is referenced by:  jm2.25  42988