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Theorem bnj1417 35033
Description: Technical lemma for bnj60 35054. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1417.1 (𝜑𝑅 FrSe 𝐴)
bnj1417.2 (𝜓 ↔ ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
bnj1417.3 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
bnj1417.4 (𝜃 ↔ (𝜑𝑥𝐴𝜒))
bnj1417.5 𝐵 = ( pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
Assertion
Ref Expression
bnj1417 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝜃(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bnj1417
StepHypRef Expression
1 bnj1417.1 . . . 4 (𝜑𝑅 FrSe 𝐴)
21biimpi 216 . . 3 (𝜑𝑅 FrSe 𝐴)
3 bnj1417.4 . . . . . 6 (𝜃 ↔ (𝜑𝑥𝐴𝜒))
4 bnj1418 35032 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
54adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜃𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥𝑅𝑥)
63, 2bnj835 34751 . . . . . . . . . . . 12 (𝜃𝑅 FrSe 𝐴)
7 df-bnj15 34685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 FrSe 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴))
87simplbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 FrSe 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜃𝑅 Fr 𝐴)
10 bnj213 34874 . . . . . . . . . . . 12 pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
1110sseli 3990 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝐴)
12 frirr 5664 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fr 𝐴𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
139, 11, 12syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜃𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
145, 13pm2.65da 817 . . . . . . . . 9 (𝜃 → ¬ 𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅))
15 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝜑
16 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 𝑥𝐴
17 bnj1417.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
1817bnj1095 34773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ∀𝑦𝜒)
1918nf5i 2143 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝜒
2015, 16, 19nf3an 1898 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(𝜑𝑥𝐴𝜒)
213, 20nfxfr 1849 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝜃
226ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑅 FrSe 𝐴)
23 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅))
2410, 23sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦𝐴)
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
26 bnj1125 34984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑦𝐴𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
2722, 24, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
28 bnj1147 34986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
2928, 25sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥𝐴)
30 bnj906 34922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑥𝐴) → pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
3122, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
3231, 23sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
3327, 32sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
3417biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
353, 34bnj837 34753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
3635ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
37 bnj1418 35032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → 𝑦𝑅𝑥)
3837ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦𝑅𝑥)
39 rsp 3244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓) → (𝑦𝐴 → (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓)))
4036, 24, 38, 39syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → [𝑦 / 𝑥]𝜓)
41 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ V
42 bnj1417.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜓 ↔ ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
43 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑦 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅)))
44 bnj1318 35017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) = trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
4544eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑦 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4643, 45bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4746notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4842, 47bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4941, 48sbcie 3834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑦 / 𝑥]𝜓 ↔ ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5040, 49sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5133, 50pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) → ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5251ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜃 → (𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5321, 52ralrimi 3254 . . . . . . . . . . 11 (𝜃 → ∀𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
54 ralnex 3069 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅)𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5553, 54sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝜃 → ¬ ∃𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅)𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
56 eliun 4999 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅)𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5755, 56sylnibr 329 . . . . . . . . 9 (𝜃 → ¬ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
58 ioran 985 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∧ ¬ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5914, 57, 58sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (𝜃 → ¬ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
603simp2bi 1145 . . . . . . . . . . 11 (𝜃𝑥𝐴)
61 bnj1417.5 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = ( pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
6261bnj1414 35029 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑥𝐴) → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
636, 60, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜃 → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
6463eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 (𝜃 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑥𝐵))
6561bnj1138 34780 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
6664, 65bitrdi 287 . . . . . . . 8 (𝜃 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
6759, 66mtbird 325 . . . . . . 7 (𝜃 → ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
6867, 42sylibr 234 . . . . . 6 (𝜃𝜓)
693, 68sylbir 235 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝜒) → 𝜓)
70693exp 1118 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝜒𝜓)))
7170ralrimiv 3142 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝜒𝜓))
7217bnj1204 35004 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜒𝜓)) → ∀𝑥𝐴 𝜓)
732, 71, 72syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝜓)
7442ralbii 3090 . 2 (∀𝑥𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
7573, 74sylib 218 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  [wsbc 3790  cun 3960  wss 3962   ciun 4995   class class class wbr 5147   Fr wfr 5637   predc-bnj14 34680   Se w-bnj13 34682   FrSe w-bnj15 34684   trClc-bnj18 34686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-reg 9629  ax-inf2 9678
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-om 7887  df-1o 8504  df-bnj17 34679  df-bnj14 34681  df-bnj13 34683  df-bnj15 34685  df-bnj18 34687  df-bnj19 34689
This theorem is referenced by:  bnj1421  35034
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