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Theorem bnj1417 32427
Description: Technical lemma for bnj60 32448. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1417.1 (𝜑𝑅 FrSe 𝐴)
bnj1417.2 (𝜓 ↔ ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
bnj1417.3 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
bnj1417.4 (𝜃 ↔ (𝜑𝑥𝐴𝜒))
bnj1417.5 𝐵 = ( pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
Assertion
Ref Expression
bnj1417 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝜃(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bnj1417
StepHypRef Expression
1 bnj1417.1 . . . 4 (𝜑𝑅 FrSe 𝐴)
21biimpi 219 . . 3 (𝜑𝑅 FrSe 𝐴)
3 bnj1417.4 . . . . . 6 (𝜃 ↔ (𝜑𝑥𝐴𝜒))
4 bnj1418 32426 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
54adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜃𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥𝑅𝑥)
63, 2bnj835 32144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜃𝑅 FrSe 𝐴)
7 df-bnj15 32077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 FrSe 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴))
87simplbi 501 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 FrSe 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜃𝑅 Fr 𝐴)
10 bnj213 32268 . . . . . . . . . . . 12 pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
1110sseli 3914 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝐴)
12 frirr 5500 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fr 𝐴𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
139, 11, 12syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝜃𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
145, 13pm2.65da 816 . . . . . . . . 9 (𝜃 → ¬ 𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅))
15 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝜑
16 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 𝑥𝐴
17 bnj1417.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
1817bnj1095 32167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ∀𝑦𝜒)
1918nf5i 2148 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝜒
2015, 16, 19nf3an 1902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(𝜑𝑥𝐴𝜒)
213, 20nfxfr 1854 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝜃
226ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑅 FrSe 𝐴)
23 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅))
2410, 23sseldi 3916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦𝐴)
25 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
26 bnj1125 32378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑦𝐴𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
2722, 24, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
28 bnj1147 32380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
2928, 25sseldi 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥𝐴)
30 bnj906 32316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑥𝐴) → pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
3122, 29, 30syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
3231, 23sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
3327, 32sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
3417biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
353, 34bnj837 32146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
37 bnj1418 32426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → 𝑦𝑅𝑥)
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦𝑅𝑥)
39 rsp 3173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓) → (𝑦𝐴 → (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓)))
4036, 24, 38, 39syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → [𝑦 / 𝑥]𝜓)
41 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ V
42 bnj1417.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜓 ↔ ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
43 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑦 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅)))
44 bnj1318 32411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) = trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
4544eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑦 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4643, 45bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4746notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4842, 47syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4941, 48sbcie 3763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑦 / 𝑥]𝜓 ↔ ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5040, 49sylib 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5133, 50pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) → ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5251ex 416 . . . . . . . . . . . 12 (𝜃 → (𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5321, 52ralrimi 3183 . . . . . . . . . . 11 (𝜃 → ∀𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
54 ralnex 3202 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅)𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5553, 54sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝜃 → ¬ ∃𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅)𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
56 eliun 4888 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅)𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5755, 56sylnibr 332 . . . . . . . . 9 (𝜃 → ¬ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
58 ioran 981 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∧ ¬ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5914, 57, 58sylanbrc 586 . . . . . . . 8 (𝜃 → ¬ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
603simp2bi 1143 . . . . . . . . . . 11 (𝜃𝑥𝐴)
61 bnj1417.5 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = ( pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
6261bnj1414 32423 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑥𝐴) → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
636, 60, 62syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜃 → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
6463eleq2d 2878 . . . . . . . . 9 (𝜃 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑥𝐵))
6561bnj1138 32174 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
6664, 65syl6bb 290 . . . . . . . 8 (𝜃 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
6759, 66mtbird 328 . . . . . . 7 (𝜃 → ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
6867, 42sylibr 237 . . . . . 6 (𝜃𝜓)
693, 68sylbir 238 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝜒) → 𝜓)
70693exp 1116 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝜒𝜓)))
7170ralrimiv 3151 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝜒𝜓))
7217bnj1204 32398 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜒𝜓)) → ∀𝑥𝐴 𝜓)
732, 71, 72syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝜓)
7442ralbii 3136 . 2 (∀𝑥𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
7573, 74sylib 221 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110  [wsbc 3723  cun 3882  wss 3884   ciun 4884   class class class wbr 5033   Fr wfr 5479   predc-bnj14 32072   Se w-bnj13 32074   FrSe w-bnj15 32076   trClc-bnj18 32078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-reg 9044  ax-inf2 9092
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7565  df-1o 8089  df-bnj17 32071  df-bnj14 32073  df-bnj13 32075  df-bnj15 32077  df-bnj18 32079  df-bnj19 32081
This theorem is referenced by:  bnj1421  32428
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