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Theorem bnj1417 31437
Description: Technical lemma for bnj60 31458. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1417.1 (𝜑𝑅 FrSe 𝐴)
bnj1417.2 (𝜓 ↔ ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
bnj1417.3 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
bnj1417.4 (𝜃 ↔ (𝜑𝑥𝐴𝜒))
bnj1417.5 𝐵 = ( pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
Assertion
Ref Expression
bnj1417 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝜃(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bnj1417
StepHypRef Expression
1 bnj1417.1 . . . 4 (𝜑𝑅 FrSe 𝐴)
21biimpi 207 . . 3 (𝜑𝑅 FrSe 𝐴)
3 bnj1417.4 . . . . . 6 (𝜃 ↔ (𝜑𝑥𝐴𝜒))
4 bnj1418 31436 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
54adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((𝜃𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥𝑅𝑥)
63, 2bnj835 31157 . . . . . . . . . . . 12 (𝜃𝑅 FrSe 𝐴)
7 df-bnj15 31090 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 FrSe 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴))
87simplbi 487 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 FrSe 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜃𝑅 Fr 𝐴)
10 bnj213 31280 . . . . . . . . . . . 12 pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
1110sseli 3801 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝐴)
12 frirr 5295 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fr 𝐴𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
139, 11, 12syl2an 585 . . . . . . . . . 10 ((𝜃𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
145, 13pm2.65da 842 . . . . . . . . 9 (𝜃 → ¬ 𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅))
15 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝜑
16 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 𝑥𝐴
17 bnj1417.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
1817bnj1095 31180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ∀𝑦𝜒)
1918nf5i 2191 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝜒
2015, 16, 19nf3an 1993 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(𝜑𝑥𝐴𝜒)
213, 20nfxfr 1938 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝜃
226ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑅 FrSe 𝐴)
23 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅))
2410, 23sseldi 3803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦𝐴)
25 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
26 bnj1125 31388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑦𝐴𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
2722, 24, 25, 26syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
28 bnj1147 31390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
2928, 25sseldi 3803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥𝐴)
30 bnj906 31328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑥𝐴) → pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
3122, 29, 30syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
3231, 23sseldd 3806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
3327, 32sseldd 3806 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
3417biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
353, 34bnj837 31159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
3635ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
37 bnj1418 31436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → 𝑦𝑅𝑥)
3837ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦𝑅𝑥)
39 rsp 3124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓) → (𝑦𝐴 → (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓)))
4036, 24, 38, 39syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → [𝑦 / 𝑥]𝜓)
41 vex 3401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ V
42 bnj1417.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜓 ↔ ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
43 eleq1w 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑦 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅)))
44 bnj1318 31421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) = trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
4544eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑦 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4643, 45bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4746notbid 309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4842, 47syl5bb 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4941, 48sbcie 3675 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑦 / 𝑥]𝜓 ↔ ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5040, 49sylib 209 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5133, 50pm2.65da 842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) → ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5251ex 399 . . . . . . . . . . . 12 (𝜃 → (𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5321, 52ralrimi 3152 . . . . . . . . . . 11 (𝜃 → ∀𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
54 ralnex 3187 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅)𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5553, 54sylib 209 . . . . . . . . . 10 (𝜃 → ¬ ∃𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅)𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
56 eliun 4723 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅)𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5755, 56sylnibr 320 . . . . . . . . 9 (𝜃 → ¬ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
58 ioran 997 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∧ ¬ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5914, 57, 58sylanbrc 574 . . . . . . . 8 (𝜃 → ¬ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
603simp2bi 1169 . . . . . . . . . . 11 (𝜃𝑥𝐴)
61 bnj1417.5 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = ( pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
6261bnj1414 31433 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑥𝐴) → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
636, 60, 62syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 (𝜃 → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
6463eleq2d 2878 . . . . . . . . 9 (𝜃 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑥𝐵))
6561bnj1138 31187 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
6664, 65syl6bb 278 . . . . . . . 8 (𝜃 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
6759, 66mtbird 316 . . . . . . 7 (𝜃 → ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
6867, 42sylibr 225 . . . . . 6 (𝜃𝜓)
693, 68sylbir 226 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝜒) → 𝜓)
70693exp 1141 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝜒𝜓)))
7170ralrimiv 3160 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝜒𝜓))
7217bnj1204 31408 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜒𝜓)) → ∀𝑥𝐴 𝜓)
732, 71, 72syl2anc 575 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝜓)
7442ralbii 3175 . 2 (∀𝑥𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
7573, 74sylib 209 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wral 3103  wrex 3104  [wsbc 3640  cun 3774  wss 3776   ciun 4719   class class class wbr 4851   Fr wfr 5274   predc-bnj14 31085   Se w-bnj13 31087   FrSe w-bnj15 31089   trClc-bnj18 31091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-reg 8739  ax-inf2 8788
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-om 7299  df-1o 7799  df-bnj17 31084  df-bnj14 31086  df-bnj13 31088  df-bnj15 31090  df-bnj18 31092  df-bnj19 31094
This theorem is referenced by:  bnj1421  31438
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