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Theorem bnj1417 34083
Description: Technical lemma for bnj60 34104. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1417.1 (𝜑𝑅 FrSe 𝐴)
bnj1417.2 (𝜓 ↔ ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
bnj1417.3 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
bnj1417.4 (𝜃 ↔ (𝜑𝑥𝐴𝜒))
bnj1417.5 𝐵 = ( pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
Assertion
Ref Expression
bnj1417 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝜃(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bnj1417
StepHypRef Expression
1 bnj1417.1 . . . 4 (𝜑𝑅 FrSe 𝐴)
21biimpi 215 . . 3 (𝜑𝑅 FrSe 𝐴)
3 bnj1417.4 . . . . . 6 (𝜃 ↔ (𝜑𝑥𝐴𝜒))
4 bnj1418 34082 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
54adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜃𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥𝑅𝑥)
63, 2bnj835 33801 . . . . . . . . . . . 12 (𝜃𝑅 FrSe 𝐴)
7 df-bnj15 33735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 FrSe 𝐴 ↔ (𝑅 Fr 𝐴𝑅 Se 𝐴))
87simplbi 499 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 FrSe 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜃𝑅 Fr 𝐴)
10 bnj213 33924 . . . . . . . . . . . 12 pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
1110sseli 3979 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → 𝑥𝐴)
12 frirr 5654 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fr 𝐴𝑥𝐴) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
139, 11, 12syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((𝜃𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) → ¬ 𝑥𝑅𝑥)
145, 13pm2.65da 816 . . . . . . . . 9 (𝜃 → ¬ 𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅))
15 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝜑
16 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 𝑥𝐴
17 bnj1417.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
1817bnj1095 33823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ∀𝑦𝜒)
1918nf5i 2143 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝜒
2015, 16, 19nf3an 1905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(𝜑𝑥𝐴𝜒)
213, 20nfxfr 1856 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝜃
226ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑅 FrSe 𝐴)
23 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅))
2410, 23sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦𝐴)
25 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
26 bnj1125 34034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑦𝐴𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
2722, 24, 25, 26syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
28 bnj1147 34036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐴
2928, 25sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑥𝐴)
30 bnj906 33972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑥𝐴) → pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
3122, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ⊆ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
3231, 23sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
3327, 32sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
3417biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
353, 34bnj837 33803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓))
37 bnj1418 34082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → 𝑦𝑅𝑥)
3837ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → 𝑦𝑅𝑥)
39 rsp 3245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓) → (𝑦𝐴 → (𝑦𝑅𝑥[𝑦 / 𝑥]𝜓)))
4036, 24, 38, 39syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → [𝑦 / 𝑥]𝜓)
41 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ V
42 bnj1417.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜓 ↔ ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
43 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑦 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅)))
44 bnj1318 34067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) = trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
4544eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑦 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4643, 45bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4746notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4842, 47bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓 ↔ ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4941, 48sbcie 3821 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑦 / 𝑥]𝜓 ↔ ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5040, 49sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) → ¬ 𝑦 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5133, 50pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜃𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅)) → ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5251ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝜃 → (𝑦 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) → ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5321, 52ralrimi 3255 . . . . . . . . . . 11 (𝜃 → ∀𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
54 ralnex 3073 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅)𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5553, 54sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜃 → ¬ ∃𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅)𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
56 eliun 5002 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅)𝑥 ∈ trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
5755, 56sylnibr 329 . . . . . . . . 9 (𝜃 → ¬ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
58 ioran 983 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∧ ¬ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
5914, 57, 58sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (𝜃 → ¬ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
603simp2bi 1147 . . . . . . . . . . 11 (𝜃𝑥𝐴)
61 bnj1417.5 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = ( pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∪ 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))
6261bnj1414 34079 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 FrSe 𝐴𝑥𝐴) → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
636, 60, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜃 → trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
6463eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝜃 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑥𝐵))
6561bnj1138 33830 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
6664, 65bitrdi 287 . . . . . . . 8 (𝜃 → (𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅) ↔ (𝑥 ∈ pred(𝑥, 𝐴, 𝑅) ∨ 𝑥 𝑦 ∈ pred (𝑥, 𝐴, 𝑅) trCl(𝑦, 𝐴, 𝑅))))
6759, 66mtbird 325 . . . . . . 7 (𝜃 → ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
6867, 42sylibr 233 . . . . . 6 (𝜃𝜓)
693, 68sylbir 234 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝜒) → 𝜓)
70693exp 1120 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝜒𝜓)))
7170ralrimiv 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝜒𝜓))
7217bnj1204 34054 . . 3 ((𝑅 FrSe 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜒𝜓)) → ∀𝑥𝐴 𝜓)
732, 71, 72syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝜓)
7442ralbii 3094 . 2 (∀𝑥𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
7573, 74sylib 217 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ trCl(𝑥, 𝐴, 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  [wsbc 3778  cun 3947  wss 3949   ciun 4998   class class class wbr 5149   Fr wfr 5629   predc-bnj14 33730   Se w-bnj13 33732   FrSe w-bnj15 33734   trClc-bnj18 33736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-reg 9587  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-bnj17 33729  df-bnj14 33731  df-bnj13 33733  df-bnj15 33735  df-bnj18 33737  df-bnj19 33739
This theorem is referenced by:  bnj1421  34084
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