Theorem 2nn0ind 43129

Description: Induction on nonnegative integers with two base cases, for use with Lucas-type sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2nn0ind.1	⊢ 𝜓
2nn0ind.2	⊢ 𝜒
2nn0ind.3	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃 ∧ 𝜏) → 𝜂))
2nn0ind.4	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2nn0ind.5	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2nn0ind.6	⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
2nn0ind.7	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜏))
2nn0ind.8	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜂))
2nn0ind.9	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜌))

Assertion

Ref	Expression
2nn0ind	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜌,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝜌(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem 2nn0ind

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0p1nn 12438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 − 1) = (1 − 1))
3	2	sbceq1d 3743	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [(1 − 1) / 𝑥]𝜑))
4		dfsbcq 3740	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [1 / 𝑥]𝜑)))
6		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 − 1) = (𝑦 − 1))
7	6	sbceq1d 3743	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑))
8		dfsbcq 3740	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
9	7, 8	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)))
10		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
11	10	sbceq1d 3743	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
12		dfsbcq 3740	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
13	11, 12	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
14		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝐴 + 1) − 1))
15	14	sbceq1d 3743	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
16		dfsbcq 3740	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
17	15, 16	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)))
18		2nn0ind.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝜓
19		ovex 7389	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) ∈ V
20		1m1e0 12215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	eqeq2i 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 − 1) ↔ 𝑥 = 0)
22		2nn0ind.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
23	21, 22	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 − 1) → (𝜑 ↔ 𝜓))
24	19, 23	sbcie 3780	. . . . . . 7 ⊢ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
25	18, 24	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ [(1 − 1) / 𝑥]𝜑
26		2nn0ind.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝜒
27		1ex 11126	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
28		2nn0ind.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
29	27, 28	sbcie 3780	. . . . . . 7 ⊢ ([1 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒)
30	26, 29	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ [1 / 𝑥]𝜑
31	25, 30	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [1 / 𝑥]𝜑)
32		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [𝑦 / 𝑥]𝜑)
33		nncn 12151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
34		ax-1cn 11082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		pncan 11384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
36	33, 34, 35	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
38	37	sbceq1d 3743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
39	32, 38	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑)
40		2nn0ind.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃 ∧ 𝜏) → 𝜂))
41		ovex 7389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 − 1) ∈ V
42		2nn0ind.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
43	41, 42	sbcie 3780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃)
44		vex 3442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
45		2nn0ind.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜏))
46	44, 45	sbcie 3780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜏)
47	43, 46	anbi12i 628	. . . . . . . . 9 ⊢ (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑) ↔ (𝜃 ∧ 𝜏))
48		ovex 7389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 + 1) ∈ V
49		2nn0ind.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜂))
50	48, 49	sbcie 3780	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜂)
51	40, 47, 50	3imtr4g 296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
52	51	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)
53	39, 52	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
54	53	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
55	5, 9, 13, 17, 31, 54	nnind 12161	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
56	1, 55	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
57		nn0cn 12409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
58		pncan 11384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
59	57, 34, 58	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
60	59	sbceq1d 3743	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
61	60	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ [((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
62	61	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
63	56, 62	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
64		2nn0ind.9	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜌))
65	64	sbcieg 3778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜌))
66	63, 65	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  [wsbc 3738  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   − cmin 11362  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364  df-nn 12144  df-n0 12400

This theorem is referenced by:  jm2.18  43172  jm2.15nn0  43187  jm2.16nn0  43188