Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2nn0ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2nn0ind 42957
Description: Induction on nonnegative integers with two base cases, for use with Lucas-type sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2nn0ind.1 𝜓
2nn0ind.2 𝜒
2nn0ind.3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃𝜏) → 𝜂))
2nn0ind.4 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
2nn0ind.5 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
2nn0ind.6 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑𝜃))
2nn0ind.7 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜏))
2nn0ind.8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜂))
2nn0ind.9 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜌))
Assertion
Ref Expression
2nn0ind (𝐴 ∈ ℕ0𝜌)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜌,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝜌(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem 2nn0ind
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0p1nn 12565 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝑎 − 1) = (1 − 1))
32sbceq1d 3793 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[(1 − 1) / 𝑥]𝜑))
4 dfsbcq 3790 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑))
53, 4anbi12d 632 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑)))
6 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 − 1) = (𝑦 − 1))
76sbceq1d 3793 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑦 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑))
8 dfsbcq 3790 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
97, 8anbi12d 632 . . . . 5 (𝑎 = 𝑦 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)))
10 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑦 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
1110sbceq1d 3793 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
12 dfsbcq 3790 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
1311, 12anbi12d 632 . . . . 5 (𝑎 = (𝑦 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
14 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝐴 + 1) − 1))
1514sbceq1d 3793 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
16 dfsbcq 3790 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
1715, 16anbi12d 632 . . . . 5 (𝑎 = (𝐴 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)))
18 2nn0ind.1 . . . . . . 7 𝜓
19 ovex 7464 . . . . . . . 8 (1 − 1) ∈ V
20 1m1e0 12338 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
2120eqeq2i 2750 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 − 1) ↔ 𝑥 = 0)
22 2nn0ind.4 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
2321, 22sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 − 1) → (𝜑𝜓))
2419, 23sbcie 3830 . . . . . . 7 ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑𝜓)
2518, 24mpbir 231 . . . . . 6 [(1 − 1) / 𝑥]𝜑
26 2nn0ind.2 . . . . . . 7 𝜒
27 1ex 11257 . . . . . . . 8 1 ∈ V
28 2nn0ind.5 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
2927, 28sbcie 3830 . . . . . . 7 ([1 / 𝑥]𝜑𝜒)
3026, 29mpbir 231 . . . . . 6 [1 / 𝑥]𝜑
3125, 30pm3.2i 470 . . . . 5 ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑)
32 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [𝑦 / 𝑥]𝜑)
33 nncn 12274 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
34 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
35 pncan 11514 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3633, 34, 35sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3736adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3837sbceq1d 3793 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
3932, 38mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑)
40 2nn0ind.3 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃𝜏) → 𝜂))
41 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 − 1) ∈ V
42 2nn0ind.6 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑𝜃))
4341, 42sbcie 3830 . . . . . . . . . 10 ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑𝜃)
44 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
45 2nn0ind.7 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜏))
4644, 45sbcie 3830 . . . . . . . . . 10 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝜏)
4743, 46anbi12i 628 . . . . . . . . 9 (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑) ↔ (𝜃𝜏))
48 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (𝑦 + 1) ∈ V
49 2nn0ind.8 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜂))
5048, 49sbcie 3830 . . . . . . . . 9 ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑𝜂)
5140, 47, 503imtr4g 296 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
5251imp 406 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)
5339, 52jca 511 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
5453ex 412 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
555, 9, 13, 17, 31, 54nnind 12284 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
561, 55syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
57 nn0cn 12536 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
58 pncan 11514 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5957, 34, 58sylancl 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
6059sbceq1d 3793 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
6160biimpa 476 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0[((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
6261adantrr 717 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
6356, 62mpdan 687 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0[𝐴 / 𝑥]𝜑)
64 2nn0ind.9 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜌))
6564sbcieg 3828 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜌))
6663, 65mpbid 232 1 (𝐴 ∈ ℕ0𝜌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  [wsbc 3788  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-nn 12267  df-n0 12527
This theorem is referenced by:  jm2.18  43000  jm2.15nn0  43015  jm2.16nn0  43016
  Copyright terms: Public domain W3C validator