Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2nn0ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2nn0ind 40362
Description: Induction on nonnegative integers with two base cases, for use with Lucas-type sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2nn0ind.1 𝜓
2nn0ind.2 𝜒
2nn0ind.3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃𝜏) → 𝜂))
2nn0ind.4 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
2nn0ind.5 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
2nn0ind.6 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑𝜃))
2nn0ind.7 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜏))
2nn0ind.8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜂))
2nn0ind.9 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜌))
Assertion
Ref Expression
2nn0ind (𝐴 ∈ ℕ0𝜌)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜌,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝜌(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem 2nn0ind
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0p1nn 12018 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2 oveq1 7180 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝑎 − 1) = (1 − 1))
32sbceq1d 3686 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[(1 − 1) / 𝑥]𝜑))
4 dfsbcq 3683 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑))
53, 4anbi12d 634 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑)))
6 oveq1 7180 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 − 1) = (𝑦 − 1))
76sbceq1d 3686 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑦 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑))
8 dfsbcq 3683 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
97, 8anbi12d 634 . . . . 5 (𝑎 = 𝑦 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)))
10 oveq1 7180 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑦 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
1110sbceq1d 3686 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
12 dfsbcq 3683 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
1311, 12anbi12d 634 . . . . 5 (𝑎 = (𝑦 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
14 oveq1 7180 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝐴 + 1) − 1))
1514sbceq1d 3686 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
16 dfsbcq 3683 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
1715, 16anbi12d 634 . . . . 5 (𝑎 = (𝐴 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)))
18 2nn0ind.1 . . . . . . 7 𝜓
19 ovex 7206 . . . . . . . 8 (1 − 1) ∈ V
20 1m1e0 11791 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
2120eqeq2i 2752 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 − 1) ↔ 𝑥 = 0)
22 2nn0ind.4 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
2321, 22sylbi 220 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 − 1) → (𝜑𝜓))
2419, 23sbcie 3723 . . . . . . 7 ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑𝜓)
2518, 24mpbir 234 . . . . . 6 [(1 − 1) / 𝑥]𝜑
26 2nn0ind.2 . . . . . . 7 𝜒
27 1ex 10718 . . . . . . . 8 1 ∈ V
28 2nn0ind.5 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
2927, 28sbcie 3723 . . . . . . 7 ([1 / 𝑥]𝜑𝜒)
3026, 29mpbir 234 . . . . . 6 [1 / 𝑥]𝜑
3125, 30pm3.2i 474 . . . . 5 ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑)
32 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [𝑦 / 𝑥]𝜑)
33 nncn 11727 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
34 ax-1cn 10676 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
35 pncan 10973 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3633, 34, 35sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3736adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3837sbceq1d 3686 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
3932, 38mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑)
40 2nn0ind.3 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃𝜏) → 𝜂))
41 ovex 7206 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 − 1) ∈ V
42 2nn0ind.6 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑𝜃))
4341, 42sbcie 3723 . . . . . . . . . 10 ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑𝜃)
44 vex 3403 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
45 2nn0ind.7 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜏))
4644, 45sbcie 3723 . . . . . . . . . 10 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝜏)
4743, 46anbi12i 630 . . . . . . . . 9 (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑) ↔ (𝜃𝜏))
48 ovex 7206 . . . . . . . . . 10 (𝑦 + 1) ∈ V
49 2nn0ind.8 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜂))
5048, 49sbcie 3723 . . . . . . . . 9 ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑𝜂)
5140, 47, 503imtr4g 299 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
5251imp 410 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)
5339, 52jca 515 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
5453ex 416 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
555, 9, 13, 17, 31, 54nnind 11737 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
561, 55syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
57 nn0cn 11989 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
58 pncan 10973 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5957, 34, 58sylancl 589 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
6059sbceq1d 3686 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
6160biimpa 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0[((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
6261adantrr 717 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
6356, 62mpdan 687 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0[𝐴 / 𝑥]𝜑)
64 2nn0ind.9 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜌))
6564sbcieg 3721 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜌))
6663, 65mpbid 235 1 (𝐴 ∈ ℕ0𝜌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  [wsbc 3681  (class class class)co 7173  cc 10616  0cc0 10618  1c1 10619   + caddc 10621  cmin 10951  cn 11719  0cn0 11979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-ltxr 10761  df-sub 10953  df-nn 11720  df-n0 11980
This theorem is referenced by:  jm2.18  40405  jm2.15nn0  40420  jm2.16nn0  40421
  Copyright terms: Public domain W3C validator