Theorem 2nn0ind 43951

Description: Induction on nonnegative integers with two base cases, for use with Lucas-type sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2nn0ind.1	⊢ 𝜓
2nn0ind.2	⊢ 𝜒
2nn0ind.3	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃 ∧ 𝜏) → 𝜂))
2nn0ind.4	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2nn0ind.5	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2nn0ind.6	⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
2nn0ind.7	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜏))
2nn0ind.8	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜂))
2nn0ind.9	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜌))

Assertion

Ref	Expression
2nn0ind	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜌,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝜌(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem 2nn0ind

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0p1nn 12645	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 − 1) = (1 − 1))
3	2	sbceq1d 3744	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [(1 − 1) / 𝑥]𝜑))
4		dfsbcq 3741	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
5	3, 4	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [1 / 𝑥]𝜑)))
6		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 − 1) = (𝑦 − 1))
7	6	sbceq1d 3744	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑))
8		dfsbcq 3741	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
9	7, 8	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)))
10		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
11	10	sbceq1d 3744	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
12		dfsbcq 3741	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
13	11, 12	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
14		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝐴 + 1) − 1))
15	14	sbceq1d 3744	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
16		dfsbcq 3741	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
17	15, 16	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)))
18		2nn0ind.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝜓
19		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) ∈ V
20		1m1e0 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	eqeq2i 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 − 1) ↔ 𝑥 = 0)
22		2nn0ind.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
23	21, 22	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 − 1) → (𝜑 ↔ 𝜓))
24	19, 23	sbcie 3780	. . . . . . 7 ⊢ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
25	18, 24	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ [(1 − 1) / 𝑥]𝜑
26		2nn0ind.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝜒
27		1ex 11303	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
28		2nn0ind.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
29	27, 28	sbcie 3780	. . . . . . 7 ⊢ ([1 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒)
30	26, 29	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ [1 / 𝑥]𝜑
31	25, 30	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [1 / 𝑥]𝜑)
32		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [𝑦 / 𝑥]𝜑)
33		nncn 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
34		ax-1cn 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		pncan 11563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
36	33, 34, 35	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
37	36	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
38	37	sbceq1d 3744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
39	32, 38	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑)
40		2nn0ind.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃 ∧ 𝜏) → 𝜂))
41		ovex 7453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 − 1) ∈ V
42		2nn0ind.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
43	41, 42	sbcie 3780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃)
44		vex 3455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
45		2nn0ind.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜏))
46	44, 45	sbcie 3780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜏)
47	43, 46	anbi12i 640	. . . . . . . . 9 ⊢ (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑) ↔ (𝜃 ∧ 𝜏))
48		ovex 7453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 + 1) ∈ V
49		2nn0ind.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜂))
50	48, 49	sbcie 3780	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜂)
51	40, 47, 50	3imtr4g 299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
52	51	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)
53	39, 52	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
54	53	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
55	5, 9, 13, 17, 31, 54	nnind 12353	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
56	1, 55	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
57		nn0cn 12616	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
58		pncan 11563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
59	57, 34, 58	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
60	59	sbceq1d 3744	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
61	60	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ [((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
62	61	adantrr 730	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
63	56, 62	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
64		2nn0ind.9	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜌))
65	64	sbcieg 3778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜌))
66	63, 65	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  [wsbc 3739  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   − cmin 11541  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-nn 12336  df-n0 12607

This theorem is used by:  jm2.18  43994  jm2.15nn0  44009  jm2.16nn0  44010