Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2nn0ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2nn0ind 41312
Description: Induction on nonnegative integers with two base cases, for use with Lucas-type sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2nn0ind.1 𝜓
2nn0ind.2 𝜒
2nn0ind.3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃𝜏) → 𝜂))
2nn0ind.4 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
2nn0ind.5 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
2nn0ind.6 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑𝜃))
2nn0ind.7 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜏))
2nn0ind.8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜂))
2nn0ind.9 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜌))
Assertion
Ref Expression
2nn0ind (𝐴 ∈ ℕ0𝜌)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜌,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝜌(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem 2nn0ind
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0p1nn 12457 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2 oveq1 7365 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝑎 − 1) = (1 − 1))
32sbceq1d 3745 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[(1 − 1) / 𝑥]𝜑))
4 dfsbcq 3742 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑))
53, 4anbi12d 632 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑)))
6 oveq1 7365 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 − 1) = (𝑦 − 1))
76sbceq1d 3745 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑦 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑))
8 dfsbcq 3742 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
97, 8anbi12d 632 . . . . 5 (𝑎 = 𝑦 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)))
10 oveq1 7365 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑦 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
1110sbceq1d 3745 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
12 dfsbcq 3742 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
1311, 12anbi12d 632 . . . . 5 (𝑎 = (𝑦 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
14 oveq1 7365 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝐴 + 1) − 1))
1514sbceq1d 3745 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
16 dfsbcq 3742 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
1715, 16anbi12d 632 . . . . 5 (𝑎 = (𝐴 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)))
18 2nn0ind.1 . . . . . . 7 𝜓
19 ovex 7391 . . . . . . . 8 (1 − 1) ∈ V
20 1m1e0 12230 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
2120eqeq2i 2746 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 − 1) ↔ 𝑥 = 0)
22 2nn0ind.4 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
2321, 22sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1 − 1) → (𝜑𝜓))
2419, 23sbcie 3783 . . . . . . 7 ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑𝜓)
2518, 24mpbir 230 . . . . . 6 [(1 − 1) / 𝑥]𝜑
26 2nn0ind.2 . . . . . . 7 𝜒
27 1ex 11156 . . . . . . . 8 1 ∈ V
28 2nn0ind.5 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
2927, 28sbcie 3783 . . . . . . 7 ([1 / 𝑥]𝜑𝜒)
3026, 29mpbir 230 . . . . . 6 [1 / 𝑥]𝜑
3125, 30pm3.2i 472 . . . . 5 ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑)
32 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [𝑦 / 𝑥]𝜑)
33 nncn 12166 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
34 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
35 pncan 11412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3633, 34, 35sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3736adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3837sbceq1d 3745 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑))
3932, 38mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑)
40 2nn0ind.3 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃𝜏) → 𝜂))
41 ovex 7391 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 − 1) ∈ V
42 2nn0ind.6 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑𝜃))
4341, 42sbcie 3783 . . . . . . . . . 10 ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑𝜃)
44 vex 3448 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
45 2nn0ind.7 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜏))
4644, 45sbcie 3783 . . . . . . . . . 10 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝜏)
4743, 46anbi12i 628 . . . . . . . . 9 (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑) ↔ (𝜃𝜏))
48 ovex 7391 . . . . . . . . . 10 (𝑦 + 1) ∈ V
49 2nn0ind.8 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜂))
5048, 49sbcie 3783 . . . . . . . . 9 ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑𝜂)
5140, 47, 503imtr4g 296 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
5251imp 408 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)
5339, 52jca 513 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
5453ex 414 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑[𝑦 / 𝑥]𝜑) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
555, 9, 13, 17, 31, 54nnind 12176 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
561, 55syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
57 nn0cn 12428 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
58 pncan 11412 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5957, 34, 58sylancl 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
6059sbceq1d 3745 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
6160biimpa 478 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0[((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
6261adantrr 716 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑[(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
6356, 62mpdan 686 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0[𝐴 / 𝑥]𝜑)
64 2nn0ind.9 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜌))
6564sbcieg 3780 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜌))
6663, 65mpbid 231 1 (𝐴 ∈ ℕ0𝜌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  [wsbc 3740  (class class class)co 7358  cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  cmin 11390  cn 12158  0cn0 12418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-sub 11392  df-nn 12159  df-n0 12419
This theorem is referenced by:  jm2.18  41355  jm2.15nn0  41370  jm2.16nn0  41371
  Copyright terms: Public domain W3C validator