Theorem 2nn0ind 42933

Description: Induction on nonnegative integers with two base cases, for use with Lucas-type sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2nn0ind.1	⊢ 𝜓
2nn0ind.2	⊢ 𝜒
2nn0ind.3	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃 ∧ 𝜏) → 𝜂))
2nn0ind.4	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2nn0ind.5	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2nn0ind.6	⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
2nn0ind.7	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜏))
2nn0ind.8	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜂))
2nn0ind.9	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜌))

Assertion

Ref	Expression
2nn0ind	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜌,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝜌(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem 2nn0ind

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0p1nn 12562	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 − 1) = (1 − 1))
3	2	sbceq1d 3795	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [(1 − 1) / 𝑥]𝜑))
4		dfsbcq 3792	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [1 / 𝑥]𝜑)))
6		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 − 1) = (𝑦 − 1))
7	6	sbceq1d 3795	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑))
8		dfsbcq 3792	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
9	7, 8	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)))
10		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
11	10	sbceq1d 3795	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
12		dfsbcq 3792	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
13	11, 12	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
14		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝐴 + 1) − 1))
15	14	sbceq1d 3795	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
16		dfsbcq 3792	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
17	15, 16	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)))
18		2nn0ind.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝜓
19		ovex 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) ∈ V
20		1m1e0 12335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	eqeq2i 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 − 1) ↔ 𝑥 = 0)
22		2nn0ind.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
23	21, 22	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 − 1) → (𝜑 ↔ 𝜓))
24	19, 23	sbcie 3834	. . . . . . 7 ⊢ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
25	18, 24	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ [(1 − 1) / 𝑥]𝜑
26		2nn0ind.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝜒
27		1ex 11254	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
28		2nn0ind.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
29	27, 28	sbcie 3834	. . . . . . 7 ⊢ ([1 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒)
30	26, 29	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ [1 / 𝑥]𝜑
31	25, 30	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [1 / 𝑥]𝜑)
32		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [𝑦 / 𝑥]𝜑)
33		nncn 12271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
34		ax-1cn 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		pncan 11511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
36	33, 34, 35	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
38	37	sbceq1d 3795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
39	32, 38	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑)
40		2nn0ind.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃 ∧ 𝜏) → 𝜂))
41		ovex 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 − 1) ∈ V
42		2nn0ind.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
43	41, 42	sbcie 3834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃)
44		vex 3481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
45		2nn0ind.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜏))
46	44, 45	sbcie 3834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜏)
47	43, 46	anbi12i 628	. . . . . . . . 9 ⊢ (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑) ↔ (𝜃 ∧ 𝜏))
48		ovex 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 + 1) ∈ V
49		2nn0ind.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜂))
50	48, 49	sbcie 3834	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜂)
51	40, 47, 50	3imtr4g 296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
52	51	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)
53	39, 52	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
54	53	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
55	5, 9, 13, 17, 31, 54	nnind 12281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
56	1, 55	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
57		nn0cn 12533	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
58		pncan 11511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
59	57, 34, 58	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
60	59	sbceq1d 3795	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
61	60	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ [((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
62	61	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
63	56, 62	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
64		2nn0ind.9	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜌))
65	64	sbcieg 3831	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜌))
66	63, 65	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  [wsbc 3790  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   − cmin 11489  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-nn 12264  df-n0 12524

This theorem is referenced by:  jm2.18  42976  jm2.15nn0  42991  jm2.16nn0  42992