Theorem 2nn0ind 43732

Description: Induction on nonnegative integers with two base cases, for use with Lucas-type sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2nn0ind.1	⊢ 𝜓
2nn0ind.2	⊢ 𝜒
2nn0ind.3	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃 ∧ 𝜏) → 𝜂))
2nn0ind.4	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2nn0ind.5	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
2nn0ind.6	⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
2nn0ind.7	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜏))
2nn0ind.8	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜂))
2nn0ind.9	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜌))

Assertion

Ref	Expression
2nn0ind	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜌)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜌,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝜌(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem 2nn0ind

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0p1nn 12560	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
2		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑎 − 1) = (1 − 1))
3	2	sbceq1d 3751	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [(1 − 1) / 𝑥]𝜑))
4		dfsbcq 3748	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
5	3, 4	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [1 / 𝑥]𝜑)))
6		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (𝑎 − 1) = (𝑦 − 1))
7	6	sbceq1d 3751	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑))
8		dfsbcq 3748	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
9	7, 8	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑦 → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)))
10		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
11	10	sbceq1d 3751	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
12		dfsbcq 3748	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
13	11, 12	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑦 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
14		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → (𝑎 − 1) = ((𝐴 + 1) − 1))
15	14	sbceq1d 3751	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑))
16		dfsbcq 3748	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → ([𝑎 / 𝑥]𝜑 ↔ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
17	15, 16	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐴 + 1) → (([(𝑎 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑎 / 𝑥]𝜑) ↔ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)))
18		2nn0ind.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝜓
19		ovex 7452	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) ∈ V
20		1m1e0 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	eqeq2i 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 − 1) ↔ 𝑥 = 0)
22		2nn0ind.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
23	21, 22	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 − 1) → (𝜑 ↔ 𝜓))
24	19, 23	sbcie 3787	. . . . . . 7 ⊢ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
25	18, 24	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ [(1 − 1) / 𝑥]𝜑
26		2nn0ind.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝜒
27		1ex 11220	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
28		2nn0ind.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
29	27, 28	sbcie 3787	. . . . . . 7 ⊢ ([1 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒)
30	26, 29	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ [1 / 𝑥]𝜑
31	25, 30	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ ([(1 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [1 / 𝑥]𝜑)
32		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [𝑦 / 𝑥]𝜑)
33		nncn 12258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
34		ax-1cn 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		pncan 11480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
36	33, 34, 35	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
37	36	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
38	37	sbceq1d 3751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑥]𝜑))
39	32, 38	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑)
40		2nn0ind.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝜃 ∧ 𝜏) → 𝜂))
41		ovex 7452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 − 1) ∈ V
42		2nn0ind.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
43	41, 42	sbcie 3787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃)
44		vex 3461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
45		2nn0ind.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜏))
46	44, 45	sbcie 3787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([𝑦 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜏)
47	43, 46	anbi12i 640	. . . . . . . . 9 ⊢ (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑) ↔ (𝜃 ∧ 𝜏))
48		ovex 7452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 + 1) ∈ V
49		2nn0ind.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜂))
50	48, 49	sbcie 3787	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜂)
51	40, 47, 50	3imtr4g 299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
52	51	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)
53	39, 52	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑)) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑))
54	53	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (([(𝑦 − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑦 / 𝑥]𝜑) → ([((𝑦 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑)))
55	5, 9, 13, 17, 31, 54	nnind 12268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
56	1, 55	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑))
57		nn0cn 12531	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
58		pncan 11480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
59	57, 34, 58	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
60	59	sbceq1d 3751	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
61	60	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ [((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
62	61	adantrr 730	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ([((𝐴 + 1) − 1) / 𝑥]𝜑 ∧ [(𝐴 + 1) / 𝑥]𝜑)) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
63	56, 62	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
64		2nn0ind.9	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜌))
65	64	sbcieg 3785	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜌))
66	63, 65	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝜌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  [wsbc 3746  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   − cmin 11458  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-ltxr 11265  df-sub 11460  df-nn 12251  df-n0 12522

This theorem is used by:  jm2.18  43775  jm2.15nn0  43790  jm2.16nn0  43791