Theorem lshpkrlem3 39970

Description: Lemma for lshpkrex 39976. Defining property of 𝐺‘𝑋. (Contributed by NM, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑧, +   𝑧,𝐺   𝑧,𝑈   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍,𝑘,𝑥,𝑦   𝑧, ·

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑘)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑘)   ⊕ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑘)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑘)   𝐾(𝑦, 𝑧)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑘)   𝑉(𝑦, 𝑧, 𝑘)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑘)   0 (𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem lshpkrlem3

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkrlem.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpkrlem.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lshpkrlem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lshpkrlem.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkrlem.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lshpkrlem.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lshpkrlem.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
8		lshpkrlem.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		lshpkrlem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lshpkrlem.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
11		lshpkrlem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
12		lshpkrlem.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
13		lshpkrlem.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lshpsmreu 39967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
15		riotasbc 7391	. . . 4 ⊢ (∃!𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) → [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
17		eqeq1 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
18	17	rexbidv 3188	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
19	18	riotabidv 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
20		lshpkrlem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
21		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
22	21	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)))
23	22	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍))))
24	23	rexbidv 3188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍))))
25		oveq1 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
26	25	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
27	26	cbvrexvw 3243	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
28	24, 27	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
29	28	cbvriotavw 7383	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
30	29	mpteq2i 5205	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
31	20, 30	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
32		riotaex 7377	. . . . 5 ⊢ (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) ∈ V
33	19, 31, 32	fvmpt 6990	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
34		dfsbcq 3744	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝑋) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) → ([(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
35	9, 33, 34	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
36	16, 35	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → [(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
37		fvex 6895	. . 3 ⊢ (𝐺‘𝑋) ∈ V
38		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (𝑙 · 𝑍) = ((𝐺‘𝑋) · 𝑍))
39	38	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))
40	39	eqeq2d 2773	. . . 4 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍))))
41	40	rexbidv 3188	. . 3 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍))))
42	37, 41	sbcie 3783	. 2 ⊢ ([(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))
43	36, 42	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  ∃!wreu 3365  [wsbc 3742  {csn 4587   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  ℩crio 7372  (class class class)co 7416  Basecbs 17303  +_gcplusg 17344  Scalarcsca 17347   ·_𝑠 cvsca 17348  0_gc0g 17526  LSSumclsm 19760  LSpanclspn 21154  LVecclvec 21285  LSHypclsh 39833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-0g 17528  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-lsm 19762  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-drng 20891  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-lvec 21286  df-lshyp 39835

This theorem is used by:  lshpkrlem6  39973