Theorem lshpkrlem3 39101

Description: Lemma for lshpkrex 39107. Defining property of 𝐺‘𝑋. (Contributed by NM, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑧, +   𝑧,𝐺   𝑧,𝑈   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍,𝑘,𝑥,𝑦   𝑧, ·

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐾(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   0 (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lshpkrlem3

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkrlem.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpkrlem.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lshpkrlem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lshpkrlem.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkrlem.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lshpkrlem.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lshpkrlem.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
8		lshpkrlem.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		lshpkrlem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lshpkrlem.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
11		lshpkrlem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
12		lshpkrlem.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
13		lshpkrlem.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lshpsmreu 39098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
15		riotasbc 7324	. . . 4 ⊢ (∃!𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) → [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
17		eqeq1 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
18	17	rexbidv 3153	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
19	18	riotabidv 7308	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
20		lshpkrlem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
21		oveq1 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
22	21	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)))
23	22	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍))))
24	23	rexbidv 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍))))
25		oveq1 7356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
26	25	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
27	26	cbvrexvw 3208	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
28	24, 27	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
29	28	cbvriotavw 7316	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
30	29	mpteq2i 5188	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
31	20, 30	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
32		riotaex 7310	. . . . 5 ⊢ (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) ∈ V
33	19, 31, 32	fvmpt 6930	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
34		dfsbcq 3744	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝑋) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) → ([(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
35	9, 33, 34	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
36	16, 35	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → [(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
37		fvex 6835	. . 3 ⊢ (𝐺‘𝑋) ∈ V
38		oveq1 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (𝑙 · 𝑍) = ((𝐺‘𝑋) · 𝑍))
39	38	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))
40	39	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍))))
41	40	rexbidv 3153	. . 3 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍))))
42	37, 41	sbcie 3784	. 2 ⊢ ([(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))
43	36, 42	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ∃!wreu 3341  [wsbc 3742  {csn 4577   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  ℩crio 7305  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  LSSumclsm 19513  LSpanclspn 20874  LVecclvec 21006  LSHypclsh 38964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-lsm 19515  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lvec 21007  df-lshyp 38966

This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  39104