Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpkrlem3 37970
Description: Lemma for lshpkrex 37976. Defining property of πΊβ€˜π‘‹. (Contributed by NM, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkrlem.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkrlem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkrlem.o 0 = (0gβ€˜π·)
lshpkrlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   0 ,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦   𝑧, +   𝑧,𝐺   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑧, Β·
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   βŠ• (π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   𝐾(𝑦,𝑧)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   𝑉(𝑦,𝑧,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   0 (π‘₯,𝑦,𝑧)
Proof of Theorem lshpkrlem3
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpkrlem.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 lshpkrlem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 lshpkrlem.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 lshpkrlem.h . . . . 5 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
6 lshpkrlem.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lshpkrlem.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
8 lshpkrlem.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
9 lshpkrlem.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 lshpkrlem.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
11 lshpkrlem.d . . . . 5 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
12 lshpkrlem.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
13 lshpkrlem.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lshpsmreu 37967 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
15 riotasbc 7380 . . . 4 (βˆƒ!𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) β†’ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
1614, 15syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
17 eqeq1 2736 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
1817rexbidv 3178 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
1918riotabidv 7363 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
20 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
21 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘˜ Β· 𝑍) = (𝑙 Β· 𝑍))
2221oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) = (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑍)))
2322eqeq2d 2743 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ π‘₯ = (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑍))))
2423rexbidv 3178 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑍))))
25 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑍)) = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
2625eqeq2d 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 β†’ (π‘₯ = (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
2726cbvrexvw 3235 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
2824, 27bitrdi 286 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
2928cbvriotavw 7371 . . . . . . 7 (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
3029mpteq2i 5252 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)))) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
3120, 30eqtri 2760 . . . . 5 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
32 riotaex 7365 . . . . 5 (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) ∈ V
3319, 31, 32fvmpt 6995 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
34 dfsbcq 3778 . . . 4 ((πΊβ€˜π‘‹) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) β†’ ([(πΊβ€˜π‘‹) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
359, 33, 343syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ ([(πΊβ€˜π‘‹) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
3616, 35mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ [(πΊβ€˜π‘‹) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
37 fvex 6901 . . 3 (πΊβ€˜π‘‹) ∈ V
38 oveq1 7412 . . . . . 6 (𝑙 = (πΊβ€˜π‘‹) β†’ (𝑙 Β· 𝑍) = ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍))
3938oveq2d 7421 . . . . 5 (𝑙 = (πΊβ€˜π‘‹) β†’ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) = (𝑧 + ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍)))
4039eqeq2d 2743 . . . 4 (𝑙 = (πΊβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍))))
4140rexbidv 3178 . . 3 (𝑙 = (πΊβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍))))
4237, 41sbcie 3819 . 2 ([(πΊβ€˜π‘‹) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍)))
4336, 42sylib 217 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3374  [wsbc 3776  {csn 4627   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  LSSumclsm 19496  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705  LSHypclsh 37833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lshyp 37835
This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  37973
  Copyright terms: Public domain W3C validator