Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpkrlem3 38639
Description: Lemma for lshpkrex 38645. Defining property of πΊβ€˜π‘‹. (Contributed by NM, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkrlem.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkrlem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkrlem.o 0 = (0gβ€˜π·)
lshpkrlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍)))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   0 ,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦   𝑧, +   𝑧,𝐺   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑧, Β·
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   βŠ• (π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   𝐾(𝑦,𝑧)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   𝑉(𝑦,𝑧,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   0 (π‘₯,𝑦,𝑧)
Proof of Theorem lshpkrlem3
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpkrlem.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 lshpkrlem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 lshpkrlem.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 lshpkrlem.h . . . . 5 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
6 lshpkrlem.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
7 lshpkrlem.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
8 lshpkrlem.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
9 lshpkrlem.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 lshpkrlem.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
11 lshpkrlem.d . . . . 5 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
12 lshpkrlem.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
13 lshpkrlem.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lshpsmreu 38636 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
15 riotasbc 7390 . . . 4 (βˆƒ!𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) β†’ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
1614, 15syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
17 eqeq1 2729 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
1817rexbidv 3169 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
1918riotabidv 7373 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
20 lshpkrlem.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
21 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘˜ Β· 𝑍) = (𝑙 Β· 𝑍))
2221oveq2d 7431 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) = (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑍)))
2322eqeq2d 2736 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ π‘₯ = (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑍))))
2423rexbidv 3169 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑍))))
25 oveq1 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑍)) = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
2625eqeq2d 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 β†’ (π‘₯ = (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
2726cbvrexvw 3226 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
2824, 27bitrdi 286 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
2928cbvriotavw 7381 . . . . . . 7 (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
3029mpteq2i 5248 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)))) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
3120, 30eqtri 2753 . . . . 5 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
32 riotaex 7375 . . . . 5 (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) ∈ V
3319, 31, 32fvmpt 6999 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
34 dfsbcq 3771 . . . 4 ((πΊβ€˜π‘‹) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) β†’ ([(πΊβ€˜π‘‹) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
359, 33, 343syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ ([(πΊβ€˜π‘‹) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍))))
3616, 35mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ [(πΊβ€˜π‘‹) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)))
37 fvex 6904 . . 3 (πΊβ€˜π‘‹) ∈ V
38 oveq1 7422 . . . . . 6 (𝑙 = (πΊβ€˜π‘‹) β†’ (𝑙 Β· 𝑍) = ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍))
3938oveq2d 7431 . . . . 5 (𝑙 = (πΊβ€˜π‘‹) β†’ (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) = (𝑧 + ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍)))
4039eqeq2d 2736 . . . 4 (𝑙 = (πΊβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍))))
4140rexbidv 3169 . . 3 (𝑙 = (πΊβ€˜π‘‹) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍))))
4237, 41sbcie 3813 . 2 ([(πΊβ€˜π‘‹) / 𝑙]βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍)))
4336, 42sylib 217 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑧 + ((πΊβ€˜π‘‹) Β· 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  βˆƒ!wreu 3362  [wsbc 3769  {csn 4624   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6542  β„©crio 7370  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  0gc0g 17418  LSSumclsm 19591  LSpanclspn 20857  LVecclvec 20989  LSHypclsh 38502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lshyp 38504
This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  38642
  Copyright terms: Public domain W3C validator