Theorem lshpkrlem3 37785

Description: Lemma for lshpkrex 37791. Defining property of 𝐺‘𝑋. (Contributed by NM, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑧, +   𝑧,𝐺   𝑧,𝑈   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍,𝑘,𝑥,𝑦   𝑧, ·

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐾(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   0 (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lshpkrlem3

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkrlem.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpkrlem.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lshpkrlem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lshpkrlem.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkrlem.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lshpkrlem.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lshpkrlem.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
8		lshpkrlem.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		lshpkrlem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lshpkrlem.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
11		lshpkrlem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
12		lshpkrlem.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
13		lshpkrlem.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lshpsmreu 37782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
15		riotasbc 7368	. . . 4 ⊢ (∃!𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) → [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
17		eqeq1 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
18	17	rexbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
19	18	riotabidv 7351	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
20		lshpkrlem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
21		oveq1 7400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
22	21	oveq2d 7409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)))
23	22	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍))))
24	23	rexbidv 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍))))
25		oveq1 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
26	25	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
27	26	cbvrexvw 3234	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
28	24, 27	bitrdi 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
29	28	cbvriotavw 7359	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
30	29	mpteq2i 5246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
31	20, 30	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
32		riotaex 7353	. . . . 5 ⊢ (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) ∈ V
33	19, 31, 32	fvmpt 6984	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
34		dfsbcq 3775	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝑋) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) → ([(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
35	9, 33, 34	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
36	16, 35	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → [(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
37		fvex 6891	. . 3 ⊢ (𝐺‘𝑋) ∈ V
38		oveq1 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (𝑙 · 𝑍) = ((𝐺‘𝑋) · 𝑍))
39	38	oveq2d 7409	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))
40	39	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍))))
41	40	rexbidv 3177	. . 3 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍))))
42	37, 41	sbcie 3816	. 2 ⊢ ([(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))
43	36, 42	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069  ∃!wreu 3373  [wsbc 3773  {csn 4622   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6532  ℩crio 7348  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  +_gcplusg 17179  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  0_gc0g 17367  LSSumclsm 19466  LSpanclspn 20531  LVecclvec 20662  LSHypclsh 37648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-subg 18975  df-cntz 19147  df-lsm 19468  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-drng 20267  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lsp 20532  df-lvec 20663  df-lshyp 37650

This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  37788