Theorem lshpkrlem3 39113

Description: Lemma for lshpkrex 39119. Defining property of 𝐺‘𝑋. (Contributed by NM, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑧, +   𝑧,𝐺   𝑧,𝑈   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍,𝑘,𝑥,𝑦   𝑧, ·

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝐾(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   0 (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lshpkrlem3

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkrlem.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpkrlem.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lshpkrlem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lshpkrlem.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkrlem.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lshpkrlem.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lshpkrlem.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
8		lshpkrlem.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		lshpkrlem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lshpkrlem.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
11		lshpkrlem.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
12		lshpkrlem.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
13		lshpkrlem.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lshpsmreu 39110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
15		riotasbc 7406	. . . 4 ⊢ (∃!𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) → [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
17		eqeq1 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
18	17	rexbidv 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
19	18	riotabidv 7390	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
20		lshpkrlem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
21		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑍) = (𝑙 · 𝑍))
22	21	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)))
23	22	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍))))
24	23	rexbidv 3179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍))))
25		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
26	25	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
27	26	cbvrexvw 3238	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
28	24, 27	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
29	28	cbvriotavw 7398	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
30	29	mpteq2i 5247	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
31	20, 30	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
32		riotaex 7392	. . . . 5 ⊢ (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) ∈ V
33	19, 31, 32	fvmpt 7016	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
34		dfsbcq 3790	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝑋) = (℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) → ([(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
35	9, 33, 34	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ([(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ [(℩𝑙 ∈ 𝐾 ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍))))
36	16, 35	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → [(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)))
37		fvex 6919	. . 3 ⊢ (𝐺‘𝑋) ∈ V
38		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (𝑙 · 𝑍) = ((𝐺‘𝑋) · 𝑍))
39	38	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))
40	39	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍))))
41	40	rexbidv 3179	. . 3 ⊢ (𝑙 = (𝐺‘𝑋) → (∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍))))
42	37, 41	sbcie 3830	. 2 ⊢ ([(𝐺‘𝑋) / 𝑙]∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + (𝑙 · 𝑍)) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))
43	36, 42	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑧 + ((𝐺‘𝑋) · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3378  [wsbc 3788  {csn 4626   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  LSSumclsm 19652  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  LSHypclsh 38976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lshyp 38978

This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  39116