MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodser 15925
Description: A finite product expressed in terms of a partial product of an infinite sequence. The recursive definition of a finite product follows from here. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodser.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)
fprodser.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
fprodser.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodser (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐ด(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodser
Dummy variables ๐‘— ๐‘š ๐‘› ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfc 15921 . 2 โˆ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘—) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด
2 fveq2 6892 . . . 4 (๐‘— = ((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘—) = ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)))
3 fprodser.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4 eluzelz 12862 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
65zcnd 12697 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7 eluzel2 12857 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
83, 7syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
98zcnd 12697 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
10 1cnd 11239 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
116, 9, 10subadd23d 11623 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1) = (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))
1211eqcomd 2731 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))
13 uznn0sub 12891 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
143, 13syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
15 nn0p1nn 12541 . . . . . 6 ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1) โˆˆ โ„•)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1) โˆˆ โ„•)
1712, 16eqeltrd 2825 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„•)
1810, 9pncan3d 11604 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 + (๐‘€ โˆ’ 1)) = ๐‘€)
196, 10, 9pnpncand 11665 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)) = ๐‘)
2018, 19oveq12d 7434 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1))) = (๐‘€...๐‘))
2120eleq2d 2811 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†” ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)))
2221biimpa 475 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
23 elfzelz 13533 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2423zcnd 12697 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2524adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
26 peano2zm 12635 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
278, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2827zcnd 12697 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2928adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3025, 29npcand 11605 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1)) = ๐‘)
31 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
3230, 31eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
33 ovex 7449 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ V
34 oveq1 7423 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))
3534eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘)))
3633, 35sbcie 3812 . . . . . . . . 9 ([(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘›](๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
3732, 36sylibr 233 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ [(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘›](๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
3822, 37syldan 589 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))) โ†’ [(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘›](๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
3938ralrimiva 3136 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))[(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘›](๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
40 1zzd 12623 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
4117nnzd 12615 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
42 fzshftral 13621 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))(๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))[(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘›](๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘)))
4340, 41, 27, 42syl3anc 1368 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))(๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))[(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘›](๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘)))
4439, 43mpbird 256 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))(๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
458adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
465adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4723adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4827adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
49 fzsubel 13569 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ ((๐‘€ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))...(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)))))
5045, 46, 47, 48, 49syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ ((๐‘€ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))...(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)))))
5131, 50mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ ((๐‘€ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))...(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))))
529, 10nncand 11606 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) = 1)
536, 9, 10subsub2d 11630 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) = (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))
5452, 53oveq12d 7434 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))...(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))) = (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))))
5554adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))...(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))) = (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))))
5651, 55eleqtrd 2827 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))))
5730eqcomd 2731 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘ = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))
5834rspceeqv 3623 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โˆง ๐‘ = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))
5956, 57, 58syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))
60 elfzelz 13533 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
6160zcnd 12697 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
62 elfzelz 13533 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
6362zcnd 12697 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
6461, 63anim12i 611 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚))
65 eqtr2 2749 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)))
66 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
67 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
6828adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
6966, 67, 68addcan2d 11448 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†” ๐‘› = ๐‘š))
7065, 69imbitrid 243 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› = ๐‘š))
7164, 70sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))))) โ†’ ((๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› = ๐‘š))
7271ralrimivva 3191 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))((๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› = ๐‘š))
7372adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))((๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› = ๐‘š))
74 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)))
7574eqeq2d 2736 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†” ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))))
7675reu4 3718 . . . . . . 7 (โˆƒ!๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))((๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› = ๐‘š)))
7759, 73, 76sylanbrc 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ โˆƒ!๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))
7877ralrimiva 3136 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)โˆƒ!๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))
79 eqid 2725 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))) = (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))
8079f1ompt 7116 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))):(1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โ€“1-1-ontoโ†’(๐‘€...๐‘) โ†” (โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))(๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)โˆƒ!๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))))
8144, 78, 80sylanbrc 581 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))):(1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โ€“1-1-ontoโ†’(๐‘€...๐‘))
82 fprodser.3 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8382fmpttd 7120 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด):(๐‘€...๐‘)โŸถโ„‚)
8483ffvelcdmda 7089 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
85 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))))
86 1zzd 12623 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
8741adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
8862adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
8927adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
90 fzaddel 13567 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†” (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))))
9186, 87, 88, 89, 90syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†” (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))))
9285, 91mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1))))
9320adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1))) = (๐‘€...๐‘))
9492, 93eleqtrd 2827 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
95 fprodser.1 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)
9695ralrimiva 3136 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)
97 nfcsb1v 3909 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด
9897nfeq2 2910 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜(๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด
99 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))))
100 csbeq1a 3898 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ๐ด = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
10199, 100eqeq12d 2741 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด โ†” (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
10298, 101rspc 3589 . . . . . . 7 ((๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
10396, 102mpan9 505 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
10494, 103syldan 589 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
105 f1of 6834 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))):(1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โ€“1-1-ontoโ†’(๐‘€...๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))):(1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โŸถ(๐‘€...๐‘))
10681, 105syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))):(1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โŸถ(๐‘€...๐‘))
107 fvco3 6992 . . . . . . 7 (((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))):(1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โŸถ(๐‘€...๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐น โˆ˜ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))))โ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)))
108106, 107sylan 578 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐น โˆ˜ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))))โ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)))
109 ovex 7449 . . . . . . . . 9 (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ V
11074, 79, 109fvmpt 7000 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š) = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)))
111110adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š) = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)))
112111fveq2d 6896 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)) = (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))))
113108, 112eqtrd 2765 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐น โˆ˜ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))))โ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))))
114111fveq2d 6896 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)) = ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))))
11582ralrimiva 3136 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด โˆˆ โ„‚)
11697nfel1 2909 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
117100eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
118116, 117rspc 3589 . . . . . . . . 9 ((๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
119115, 118mpan9 505 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
12094, 119syldan 589 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
121 eqid 2725 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด) = (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)
122121fvmpts 7003 . . . . . . 7 (((๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โˆง โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
12394, 120, 122syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
124114, 123eqtrd 2765 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
125104, 113, 1243eqtr4d 2775 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐น โˆ˜ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))))โ€˜๐‘š) = ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)))
1262, 17, 81, 84, 125fprod 15917 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘—) = (seq1( ยท , (๐น โˆ˜ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))))โ€˜(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))))
127 nnuz 12895 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
12817, 127eleqtrdi 2835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
129128, 27, 113seqshft2 14025 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , (๐น โˆ˜ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))))โ€˜(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) = (seq(1 + (๐‘€ โˆ’ 1))( ยท , ๐น)โ€˜((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1))))
13018seqeq1d 14004 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq(1 + (๐‘€ โˆ’ 1))( ยท , ๐น) = seq๐‘€( ยท , ๐น))
131130, 19fveq12d 6899 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (seq(1 + (๐‘€ โˆ’ 1))( ยท , ๐น)โ€˜((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1))) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
132126, 129, 1313eqtrd 2769 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘—) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
1331, 132eqtr3id 2779 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060  โˆƒ!wreu 3362  [wsbc 3768  โฆ‹csb 3884   โ†ฆ cmpt 5226   โˆ˜ ccom 5676  โŸถwf 6539  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โˆ’ cmin 11474  โ„•cn 12242  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588  โ„คโ‰ฅcuz 12852  ...cfz 13516  seqcseq 13998  โˆcprod 15881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-prod 15882
This theorem is referenced by:  fprodfac  15949  iprodclim3  15976
  Copyright terms: Public domain W3C validator