MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodser 15899
Description: A finite product expressed in terms of a partial product of an infinite sequence. The recursive definition of a finite product follows from here. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodser.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)
fprodser.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
fprodser.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodser (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐ด(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodser
Dummy variables ๐‘— ๐‘š ๐‘› ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfc 15895 . 2 โˆ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘—) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด
2 fveq2 6885 . . . 4 (๐‘— = ((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘—) = ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)))
3 fprodser.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4 eluzelz 12836 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
65zcnd 12671 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7 eluzel2 12831 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
83, 7syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
98zcnd 12671 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
10 1cnd 11213 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
116, 9, 10subadd23d 11597 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1) = (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))
1211eqcomd 2732 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1))
13 uznn0sub 12865 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
143, 13syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
15 nn0p1nn 12515 . . . . . 6 ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1) โˆˆ โ„•)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) + 1) โˆˆ โ„•)
1712, 16eqeltrd 2827 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„•)
1810, 9pncan3d 11578 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 + (๐‘€ โˆ’ 1)) = ๐‘€)
196, 10, 9pnpncand 11639 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)) = ๐‘)
2018, 19oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1))) = (๐‘€...๐‘))
2120eleq2d 2813 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†” ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)))
2221biimpa 476 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
23 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2423zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
26 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
278, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2827zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3025, 29npcand 11579 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1)) = ๐‘)
31 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
3230, 31eqeltrd 2827 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
33 ovex 7438 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ V
34 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))
3534eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘)))
3633, 35sbcie 3815 . . . . . . . . 9 ([(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘›](๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
3732, 36sylibr 233 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ [(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘›](๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
3822, 37syldan 590 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))) โ†’ [(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘›](๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
3938ralrimiva 3140 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))[(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘›](๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
40 1zzd 12597 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
4117nnzd 12589 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
42 fzshftral 13595 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))(๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))[(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘›](๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘)))
4340, 41, 27, 42syl3anc 1368 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))(๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))[(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘›](๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘)))
4439, 43mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))(๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
458adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
465adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4723adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
49 fzsubel 13543 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ ((๐‘€ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))...(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)))))
5045, 46, 47, 48, 49syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ ((๐‘€ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))...(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)))))
5131, 50mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ ((๐‘€ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))...(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))))
529, 10nncand 11580 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) = 1)
536, 9, 10subsub2d 11604 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) = (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))
5452, 53oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))...(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))) = (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))))
5554adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))...(๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1))) = (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))))
5651, 55eleqtrd 2829 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))))
5730eqcomd 2732 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘ = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))
5834rspceeqv 3628 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โˆง ๐‘ = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ โˆ’ 1)) + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))
5956, 57, 58syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))
60 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
6160zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
62 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
6362zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
6461, 63anim12i 612 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚))
65 eqtr2 2750 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)))
66 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
67 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
6828adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
6966, 67, 68addcan2d 11422 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†” ๐‘› = ๐‘š))
7065, 69imbitrid 243 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› = ๐‘š))
7164, 70sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))))) โ†’ ((๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› = ๐‘š))
7271ralrimivva 3194 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))((๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› = ๐‘š))
7372adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))((๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› = ๐‘š))
74 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)))
7574eqeq2d 2737 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†” ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))))
7675reu4 3722 . . . . . . 7 (โˆƒ!๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))((๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› = ๐‘š)))
7759, 73, 76sylanbrc 582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ โˆƒ!๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))
7877ralrimiva 3140 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)โˆƒ!๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))
79 eqid 2726 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))) = (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))
8079f1ompt 7106 . . . . 5 ((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))):(1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โ€“1-1-ontoโ†’(๐‘€...๐‘) โ†” (โˆ€๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))(๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘)โˆƒ!๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))๐‘ = (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))))
8144, 78, 80sylanbrc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))):(1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โ€“1-1-ontoโ†’(๐‘€...๐‘))
82 fprodser.3 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8382fmpttd 7110 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด):(๐‘€...๐‘)โŸถโ„‚)
8483ffvelcdmda 7080 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
85 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))))
86 1zzd 12597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
8741adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
8862adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
8927adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
90 fzaddel 13541 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†” (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))))
9186, 87, 88, 89, 90syl22anc 836 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†” (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1)))))
9285, 91mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1))))
9320adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((1 + (๐‘€ โˆ’ 1))...((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1))) = (๐‘€...๐‘))
9492, 93eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
95 fprodser.1 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)
9695ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)
97 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด
9897nfeq2 2914 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜(๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด
99 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))))
100 csbeq1a 3902 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ๐ด = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
10199, 100eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด โ†” (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
10298, 101rspc 3594 . . . . . . 7 ((๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
10396, 102mpan9 506 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
10494, 103syldan 590 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
105 f1of 6827 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))):(1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โ€“1-1-ontoโ†’(๐‘€...๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))):(1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โŸถ(๐‘€...๐‘))
10681, 105syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))):(1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โŸถ(๐‘€...๐‘))
107 fvco3 6984 . . . . . . 7 (((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))):(1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))โŸถ(๐‘€...๐‘) โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐น โˆ˜ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))))โ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)))
108106, 107sylan 579 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐น โˆ˜ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))))โ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)))
109 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ V
11074, 79, 109fvmpt 6992 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š) = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)))
111110adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š) = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)))
112111fveq2d 6889 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)) = (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))))
113108, 112eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐น โˆ˜ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))))โ€˜๐‘š) = (๐นโ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))))
114111fveq2d 6889 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)) = ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))))
11582ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด โˆˆ โ„‚)
11697nfel1 2913 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
117100eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
118116, 117rspc 3594 . . . . . . . . 9 ((๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
119115, 118mpan9 506 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
12094, 119syldan 590 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
121 eqid 2726 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด) = (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)
122121fvmpts 6995 . . . . . . 7 (((๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ (๐‘€...๐‘) โˆง โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
12394, 120, 122syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1))) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
124114, 123eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)) = โฆ‹(๐‘š + (๐‘€ โˆ’ 1)) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
125104, 113, 1243eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)))) โ†’ ((๐น โˆ˜ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1))))โ€˜๐‘š) = ((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜((๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘š)))
1262, 17, 81, 84, 125fprod 15891 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘—) = (seq1( ยท , (๐น โˆ˜ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))))โ€˜(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))))
127 nnuz 12869 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
12817, 127eleqtrdi 2837 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
129128, 27, 113seqshft2 13999 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , (๐น โˆ˜ (๐‘› โˆˆ (1...(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) โ†ฆ (๐‘› + (๐‘€ โˆ’ 1)))))โ€˜(๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€))) = (seq(1 + (๐‘€ โˆ’ 1))( ยท , ๐น)โ€˜((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1))))
13018seqeq1d 13978 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq(1 + (๐‘€ โˆ’ 1))( ยท , ๐น) = seq๐‘€( ยท , ๐น))
131130, 19fveq12d 6892 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (seq(1 + (๐‘€ โˆ’ 1))( ยท , ๐น)โ€˜((๐‘ + (1 โˆ’ ๐‘€)) + (๐‘€ โˆ’ 1))) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
132126, 129, 1313eqtrd 2770 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)((๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘—) = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
1331, 132eqtr3id 2780 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = (seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  โˆƒ!wreu 3368  [wsbc 3772  โฆ‹csb 3888   โ†ฆ cmpt 5224   โˆ˜ ccom 5673  โŸถwf 6533  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  โˆcprod 15855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856
This theorem is referenced by:  fprodfac  15923  iprodclim3  15950
  Copyright terms: Public domain W3C validator