MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodser 14886
Description: A finite product expressed in terms of a partial product of an infinite sequence. The recursive definition of a finite product follows from here. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodser.1 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
fprodser.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodser.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodser (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodser
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfc 14882 . 2 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴
2 fveq2 6332 . . . 4 (𝑗 = ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)))
3 fprodser.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzelz 11898 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
65zcnd 11685 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7 eluzel2 11893 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
83, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98zcnd 11685 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
10 1cnd 10258 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
116, 9, 10subadd23d 10616 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
1211eqcomd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = ((𝑁𝑀) + 1))
13 uznn0sub 11921 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
143, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
15 nn0p1nn 11534 . . . . . 6 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀) + 1) ∈ ℕ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 1) ∈ ℕ)
1712, 16eqeltrd 2850 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℕ)
1810, 9pncan3d 10597 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + (𝑀 − 1)) = 𝑀)
196, 10, 9pnpncand 10654 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)) = 𝑁)
2018, 19oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))) = (𝑀...𝑁))
2120eleq2d 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))) ↔ 𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)))
2221biimpa 462 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))) → 𝑝 ∈ (𝑀...𝑁))
23 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑝 ∈ ℤ)
2423zcnd 11685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑝 ∈ ℂ)
2524adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑝 ∈ ℂ)
26 peano2zm 11622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
278, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2827zcnd 11685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
2928adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
3025, 29npcand 10598 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)) = 𝑝)
31 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑝 ∈ (𝑀...𝑁))
3230, 31eqeltrd 2850 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
33 ovex 6823 . . . . . . . . . 10 (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ V
34 oveq1 6800 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑝 − (𝑀 − 1)) → (𝑛 + (𝑀 − 1)) = ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)))
3534eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − (𝑀 − 1)) → ((𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)))
3633, 35sbcie 3622 . . . . . . . . 9 ([(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
3732, 36sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → [(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
3822, 37syldan 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))) → [(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
3938ralrimiva 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))[(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
40 1zzd 11610 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4117nnzd 11683 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℤ)
42 fzshftral 12635 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))(𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))[(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)))
4340, 41, 27, 42syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))(𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))[(𝑝 − (𝑀 − 1)) / 𝑛](𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)))
4439, 43mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))(𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
458adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
465adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4723adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
4827adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
49 fzsubel 12584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ)) → (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1)))))
5045, 46, 47, 48, 49syl22anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑝 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1)))))
5131, 50mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1))))
529, 10nncand 10599 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
536, 9, 10subsub2d 10623 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − (𝑀 − 1)) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
5452, 53oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1))) = (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
5554adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑀 − (𝑀 − 1))...(𝑁 − (𝑀 − 1))) = (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
5651, 55eleqtrd 2852 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
5730eqcomd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑝 = ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1)))
5834eqeq2d 2781 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − (𝑀 − 1)) → (𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ↔ 𝑝 = ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1))))
5958rspcev 3460 . . . . . . . 8 (((𝑝 − (𝑀 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ∧ 𝑝 = ((𝑝 − (𝑀 − 1)) + (𝑀 − 1))) → ∃𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)))
6056, 57, 59syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∃𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)))
61 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℤ)
6261zcnd 11685 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℂ)
63 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → 𝑚 ∈ ℤ)
6463zcnd 11685 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → 𝑚 ∈ ℂ)
6562, 64anim12i 600 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ))
66 eqtr2 2791 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → (𝑛 + (𝑀 − 1)) = (𝑚 + (𝑀 − 1)))
67 simprl 754 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
68 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
6928adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑀 − 1) ∈ ℂ)
7067, 68, 69addcan2d 10442 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → ((𝑛 + (𝑀 − 1)) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) ↔ 𝑛 = 𝑚))
7166, 70syl5ib 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → ((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚))
7265, 71sylan2 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))) → ((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚))
7372ralrimivva 3120 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))∀𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚))
7473adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))∀𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚))
75 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + (𝑀 − 1)) = (𝑚 + (𝑀 − 1)))
7675eqeq2d 2781 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ↔ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))))
7776reu4 3552 . . . . . . 7 (∃!𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ↔ (∃𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))∀𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))((𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)) ∧ 𝑝 = (𝑚 + (𝑀 − 1))) → 𝑛 = 𝑚)))
7860, 74, 77sylanbrc 572 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∃!𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)))
7978ralrimiva 3115 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)∃!𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1)))
80 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))) = (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))
8180f1ompt 6524 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ (∀𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))(𝑛 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑀...𝑁)∃!𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))𝑝 = (𝑛 + (𝑀 − 1))))
8244, 79, 81sylanbrc 572 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
83 fprodser.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
84 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)
8583, 84fmptd 6527 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀...𝑁)⟶ℂ)
8685ffvelrnda 6502 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
87 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
88 1zzd 11610 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → 1 ∈ ℤ)
8941adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℤ)
9063adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
9127adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
92 fzaddel 12582 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↔ (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))))
9388, 89, 90, 91, 92syl22anc 1477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↔ (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1)))))
9487, 93mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))))
9520adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((1 + (𝑀 − 1))...((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))) = (𝑀...𝑁))
9694, 95eleqtrd 2852 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁))
97 fprodser.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
9897ralrimiva 3115 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) = 𝐴)
99 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴
10099nfeq2 2929 . . . . . . . 8 𝑘(𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴
101 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))))
102 csbeq1a 3691 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) → 𝐴 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
103101, 102eqeq12d 2786 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) → ((𝐹𝑘) = 𝐴 ↔ (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴))
104100, 103rspc 3454 . . . . . . 7 ((𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) = 𝐴 → (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴))
10598, 104mpan9 496 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
10696, 105syldan 579 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
107 f1of 6278 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))⟶(𝑀...𝑁))
10882, 107syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))⟶(𝑀...𝑁))
109 fvco3 6417 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))):(1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))⟶(𝑀...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))))‘𝑚) = (𝐹‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)))
110108, 109sylan 569 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))))‘𝑚) = (𝐹‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)))
111 ovex 6823 . . . . . . . . 9 (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ V
11275, 80, 111fvmpt 6424 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) → ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚) = (𝑚 + (𝑀 − 1)))
113112adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚) = (𝑚 + (𝑀 − 1)))
114113fveq2d 6336 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝐹‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)) = (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))))
115110, 114eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))))‘𝑚) = (𝐹‘(𝑚 + (𝑀 − 1))))
116113fveq2d 6336 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘(𝑚 + (𝑀 − 1))))
11783ralrimiva 3115 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
11899nfel1 2928 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
119102eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑚 + (𝑀 − 1)) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
120118, 119rspc 3454 . . . . . . . . 9 ((𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
121117, 120mpan9 496 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
12296, 121syldan 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
12384fvmpts 6427 . . . . . . 7 (((𝑚 + (𝑀 − 1)) ∈ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
12496, 122, 123syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘(𝑚 + (𝑀 − 1))) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
125116, 124eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)) = (𝑚 + (𝑀 − 1)) / 𝑘𝐴)
126106, 115, 1253eqtr4d 2815 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀)))) → ((𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1))))‘𝑚) = ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘((𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))‘𝑚)))
1272, 17, 82, 86, 126fprod 14878 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) = (seq1( · , (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))))‘(𝑁 + (1 − 𝑀))))
128 nnuz 11925 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
12917, 128syl6eleq 2860 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑀)) ∈ (ℤ‘1))
130129, 27, 115seqshft2 13034 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , (𝐹 ∘ (𝑛 ∈ (1...(𝑁 + (1 − 𝑀))) ↦ (𝑛 + (𝑀 − 1)))))‘(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (seq(1 + (𝑀 − 1))( · , 𝐹)‘((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))))
13118seqeq1d 13014 . . . 4 (𝜑 → seq(1 + (𝑀 − 1))( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
132131, 19fveq12d 6338 . . 3 (𝜑 → (seq(1 + (𝑀 − 1))( · , 𝐹)‘((𝑁 + (1 − 𝑀)) + (𝑀 − 1))) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
133127, 130, 1323eqtrd 2809 . 2 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)‘𝑗) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
1341, 133syl5eqr 2819 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  ∃!wreu 3063  [wsbc 3587  csb 3682  cmpt 4863  ccom 5253  wf 6027  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cmin 10468  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533  seqcseq 13008  cprod 14842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843
This theorem is referenced by:  fprodfac  14910  iprodclim3  14937
  Copyright terms: Public domain W3C validator