Theorem isconngr1 30507

Description: The property of being a connected graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
isconngr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isconngr1	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑛,𝑝,𝐺   𝑘,𝑉,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)   𝑊(𝑓,𝑘,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem isconngr1

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfconngr1 30505	. . 3 ⊢ ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
2	1	eleq2i 2853	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ 𝐺 ∈ {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝})
3		fvex 6894	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝑔) ∈ V
4		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → 𝑣 = (Vtx‘𝑔))
5		difeq1 4073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (𝑣 ∖ {𝑘}) = ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}))
6	5	raleqdv 3321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
7	4, 6	raleqbidv 3336	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
8	3, 7	sbcie 3784	. . . . 5 ⊢ ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
9	8	abbii 2828	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} = {𝑔 ∣ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
10	9	eleq2i 2853	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} ↔ 𝐺 ∈ {𝑔 ∣ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝})
11		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐺 → (Vtx‘ℎ) = (Vtx‘𝐺))
12		isconngr.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
13	11, 12	eqtr4di 2814	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐺 → (Vtx‘ℎ) = 𝑉)
14	13	difeq1d 4079	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐺 → ((Vtx‘ℎ) ∖ {𝑘}) = (𝑉 ∖ {𝑘}))
15		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = 𝐺 → (PathsOn‘ℎ) = (PathsOn‘𝐺))
16	15	oveqd 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = 𝐺 → (𝑘(PathsOn‘ℎ)𝑛) = (𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛))
17	16	breqd 5119	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝐺 → (𝑓(𝑘(PathsOn‘ℎ)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
18	17	2exbidv 1952	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐺 → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘ℎ)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
19	14, 18	raleqbidv 3336	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐺 → (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘ℎ) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘ℎ)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
20	13, 19	raleqbidv 3336	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐺 → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘ℎ)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘ℎ) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘ℎ)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
21		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘ℎ))
22	21	difeq1d 4079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) = ((Vtx‘ℎ) ∖ {𝑘}))
23		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = ℎ → (PathsOn‘𝑔) = (PathsOn‘ℎ))
24	23	oveqd 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛) = (𝑘(PathsOn‘ℎ)𝑛))
25	24	breqd 5119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ℎ → (𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(𝑘(PathsOn‘ℎ)𝑛)𝑝))
26	25	2exbidv 1952	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘ℎ)𝑛)𝑝))
27	22, 26	raleqbidv 3336	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘ℎ) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘ℎ)𝑛)𝑝))
28	21, 27	raleqbidv 3336	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ℎ → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘ℎ)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘ℎ) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘ℎ)𝑛)𝑝))
29	28	cbvabv 2831	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∣ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} = {ℎ ∣ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘ℎ)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘ℎ) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘ℎ)𝑛)𝑝}
30	20, 29	elab2g 3638	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ {𝑔 ∣ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
31	10, 30	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ {𝑔 ∣ [(Vtx‘𝑔) / 𝑣]∀𝑘 ∈ 𝑣 ∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
32	2, 31	bitrid 286	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑉 ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1568  ∃wex 1807   ∈ wcel 2141  {cab 2739  ∀wral 3077  [wsbc 3743   ∖ cdif 3901  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Vtxcvtx 29312  PathsOncpthson 30027  ConnGraphcconngr 30503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-wlks 29915  df-wlkson 29916  df-trls 30006  df-trlson 30007  df-pths 30029  df-pthson 30031  df-conngr 30504

This theorem is referenced by:  cusconngr  30508  frgrconngr  30611