Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isconngr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isconngr1 27973
 Description: The property of being a connected graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
isconngr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isconngr1 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑛,𝑝,𝐺   𝑘,𝑉,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)   𝑊(𝑓,𝑘,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem isconngr1
Dummy variables 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfconngr1 27971 . . 3 ConnGraph = {𝑔[(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
21eleq2i 2907 . 2 (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ 𝐺 ∈ {𝑔[(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝})
3 fvex 6672 . . . . . 6 (Vtx‘𝑔) ∈ V
4 id 22 . . . . . . 7 (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → 𝑣 = (Vtx‘𝑔))
5 difeq1 4078 . . . . . . . 8 (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (𝑣 ∖ {𝑘}) = ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}))
65raleqdv 3403 . . . . . . 7 (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
74, 6raleqbidv 3393 . . . . . 6 (𝑣 = (Vtx‘𝑔) → (∀𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝))
83, 7sbcie 3798 . . . . 5 ([(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝)
98abbii 2889 . . . 4 {𝑔[(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} = {𝑔 ∣ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝}
109eleq2i 2907 . . 3 (𝐺 ∈ {𝑔[(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} ↔ 𝐺 ∈ {𝑔 ∣ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝})
11 fveq2 6659 . . . . . 6 ( = 𝐺 → (Vtx‘) = (Vtx‘𝐺))
12 isconngr.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1311, 12syl6eqr 2877 . . . . 5 ( = 𝐺 → (Vtx‘) = 𝑉)
1413difeq1d 4084 . . . . . 6 ( = 𝐺 → ((Vtx‘) ∖ {𝑘}) = (𝑉 ∖ {𝑘}))
15 fveq2 6659 . . . . . . . . 9 ( = 𝐺 → (PathsOn‘) = (PathsOn‘𝐺))
1615oveqd 7163 . . . . . . . 8 ( = 𝐺 → (𝑘(PathsOn‘)𝑛) = (𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛))
1716breqd 5064 . . . . . . 7 ( = 𝐺 → (𝑓(𝑘(PathsOn‘)𝑛)𝑝𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
18172exbidv 1926 . . . . . 6 ( = 𝐺 → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
1914, 18raleqbidv 3393 . . . . 5 ( = 𝐺 → (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
2013, 19raleqbidv 3393 . . . 4 ( = 𝐺 → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
21 fveq2 6659 . . . . . 6 (𝑔 = → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘))
2221difeq1d 4084 . . . . . . 7 (𝑔 = → ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘}) = ((Vtx‘) ∖ {𝑘}))
23 fveq2 6659 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = → (PathsOn‘𝑔) = (PathsOn‘))
2423oveqd 7163 . . . . . . . . 9 (𝑔 = → (𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛) = (𝑘(PathsOn‘)𝑛))
2524breqd 5064 . . . . . . . 8 (𝑔 = → (𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝𝑓(𝑘(PathsOn‘)𝑛)𝑝))
26252exbidv 1926 . . . . . . 7 (𝑔 = → (∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘)𝑛)𝑝))
2722, 26raleqbidv 3393 . . . . . 6 (𝑔 = → (∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘)𝑛)𝑝))
2821, 27raleqbidv 3393 . . . . 5 (𝑔 = → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝 ↔ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘)𝑛)𝑝))
2928cbvabv 2892 . . . 4 {𝑔 ∣ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} = { ∣ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘)𝑛)𝑝}
3020, 29elab2g 3654 . . 3 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ {𝑔 ∣ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝑔)∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝑔) ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} ↔ ∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
3110, 30syl5bb 286 . 2 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ {𝑔[(Vtx‘𝑔) / 𝑣]𝑘𝑣𝑛 ∈ (𝑣 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝑔)𝑛)𝑝} ↔ ∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
322, 31syl5bb 286 1 (𝐺𝑊 → (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ ∀𝑘𝑉𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑘})∃𝑓𝑝 𝑓(𝑘(PathsOn‘𝐺)𝑛)𝑝))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115  {cab 2802  ∀wral 3133  [wsbc 3758   ∖ cdif 3916  {csn 4550   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  Vtxcvtx 26787  PathsOncpthson 27501  ConnGraphcconngr 27969 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-hash 13694  df-word 13865  df-wlks 27387  df-wlkson 27388  df-trls 27480  df-trlson 27481  df-pths 27503  df-pthson 27505  df-conngr 27970 This theorem is referenced by:  cusconngr  27974  frgrconngr  28077
 Copyright terms: Public domain W3C validator