MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isconngr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isconngr1 30044
Description: The property of being a connected graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
isconngr.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
isconngr1 (𝐺 ∈ π‘Š β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 βˆ€π‘› ∈ (𝑉 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝑛,𝑝,𝐺   π‘˜,𝑉,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)   π‘Š(𝑓,π‘˜,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem isconngr1
Dummy variables 𝑔 β„Ž 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfconngr1 30042 . . 3 ConnGraph = {𝑔 ∣ [(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝}
21eleq2i 2817 . 2 (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ 𝐺 ∈ {𝑔 ∣ [(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝})
3 fvex 6905 . . . . . 6 (Vtxβ€˜π‘”) ∈ V
4 id 22 . . . . . . 7 (𝑣 = (Vtxβ€˜π‘”) β†’ 𝑣 = (Vtxβ€˜π‘”))
5 difeq1 4107 . . . . . . . 8 (𝑣 = (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (𝑣 βˆ– {π‘˜}) = ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜}))
65raleqdv 3315 . . . . . . 7 (𝑣 = (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝))
74, 6raleqbidv 3330 . . . . . 6 (𝑣 = (Vtxβ€˜π‘”) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝))
83, 7sbcie 3812 . . . . 5 ([(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝)
98abbii 2795 . . . 4 {𝑔 ∣ [(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝} = {𝑔 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝}
109eleq2i 2817 . . 3 (𝐺 ∈ {𝑔 ∣ [(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝} ↔ 𝐺 ∈ {𝑔 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝})
11 fveq2 6892 . . . . . 6 (β„Ž = 𝐺 β†’ (Vtxβ€˜β„Ž) = (Vtxβ€˜πΊ))
12 isconngr.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
1311, 12eqtr4di 2783 . . . . 5 (β„Ž = 𝐺 β†’ (Vtxβ€˜β„Ž) = 𝑉)
1413difeq1d 4113 . . . . . 6 (β„Ž = 𝐺 β†’ ((Vtxβ€˜β„Ž) βˆ– {π‘˜}) = (𝑉 βˆ– {π‘˜}))
15 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (β„Ž = 𝐺 β†’ (PathsOnβ€˜β„Ž) = (PathsOnβ€˜πΊ))
1615oveqd 7433 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝐺 β†’ (π‘˜(PathsOnβ€˜β„Ž)𝑛) = (π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛))
1716breqd 5154 . . . . . . 7 (β„Ž = 𝐺 β†’ (𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜β„Ž)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
18172exbidv 1919 . . . . . 6 (β„Ž = 𝐺 β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜β„Ž)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
1914, 18raleqbidv 3330 . . . . 5 (β„Ž = 𝐺 β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜β„Ž) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜β„Ž)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑉 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
2013, 19raleqbidv 3330 . . . 4 (β„Ž = 𝐺 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜β„Ž)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜β„Ž) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜β„Ž)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 βˆ€π‘› ∈ (𝑉 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
21 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ (Vtxβ€˜π‘”) = (Vtxβ€˜β„Ž))
2221difeq1d 4113 . . . . . . 7 (𝑔 = β„Ž β†’ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜}) = ((Vtxβ€˜β„Ž) βˆ– {π‘˜}))
23 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = β„Ž β†’ (PathsOnβ€˜π‘”) = (PathsOnβ€˜β„Ž))
2423oveqd 7433 . . . . . . . . 9 (𝑔 = β„Ž β†’ (π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛) = (π‘˜(PathsOnβ€˜β„Ž)𝑛))
2524breqd 5154 . . . . . . . 8 (𝑔 = β„Ž β†’ (𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜β„Ž)𝑛)𝑝))
26252exbidv 1919 . . . . . . 7 (𝑔 = β„Ž β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜β„Ž)𝑛)𝑝))
2722, 26raleqbidv 3330 . . . . . 6 (𝑔 = β„Ž β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜β„Ž) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜β„Ž)𝑛)𝑝))
2821, 27raleqbidv 3330 . . . . 5 (𝑔 = β„Ž β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜β„Ž)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜β„Ž) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜β„Ž)𝑛)𝑝))
2928cbvabv 2798 . . . 4 {𝑔 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝} = {β„Ž ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜β„Ž)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜β„Ž) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜β„Ž)𝑛)𝑝}
3020, 29elab2g 3661 . . 3 (𝐺 ∈ π‘Š β†’ (𝐺 ∈ {𝑔 ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜π‘”) βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 βˆ€π‘› ∈ (𝑉 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
3110, 30bitrid 282 . 2 (𝐺 ∈ π‘Š β†’ (𝐺 ∈ {𝑔 ∣ [(Vtxβ€˜π‘”) / 𝑣]βˆ€π‘˜ ∈ 𝑣 βˆ€π‘› ∈ (𝑣 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜π‘”)𝑛)𝑝} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 βˆ€π‘› ∈ (𝑉 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
322, 31bitrid 282 1 (𝐺 ∈ π‘Š β†’ (𝐺 ∈ ConnGraph ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑉 βˆ€π‘› ∈ (𝑉 βˆ– {π‘˜})βˆƒπ‘“βˆƒπ‘ 𝑓(π‘˜(PathsOnβ€˜πΊ)𝑛)𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2702  βˆ€wral 3051  [wsbc 3768   βˆ– cdif 3936  {csn 4624   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Vtxcvtx 28853  PathsOncpthson 29572  ConnGraphcconngr 30040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-wlks 29457  df-wlkson 29458  df-trls 29550  df-trlson 29551  df-pths 29574  df-pthson 29576  df-conngr 30041
This theorem is referenced by:  cusconngr  30045  frgrconngr  30148
  Copyright terms: Public domain W3C validator