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Theorem findcard2 8611
Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2.1 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
findcard2.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
findcard2.3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑𝜃))
findcard2.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
findcard2.5 𝜓
findcard2.6 (𝑦 ∈ Fin → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
findcard2 (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦,𝑧)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem findcard2
Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 findcard2.4 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
2 isfi 8388 . . 3 (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝑥𝑤)
3 breq2 4972 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (𝑥𝑤𝑥 ≈ ∅))
43imbi1d 343 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝑥 ≈ ∅ → 𝜑)))
54albidv 1902 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ≈ ∅ → 𝜑)))
6 breq2 4972 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑣 → (𝑥𝑤𝑥𝑣))
76imbi1d 343 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑣 → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝑥𝑣𝜑)))
87albidv 1902 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑣 → (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑣𝜑)))
9 breq2 4972 . . . . . . . 8 (𝑤 = suc 𝑣 → (𝑥𝑤𝑥 ≈ suc 𝑣))
109imbi1d 343 . . . . . . 7 (𝑤 = suc 𝑣 → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝑥 ≈ suc 𝑣𝜑)))
1110albidv 1902 . . . . . 6 (𝑤 = suc 𝑣 → (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ≈ suc 𝑣𝜑)))
12 en0 8427 . . . . . . . 8 (𝑥 ≈ ∅ ↔ 𝑥 = ∅)
13 findcard2.5 . . . . . . . . 9 𝜓
14 findcard2.1 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
1513, 14mpbiri 259 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → 𝜑)
1612, 15sylbi 218 . . . . . . 7 (𝑥 ≈ ∅ → 𝜑)
1716ax-gen 1781 . . . . . 6 𝑥(𝑥 ≈ ∅ → 𝜑)
18 nsuceq0 6153 . . . . . . . . . . . 12 suc 𝑣 ≠ ∅
19 breq1 4971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = ∅ → (𝑤 ≈ suc 𝑣 ↔ ∅ ≈ suc 𝑣))
2019anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = ∅ → ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) ↔ (𝑣 ∈ ω ∧ ∅ ≈ suc 𝑣)))
21 peano1 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∅ ∈ ω
22 peano2 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∈ ω → suc 𝑣 ∈ ω)
23 nneneq 8554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∅ ∈ ω ∧ suc 𝑣 ∈ ω) → (∅ ≈ suc 𝑣 ↔ ∅ = suc 𝑣))
2421, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 ∈ ω → (∅ ≈ suc 𝑣 ↔ ∅ = suc 𝑣))
2524biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ ω ∧ ∅ ≈ suc 𝑣) → ∅ = suc 𝑣)
2625eqcomd 2803 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣 ∈ ω ∧ ∅ ≈ suc 𝑣) → suc 𝑣 = ∅)
2720, 26syl6bi 254 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = ∅ → ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) → suc 𝑣 = ∅))
2827com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) → (𝑤 = ∅ → suc 𝑣 = ∅))
2928necon3d 3007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) → (suc 𝑣 ≠ ∅ → 𝑤 ≠ ∅))
3018, 29mpi 20 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) → 𝑤 ≠ ∅)
3130ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ω → (𝑤 ≈ suc 𝑣𝑤 ≠ ∅))
32 n0 4236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝑤)
33 dif1en 8604 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣𝑧𝑤) → (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣)
34333expia 1114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) → (𝑧𝑤 → (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣))
35 snssi 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑤 → {𝑧} ⊆ 𝑤)
36 uncom 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ (𝑤 ∖ {𝑧}))
37 undif 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧} ⊆ 𝑤 ↔ ({𝑧} ∪ (𝑤 ∖ {𝑧})) = 𝑤)
3837biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑧} ⊆ 𝑤 → ({𝑧} ∪ (𝑤 ∖ {𝑧})) = 𝑤)
3936, 38syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑧} ⊆ 𝑤 → ((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = 𝑤)
40 vex 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤 ∈ V
4140difexi 5130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∖ {𝑧}) ∈ V
42 breq1 4971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (𝑤 ∖ {𝑧}) → (𝑦𝑣 ↔ (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣))
4342anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑤 ∖ {𝑧}) → ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) ↔ (𝑣 ∈ ω ∧ (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣)))
44 uneq1 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑤 ∖ {𝑧}) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = ((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
4544sbceq1d 3716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (𝑤 ∖ {𝑧}) → ([(𝑦 ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑[((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑))
4645imbi2d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑤 ∖ {𝑧}) → ((∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [(𝑦 ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑) ↔ (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑)))
4743, 46imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑤 ∖ {𝑧}) → (((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [(𝑦 ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝑣 ∈ ω ∧ (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑))))
48 breq1 4971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑣𝑦𝑣))
49 findcard2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
5048, 49imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑣𝜑) ↔ (𝑦𝑣𝜒)))
5150spv 2369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → (𝑦𝑣𝜒))
52 rspe 3269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → ∃𝑣 ∈ ω 𝑦𝑣)
53 isfi 8388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑣 ∈ ω 𝑦𝑣)
5452, 53sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ Fin)
55 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦𝑣 → ((𝑦𝑣𝜒) → 𝜒))
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → ((𝑦𝑣𝜒) → 𝜒))
57 findcard2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ Fin → (𝜒𝜃))
5854, 56, 57sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → ((𝑦𝑣𝜒) → 𝜃))
5951, 58syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → 𝜃))
60 vex 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑦 ∈ V
61 snex 5230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑧} ∈ V
6260, 61unex 7333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ V
63 findcard2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑𝜃))
6462, 63sbcie 3746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ([(𝑦 ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑𝜃)
6559, 64syl6ibr 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [(𝑦 ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑))
6641, 47, 65vtocl 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣 ∈ ω ∧ (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑))
67 dfsbcq 3713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = 𝑤 → ([((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑[𝑤 / 𝑥]𝜑))
6867imbi2d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = 𝑤 → ((∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑) ↔ (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
6966, 68syl5ib 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = 𝑤 → ((𝑣 ∈ ω ∧ (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
7035, 39, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑤 → ((𝑣 ∈ ω ∧ (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
7170expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑤 → (𝑣 ∈ ω → ((𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣 → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑))))
7271com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ ω → (𝑧𝑤 → ((𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣 → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑))))
7372adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) → (𝑧𝑤 → ((𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣 → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑))))
7434, 73mpdd 43 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) → (𝑧𝑤 → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
7574exlimdv 1915 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) → (∃𝑧 𝑧𝑤 → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
7632, 75syl5bi 243 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) → (𝑤 ≠ ∅ → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
7776ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ω → (𝑤 ≈ suc 𝑣 → (𝑤 ≠ ∅ → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑))))
7831, 77mpdd 43 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ω → (𝑤 ≈ suc 𝑣 → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
7978com23 86 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ω → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → (𝑤 ≈ suc 𝑣[𝑤 / 𝑥]𝜑)))
8079alrimdv 1911 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ω → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → ∀𝑤(𝑤 ≈ suc 𝑣[𝑤 / 𝑥]𝜑)))
81 nfv 1896 . . . . . . . 8 𝑤(𝑥 ≈ suc 𝑣𝜑)
82 nfv 1896 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑤 ≈ suc 𝑣
83 nfsbc1v 3731 . . . . . . . . 9 𝑥[𝑤 / 𝑥]𝜑
8482, 83nfim 1882 . . . . . . . 8 𝑥(𝑤 ≈ suc 𝑣[𝑤 / 𝑥]𝜑)
85 breq1 4971 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ≈ suc 𝑣𝑤 ≈ suc 𝑣))
86 sbceq1a 3722 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝜑[𝑤 / 𝑥]𝜑))
8785, 86imbi12d 346 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 ≈ suc 𝑣𝜑) ↔ (𝑤 ≈ suc 𝑣[𝑤 / 𝑥]𝜑)))
8881, 84, 87cbvalv1 2322 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝑥 ≈ suc 𝑣𝜑) ↔ ∀𝑤(𝑤 ≈ suc 𝑣[𝑤 / 𝑥]𝜑))
8980, 88syl6ibr 253 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ω → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → ∀𝑥(𝑥 ≈ suc 𝑣𝜑)))
905, 8, 11, 17, 89finds1 7474 . . . . 5 (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑))
919019.21bi 2154 . . . 4 (𝑤 ∈ ω → (𝑥𝑤𝜑))
9291rexlimiv 3245 . . 3 (∃𝑤 ∈ ω 𝑥𝑤𝜑)
932, 92sylbi 218 . 2 (𝑥 ∈ Fin → 𝜑)
941, 93vtoclga 3519 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wal 1523   = wceq 1525  wex 1765  wcel 2083  wne 2986  wrex 3108  [wsbc 3711  cdif 3862  cun 3863  wss 3865  c0 4217  {csn 4478   class class class wbr 4968  suc csuc 6075  ωcom 7443  cen 8361  Fincfn 8364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-om 7444  df-1o 7960  df-er 8146  df-en 8365  df-fin 8368
This theorem is referenced by:  findcard2s  8612  frfi  8616  fnfi  8649  iunfi  8665  finsschain  8684  infdiffi  8974  fin1a2lem10  9684  wunfi  9996  rexfiuz  14545  modfsummod  14986  lcmfunsnlem  15818  lcmfun  15822  drsdirfi  17381  fiuncmp  21700  finiunmbl  23832  mbfresfi  34490  heibor1lem  34640  pclfinclN  36638
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