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Theorem findcard2 9204
Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.) Avoid ax-pow 5365. (Revised by BTernaryTau, 26-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2.1 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
findcard2.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
findcard2.3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑𝜃))
findcard2.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
findcard2.5 𝜓
findcard2.6 (𝑦 ∈ Fin → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
findcard2 (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝑥,𝐴   𝜑,𝑦,𝑧   𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)   𝐴(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem findcard2
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 findcard2.4 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
2 isfi 9016 . . 3 (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑤 ∈ ω 𝑥𝑤)
3 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → (𝑥𝑤𝑥 ≈ ∅))
43imbi1d 341 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝑥 ≈ ∅ → 𝜑)))
54albidv 1920 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ≈ ∅ → 𝜑)))
6 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑣 → (𝑥𝑤𝑥𝑣))
76imbi1d 341 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑣 → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝑥𝑣𝜑)))
87albidv 1920 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑣 → (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑣𝜑)))
9 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑤 = suc 𝑣 → (𝑥𝑤𝑥 ≈ suc 𝑣))
109imbi1d 341 . . . . . . 7 (𝑤 = suc 𝑣 → ((𝑥𝑤𝜑) ↔ (𝑥 ≈ suc 𝑣𝜑)))
1110albidv 1920 . . . . . 6 (𝑤 = suc 𝑣 → (∀𝑥(𝑥𝑤𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ≈ suc 𝑣𝜑)))
12 en0 9058 . . . . . . . 8 (𝑥 ≈ ∅ ↔ 𝑥 = ∅)
13 findcard2.5 . . . . . . . . 9 𝜓
14 findcard2.1 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
1513, 14mpbiri 258 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → 𝜑)
1612, 15sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑥 ≈ ∅ → 𝜑)
1716ax-gen 1795 . . . . . 6 𝑥(𝑥 ≈ ∅ → 𝜑)
18 nnon 7893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ω → 𝑣 ∈ On)
19 rexdif1en 9198 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ On ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) → ∃𝑧𝑤 (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣)
2018, 19sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) → ∃𝑧𝑤 (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣)
21 snssi 4808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑤 → {𝑧} ⊆ 𝑤)
22 uncom 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ (𝑤 ∖ {𝑧}))
23 undif 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑧} ⊆ 𝑤 ↔ ({𝑧} ∪ (𝑤 ∖ {𝑧})) = 𝑤)
2423biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑧} ⊆ 𝑤 → ({𝑧} ∪ (𝑤 ∖ {𝑧})) = 𝑤)
2522, 24eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑧} ⊆ 𝑤 → ((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = 𝑤)
26 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤 ∈ V
2726difexi 5330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∖ {𝑧}) ∈ V
28 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑤 ∖ {𝑧}) → (𝑦𝑣 ↔ (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣))
2928anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑤 ∖ {𝑧}) → ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) ↔ (𝑣 ∈ ω ∧ (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣)))
30 uneq1 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑤 ∖ {𝑧}) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = ((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
3130sbceq1d 3793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑤 ∖ {𝑧}) → ([(𝑦 ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑[((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑))
3231imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑤 ∖ {𝑧}) → ((∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [(𝑦 ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑) ↔ (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑)))
3329, 32imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑤 ∖ {𝑧}) → (((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [(𝑦 ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑)) ↔ ((𝑣 ∈ ω ∧ (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑))))
34 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑣𝑦𝑣))
35 findcard2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
3634, 35imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑣𝜑) ↔ (𝑦𝑣𝜒)))
3736spvv 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → (𝑦𝑣𝜒))
38 rspe 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → ∃𝑣 ∈ ω 𝑦𝑣)
39 isfi 9016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ Fin ↔ ∃𝑣 ∈ ω 𝑦𝑣)
4038, 39sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → 𝑦 ∈ Fin)
41 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝑣 → ((𝑦𝑣𝜒) → 𝜒))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → ((𝑦𝑣𝜒) → 𝜒))
43 findcard2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ Fin → (𝜒𝜃))
4440, 42, 43sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → ((𝑦𝑣𝜒) → 𝜃))
4537, 44syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → 𝜃))
46 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦 ∈ V
47 vsnex 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {𝑧} ∈ V
4846, 47unex 7764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ V
49 findcard2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝜑𝜃))
5048, 49sbcie 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ([(𝑦 ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑𝜃)
5145, 50imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑦𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [(𝑦 ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑))
5227, 33, 51vtocl 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ ω ∧ (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑))
53 dfsbcq 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = 𝑤 → ([((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑[𝑤 / 𝑥]𝜑))
5453imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = 𝑤 → ((∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) / 𝑥]𝜑) ↔ (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
5552, 54imbitrid 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = 𝑤 → ((𝑣 ∈ ω ∧ (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
5621, 25, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑤 → ((𝑣 ∈ ω ∧ (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
5756expd 415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑤 → (𝑣 ∈ ω → ((𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣 → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑))))
5857com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ ω → (𝑧𝑤 → ((𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣 → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑))))
5958rexlimdv 3153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ω → (∃𝑧𝑤 (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣 → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
6059adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) → (∃𝑧𝑤 (𝑤 ∖ {𝑧}) ≈ 𝑣 → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
6120, 60mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑤 ≈ suc 𝑣) → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑))
6261ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ω → (𝑤 ≈ suc 𝑣 → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → [𝑤 / 𝑥]𝜑)))
6362com23 86 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ω → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → (𝑤 ≈ suc 𝑣[𝑤 / 𝑥]𝜑)))
6463alrimdv 1929 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ω → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → ∀𝑤(𝑤 ≈ suc 𝑣[𝑤 / 𝑥]𝜑)))
65 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑤(𝑥 ≈ suc 𝑣𝜑)
66 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑤 ≈ suc 𝑣
67 nfsbc1v 3808 . . . . . . . . 9 𝑥[𝑤 / 𝑥]𝜑
6866, 67nfim 1896 . . . . . . . 8 𝑥(𝑤 ≈ suc 𝑣[𝑤 / 𝑥]𝜑)
69 breq1 5146 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ≈ suc 𝑣𝑤 ≈ suc 𝑣))
70 sbceq1a 3799 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝜑[𝑤 / 𝑥]𝜑))
7169, 70imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 ≈ suc 𝑣𝜑) ↔ (𝑤 ≈ suc 𝑣[𝑤 / 𝑥]𝜑)))
7265, 68, 71cbvalv1 2343 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝑥 ≈ suc 𝑣𝜑) ↔ ∀𝑤(𝑤 ≈ suc 𝑣[𝑤 / 𝑥]𝜑))
7364, 72imbitrrdi 252 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ω → (∀𝑥(𝑥𝑣𝜑) → ∀𝑥(𝑥 ≈ suc 𝑣𝜑)))
745, 8, 11, 17, 73finds1 7921 . . . . 5 (𝑤 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥𝑤𝜑))
757419.21bi 2189 . . . 4 (𝑤 ∈ ω → (𝑥𝑤𝜑))
7675rexlimiv 3148 . . 3 (∃𝑤 ∈ ω 𝑥𝑤𝜑)
772, 76sylbi 217 . 2 (𝑥 ∈ Fin → 𝜑)
781, 77vtoclga 3577 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  [wsbc 3788  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  Oncon0 6384  suc csuc 6386  ωcom 7887  cen 8982  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-en 8986  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  findcard2s  9205  ssfi  9213  cnvfi  9216  fnfi  9218  frfi  9321  imafiOLD  9354  pwfi  9357  iunfi  9383  finsschain  9399  infdiffi  9698  fin1a2lem10  10449  wunfi  10761  rexfiuz  15386  modfsummod  15830  lcmfunsnlem  16678  lcmfun  16682  drsdirfi  18351  fiuncmp  23412  finiunmbl  25579  fineqvac  35111  mbfresfi  37673  heibor1lem  37816  pclfinclN  39952
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