Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fdc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdc1 37733
Description: Variant of fdc 37732 with no specified base value. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fdc1.1 𝐴 ∈ V
fdc1.2 𝑀 ∈ ℤ
fdc1.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
fdc1.4 𝑁 = (𝑀 + 1)
fdc1.5 (𝑎 = (𝑓𝑀) → (𝜁𝜎))
fdc1.6 (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑𝜓))
fdc1.7 (𝑏 = (𝑓𝑘) → (𝜓𝜒))
fdc1.8 (𝑎 = (𝑓𝑛) → (𝜃𝜏))
fdc1.9 (𝜂 → ∃𝑎𝐴 𝜁)
fdc1.10 (𝜂𝑅 Fr 𝐴)
fdc1.11 ((𝜂𝑎𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 𝜑))
fdc1.12 (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)
Assertion
Ref Expression
fdc1 (𝜂 → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑓,𝑛   𝑅,𝑎,𝑏   𝑀,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝑍,𝑎,𝑏,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝜑,𝑓,𝑘   𝜓,𝑎   𝜒,𝑎,𝑏,𝑛   𝜃,𝑓,𝑛   𝜏,𝑎,𝑏   𝜂,𝑎,𝑏,𝑓,𝑛   𝜁,𝑏,𝑓,𝑛   𝜎,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑎,𝑏)   𝜓(𝑓,𝑘,𝑛,𝑏)   𝜒(𝑓,𝑘)   𝜃(𝑘,𝑎,𝑏)   𝜏(𝑓,𝑘,𝑛)   𝜂(𝑘)   𝜁(𝑘,𝑎)   𝜎(𝑓,𝑘,𝑛,𝑏)   𝐴(𝑘)   𝑅(𝑓,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem fdc1
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1w 2822 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐𝐴𝑎𝐴))
21anbi2d 630 . . . . 5 (𝑐 = 𝑎 → ((𝜂𝑐𝐴) ↔ (𝜂𝑎𝐴)))
3 sbceq2a 3803 . . . . 5 (𝑐 = 𝑎 → ([𝑐 / 𝑎]𝜁𝜁))
42, 3anbi12d 632 . . . 4 (𝑐 = 𝑎 → (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) ↔ ((𝜂𝑎𝐴) ∧ 𝜁)))
54imbi1d 341 . . 3 (𝑐 = 𝑎 → ((((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)) ↔ (((𝜂𝑎𝐴) ∧ 𝜁) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))))
6 fdc1.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
7 fdc1.2 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ
8 fdc1.3 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
9 fdc1.4 . . . . . 6 𝑁 = (𝑀 + 1)
10 sbsbc 3795 . . . . . . 7 ([𝑑 / 𝑎]𝜑[𝑑 / 𝑎]𝜑)
11 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑎𝜓
12 fdc1.6 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑𝜓))
1311, 12sbhypf 3544 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → ([𝑑 / 𝑎]𝜑𝜓))
1410, 13bitr3id 285 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → ([𝑑 / 𝑎]𝜑𝜓))
15 fdc1.7 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑓𝑘) → (𝜓𝜒))
16 sbsbc 3795 . . . . . . 7 ([𝑑 / 𝑎]𝜃[𝑑 / 𝑎]𝜃)
17 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑎𝜏
18 fdc1.8 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑓𝑛) → (𝜃𝜏))
1917, 18sbhypf 3544 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑓𝑛) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃𝜏))
2016, 19bitr3id 285 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑓𝑛) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃𝜏))
21 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜂 ∧ (𝑐𝐴[𝑐 / 𝑎]𝜁)) → 𝑐𝐴)
22 fdc1.10 . . . . . . 7 (𝜂𝑅 Fr 𝐴)
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝜂 ∧ (𝑐𝐴[𝑐 / 𝑎]𝜁)) → 𝑅 Fr 𝐴)
24 nfv 1912 . . . . . . . . 9 𝑎(𝜂𝑑𝐴)
25 nfsbc1v 3811 . . . . . . . . . 10 𝑎[𝑑 / 𝑎]𝜃
26 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑎𝐴
27 nfsbc1v 3811 . . . . . . . . . . 11 𝑎[𝑑 / 𝑎]𝜑
2826, 27nfrexw 3311 . . . . . . . . . 10 𝑎𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑
2925, 28nfor 1902 . . . . . . . . 9 𝑎([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑)
3024, 29nfim 1894 . . . . . . . 8 𝑎((𝜂𝑑𝐴) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))
31 eleq1w 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → (𝑎𝐴𝑑𝐴))
3231anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑑 → ((𝜂𝑎𝐴) ↔ (𝜂𝑑𝐴)))
33 sbceq1a 3802 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → (𝜃[𝑑 / 𝑎]𝜃))
34 sbceq1a 3802 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑑 → (𝜑[𝑑 / 𝑎]𝜑))
3534rexbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → (∃𝑏𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))
3633, 35orbi12d 918 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑑 → ((𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 𝜑) ↔ ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑)))
3732, 36imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑑 → (((𝜂𝑎𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 𝜑)) ↔ ((𝜂𝑑𝐴) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))))
38 fdc1.11 . . . . . . . 8 ((𝜂𝑎𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 𝜑))
3930, 37, 38chvarfv 2238 . . . . . . 7 ((𝜂𝑑𝐴) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))
4039adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜂 ∧ (𝑐𝐴[𝑐 / 𝑎]𝜁)) ∧ 𝑑𝐴) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))
41 nfv 1912 . . . . . . . . . . 11 𝑎𝜂
4241, 27nfan 1897 . . . . . . . . . 10 𝑎(𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑)
43 nfv 1912 . . . . . . . . . 10 𝑎(𝑑𝐴𝑏𝐴)
4442, 43nfan 1897 . . . . . . . . 9 𝑎((𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑𝐴𝑏𝐴))
45 nfv 1912 . . . . . . . . 9 𝑎 𝑏𝑅𝑑
4644, 45nfim 1894 . . . . . . . 8 𝑎(((𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑑)
4734anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → ((𝜂𝜑) ↔ (𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑)))
4831anbi1d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) ↔ (𝑑𝐴𝑏𝐴)))
4947, 48anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑑 → (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ↔ ((𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑𝐴𝑏𝐴))))
50 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑑 → (𝑏𝑅𝑎𝑏𝑅𝑑))
5149, 50imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑑 → ((((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎) ↔ (((𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑑)))
52 fdc1.12 . . . . . . . 8 (((𝜂𝜑) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)
5346, 51, 52chvarfv 2238 . . . . . . 7 (((𝜂[𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑑)
5453adantllr 719 . . . . . 6 ((((𝜂 ∧ (𝑐𝐴[𝑐 / 𝑎]𝜁)) ∧ [𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑𝐴𝑏𝐴)) → 𝑏𝑅𝑑)
556, 7, 8, 9, 14, 15, 20, 21, 23, 40, 54fdc 37732 . . . . 5 ((𝜂 ∧ (𝑐𝐴[𝑐 / 𝑎]𝜁)) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
5655anassrs 467 . . . 4 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
57 idd 24 . . . . . . 7 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
58 dfsbcq 3793 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑀) = 𝑐 → ([(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜁[𝑐 / 𝑎]𝜁))
59 fvex 6920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑀) ∈ V
60 fdc1.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑓𝑀) → (𝜁𝜎))
6159, 60sbcie 3835 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑓𝑀) / 𝑎]𝜁𝜎)
6258, 61bitr3di 286 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑀) = 𝑐 → ([𝑐 / 𝑎]𝜁𝜎))
6362biimpcd 249 . . . . . . . . 9 ([𝑐 / 𝑎]𝜁 → ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜎))
6463adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜎))
6564anim1d 611 . . . . . . 7 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) → (𝜎𝜏)))
66 idd 24 . . . . . . 7 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 → ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
6757, 65, 663anim123d 1442 . . . . . 6 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
6867eximdv 1915 . . . . 5 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
6968reximdv 3168 . . . 4 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓𝑀) = 𝑐𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
7056, 69mpd 15 . . 3 (((𝜂𝑐𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
715, 70chvarvv 1996 . 2 (((𝜂𝑎𝐴) ∧ 𝜁) → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
72 fdc1.9 . 2 (𝜂 → ∃𝑎𝐴 𝜁)
7371, 72r19.29a 3160 1 (𝜂 → ∃𝑛𝑍𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  [wsb 2062  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  [wsbc 3791   class class class wbr 5148   Fr wfr 5638  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator