Theorem fdc1 35831

Description: Variant of fdc 35830 with no specified base value. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdc1.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fdc1.2	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
fdc1.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fdc1.4	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
fdc1.5	⊢ (𝑎 = (𝑓‘𝑀) → (𝜁 ↔ 𝜎))
fdc1.6	⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
fdc1.7	⊢ (𝑏 = (𝑓‘𝑘) → (𝜓 ↔ 𝜒))
fdc1.8	⊢ (𝑎 = (𝑓‘𝑛) → (𝜃 ↔ 𝜏))
fdc1.9	⊢ (𝜂 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝜁)
fdc1.10	⊢ (𝜂 → 𝑅 Fr 𝐴)
fdc1.11	⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑))
fdc1.12	⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)

Assertion

Ref	Expression
fdc1	⊢ (𝜂 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑓,𝑛   𝑅,𝑎,𝑏   𝑀,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝑍,𝑎,𝑏,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑘,𝑛   𝜑,𝑓,𝑘   𝜓,𝑎   𝜒,𝑎,𝑏,𝑛   𝜃,𝑓,𝑛   𝜏,𝑎,𝑏   𝜂,𝑎,𝑏,𝑓,𝑛   𝜁,𝑏,𝑓,𝑛   𝜎,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑎,𝑏)   𝜓(𝑓,𝑘,𝑛,𝑏)   𝜒(𝑓,𝑘)   𝜃(𝑘,𝑎,𝑏)   𝜏(𝑓,𝑘,𝑛)   𝜂(𝑘)   𝜁(𝑘,𝑎)   𝜎(𝑓,𝑘,𝑛,𝑏)   𝐴(𝑘)   𝑅(𝑓,𝑘,𝑛)   𝑍(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem fdc1

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
2	1	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝜂 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ↔ (𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴)))
3		sbceq2a 3723	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ([𝑐 / 𝑎]𝜁 ↔ 𝜁))
4	2, 3	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝜂 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝜁)))
5	4	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((((𝜂 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)) ↔ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝜁) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))))
6		fdc1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
7		fdc1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
8		fdc1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9		fdc1.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
10		sbsbc 3715	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑑 / 𝑎]𝜑 ↔ [𝑑 / 𝑎]𝜑)
11		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎𝜓
12		fdc1.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → (𝜑 ↔ 𝜓))
13	11, 12	sbhypf 3481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → ([𝑑 / 𝑎]𝜑 ↔ 𝜓))
14	10, 13	bitr3id 284	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝑓‘(𝑘 − 1)) → ([𝑑 / 𝑎]𝜑 ↔ 𝜓))
15		fdc1.7	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑓‘𝑘) → (𝜓 ↔ 𝜒))
16		sbsbc 3715	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ↔ [𝑑 / 𝑎]𝜃)
17		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎𝜏
18		fdc1.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘𝑛) → (𝜃 ↔ 𝜏))
19	17, 18	sbhypf 3481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = (𝑓‘𝑛) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜏))
20	16, 19	bitr3id 284	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝑓‘𝑛) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ↔ 𝜏))
21		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜂 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁)) → 𝑐 ∈ 𝐴)
22		fdc1.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜂 → 𝑅 Fr 𝐴)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜂 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁)) → 𝑅 Fr 𝐴)
24		nfv 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜂 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)
25		nfsbc1v 3731	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎[𝑑 / 𝑎]𝜃
26		nfcv 2906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎𝐴
27		nfsbc1v 3731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎[𝑑 / 𝑎]𝜑
28	26, 27	nfrex 3237	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎∃𝑏 ∈ 𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑
29	25, 28	nfor 1908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑)
30	24, 29	nfim 1900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜂 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))
31		eleq1w 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → (𝑎 ∈ 𝐴 ↔ 𝑑 ∈ 𝐴))
32	31	anbi2d 628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ↔ (𝜂 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴)))
33		sbceq1a 3722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → (𝜃 ↔ [𝑑 / 𝑎]𝜃))
34		sbceq1a 3722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → (𝜑 ↔ [𝑑 / 𝑎]𝜑))
35	34	rexbidv 3225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))
36	33, 35	orbi12d 915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑)))
37	32, 36	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑)) ↔ ((𝜂 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))))
38		fdc1.11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝜑))
39	30, 37, 38	chvarfv 2236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜂 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))
40	39	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜂 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) → ([𝑑 / 𝑎]𝜃 ∨ ∃𝑏 ∈ 𝐴 [𝑑 / 𝑎]𝜑))
41		nfv 1918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎𝜂
42	41, 27	nfan 1903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜂 ∧ [𝑑 / 𝑎]𝜑)
43		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)
44	42, 43	nfan 1903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜂 ∧ [𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴))
45		nfv 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑏𝑅𝑑
46	44, 45	nfim 1900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(((𝜂 ∧ [𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑑)
47	34	anbi2d 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝜂 ∧ 𝜑) ↔ (𝜂 ∧ [𝑑 / 𝑎]𝜑)))
48	31	anbi1d 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)))
49	47, 48	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) ↔ ((𝜂 ∧ [𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴))))
50		breq2 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → (𝑏𝑅𝑎 ↔ 𝑏𝑅𝑑))
51	49, 50	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑑 → ((((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎) ↔ (((𝜂 ∧ [𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑑)))
52		fdc1.12	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝜑) ∧ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑎)
53	46, 51, 52	chvarfv 2236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜂 ∧ [𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑑)
54	53	adantllr 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜂 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁)) ∧ [𝑑 / 𝑎]𝜑) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴)) → 𝑏𝑅𝑑)
55	6, 7, 8, 9, 14, 15, 20, 21, 23, 40, 54	fdc 35830	. . . . 5 ⊢ ((𝜂 ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
56	55	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
57		idd 24	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 → 𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴))
58		dfsbcq 3713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 → ([(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜁 ↔ [𝑐 / 𝑎]𝜁))
59		fvex 6769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓‘𝑀) ∈ V
60		fdc1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑓‘𝑀) → (𝜁 ↔ 𝜎))
61	59, 60	sbcie 3754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑓‘𝑀) / 𝑎]𝜁 ↔ 𝜎)
62	58, 61	bitr3di 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 → ([𝑐 / 𝑎]𝜁 ↔ 𝜎))
63	62	biimpcd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑐 / 𝑎]𝜁 → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 → 𝜎))
64	63	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 → 𝜎))
65	64	anim1d 610	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) → (𝜎 ∧ 𝜏)))
66		idd 24	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒 → ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
67	57, 65, 66	3anim123d 1441	. . . . . 6 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ((𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → (𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
68	67	eximdv 1921	. . . . 5 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
69	68	reximdv 3201	. . . 4 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ ((𝑓‘𝑀) = 𝑐 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒)))
70	56, 69	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) ∧ [𝑐 / 𝑎]𝜁) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
71	5, 70	chvarvv 2003	. 2 ⊢ (((𝜂 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝜁) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))
72		fdc1.9	. 2 ⊢ (𝜂 → ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝜁)
73	71, 72	r19.29a 3217	1 ⊢ (𝜂 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑓(𝑓:(𝑀...𝑛)⟶𝐴 ∧ (𝜎 ∧ 𝜏) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁...𝑛)𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1783  [wsb 2068   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422  [wsbc 3711   class class class wbr 5070   Fr wfr 5532  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by: (None)