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Theorem wrdind 14533
Description: Perform induction over the structure of a word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
wrdind.1 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
wrdind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
wrdind.3 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝜑𝜃))
wrdind.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
wrdind.5 𝜓
wrdind.6 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
wrdind (𝐴 ∈ Word 𝐵𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦,𝑧   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜒(𝑦,𝑧)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)   𝐴(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem wrdind
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lencl 14336 . . 3 (𝐴 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2 eqeq2 2748 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((♯‘𝑥) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑥) = 0))
32imbi1d 341 . . . . 5 (𝑛 = 0 → (((♯‘𝑥) = 𝑛𝜑) ↔ ((♯‘𝑥) = 0 → 𝜑)))
43ralbidv 3170 . . . 4 (𝑛 = 0 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = 𝑛𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = 0 → 𝜑)))
5 eqeq2 2748 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((♯‘𝑥) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑥) = 𝑚))
65imbi1d 341 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (((♯‘𝑥) = 𝑛𝜑) ↔ ((♯‘𝑥) = 𝑚𝜑)))
76ralbidv 3170 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = 𝑛𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = 𝑚𝜑)))
8 eqeq2 2748 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((♯‘𝑥) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1)))
98imbi1d 341 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((♯‘𝑥) = 𝑛𝜑) ↔ ((♯‘𝑥) = (𝑚 + 1) → 𝜑)))
109ralbidv 3170 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = 𝑛𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = (𝑚 + 1) → 𝜑)))
11 eqeq2 2748 . . . . . 6 (𝑛 = (♯‘𝐴) → ((♯‘𝑥) = 𝑛 ↔ (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴)))
1211imbi1d 341 . . . . 5 (𝑛 = (♯‘𝐴) → (((♯‘𝑥) = 𝑛𝜑) ↔ ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐴) → 𝜑)))
1312ralbidv 3170 . . . 4 (𝑛 = (♯‘𝐴) → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = 𝑛𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = (♯‘𝐴) → 𝜑)))
14 hasheq0 14178 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
15 wrdind.5 . . . . . . 7 𝜓
16 wrdind.1 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝜑𝜓))
1715, 16mpbiri 257 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → 𝜑)
1814, 17syl6bi 252 . . . . 5 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑥) = 0 → 𝜑))
1918rgen 3063 . . . 4 𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = 0 → 𝜑)
20 fveqeq2 6834 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘𝑥) = 𝑚 ↔ (♯‘𝑦) = 𝑚))
21 wrdind.2 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
2220, 21imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((♯‘𝑥) = 𝑚𝜑) ↔ ((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)))
2322cbvralvw 3221 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = 𝑚𝜑) ↔ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒))
24 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → 𝑥 ∈ Word 𝐵)
25 fzossfz 13507 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^(♯‘𝑥)) ⊆ (0...(♯‘𝑥))
26 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))
27 nn0p1nn 12373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2827ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
2926, 28eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
30 fzo0end 13580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑥) ∈ ℕ → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑥)))
3225, 31sselid 3930 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑥)))
33 pfxlen 14494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ ((♯‘𝑥) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑥))) → (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1))) = ((♯‘𝑥) − 1))
3424, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1))) = ((♯‘𝑥) − 1))
3526oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → ((♯‘𝑥) − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
36 nn0cn 12344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
3736ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → 𝑚 ∈ ℂ)
38 ax-1cn 11030 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
39 pncan 11328 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
4134, 35, 403eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1))) = 𝑚)
42 fveqeq2 6834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) → ((♯‘𝑦) = 𝑚 ↔ (♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1))) = 𝑚))
43 vex 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
4443, 21sbcie 3770 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑦 / 𝑥]𝜑𝜒)
45 dfsbcq 3729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) / 𝑥]𝜑))
4644, 45bitr3id 284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) → (𝜒[(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) / 𝑥]𝜑))
4742, 46imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) → (((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒) ↔ ((♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1))) = 𝑚[(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) / 𝑥]𝜑)))
48 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒))
49 pfxcl 14488 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ∈ Word 𝐵)
5049ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ∈ Word 𝐵)
5147, 48, 50rspcdva 3571 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → ((♯‘(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1))) = 𝑚[(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) / 𝑥]𝜑))
5241, 51mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → [(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) / 𝑥]𝜑)
5329nnge1d 12122 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → 1 ≤ (♯‘𝑥))
54 wrdlenge1n0 14353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ Word 𝐵 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘𝑥)))
5554ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘𝑥)))
5653, 55mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → 𝑥 ≠ ∅)
57 lswcl 14371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑥 ≠ ∅) → (lastS‘𝑥) ∈ 𝐵)
5824, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → (lastS‘𝑥) ∈ 𝐵)
59 oveq1 7344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) → (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6059sbceq1d 3732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) → ([(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“𝑧”⟩) / 𝑥]𝜑))
6145, 60imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) → (([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“𝑧”⟩) / 𝑥]𝜑)))
62 s1eq 14404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (lastS‘𝑥) → ⟨“𝑧”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑥)”⟩)
6362oveq2d 7353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (lastS‘𝑥) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑥)”⟩))
6463sbceq1d 3732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (lastS‘𝑥) → ([((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“𝑧”⟩) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑥)”⟩) / 𝑥]𝜑))
6564imbi2d 340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (lastS‘𝑥) → (([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“𝑧”⟩) / 𝑥]𝜑) ↔ ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑥)”⟩) / 𝑥]𝜑)))
66 wrdind.6 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → (𝜒𝜃))
67 ovex 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) ∈ V
68 wrdind.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝜑𝜃))
6967, 68sbcie 3770 . . . . . . . . . . . . 13 ([(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) / 𝑥]𝜑𝜃)
7066, 44, 693imtr4g 295 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Word 𝐵𝑧𝐵) → ([𝑦 / 𝑥]𝜑[(𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) / 𝑥]𝜑))
7161, 65, 70vtocl2ga 3523 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ∈ Word 𝐵 ∧ (lastS‘𝑥) ∈ 𝐵) → ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑥)”⟩) / 𝑥]𝜑))
7250, 58, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → ([(𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) / 𝑥]𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑥)”⟩) / 𝑥]𝜑))
7352, 72mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → [((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑥)”⟩) / 𝑥]𝜑)
74 wrdfin 14335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ Word 𝐵𝑥 ∈ Fin)
7574ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → 𝑥 ∈ Fin)
76 hashnncl 14181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
7829, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → 𝑥 ≠ ∅)
79 pfxlswccat 14524 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑥 ≠ ∅) → ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑥)”⟩) = 𝑥)
8079eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ Word 𝐵𝑥 ≠ ∅) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑥)”⟩))
8124, 78, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → 𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑥)”⟩))
82 sbceq1a 3738 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑥)”⟩) → (𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑥)”⟩) / 𝑥]𝜑))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → (𝜑[((𝑥 prefix ((♯‘𝑥) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑥)”⟩) / 𝑥]𝜑))
8473, 83mpbird 256 . . . . . . . 8 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑚 + 1))) → 𝜑)
8584expr 457 . . . . . . 7 (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑥) = (𝑚 + 1) → 𝜑))
8685ralrimiva 3139 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒)) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = (𝑚 + 1) → 𝜑))
8786ex 413 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑦) = 𝑚𝜒) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = (𝑚 + 1) → 𝜑)))
8823, 87biimtrid 241 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = 𝑚𝜑) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = (𝑚 + 1) → 𝜑)))
894, 7, 10, 13, 19, 88nn0ind 12516 . . 3 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = (♯‘𝐴) → 𝜑))
901, 89syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Word 𝐵 → ∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = (♯‘𝐴) → 𝜑))
91 eqidd 2737 . 2 (𝐴 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴))
92 fveqeq2 6834 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝑥) = (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴)))
93 wrdind.4 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
9492, 93imbi12d 344 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (((♯‘𝑥) = (♯‘𝐴) → 𝜑) ↔ ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
9594rspcv 3566 . 2 (𝐴 ∈ Word 𝐵 → (∀𝑥 ∈ Word 𝐵((♯‘𝑥) = (♯‘𝐴) → 𝜑) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐴) → 𝜏)))
9690, 91, 95mp2d 49 1 (𝐴 ∈ Word 𝐵𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  [wsbc 3727  c0 4269   class class class wbr 5092  cfv 6479  (class class class)co 7337  Fincfn 8804  cc 10970  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975  cle 11111  cmin 11306  cn 12074  0cn0 12334  ...cfz 13340  ..^cfzo 13483  chash 14145  Word cword 14317  lastSclsw 14365   ++ cconcat 14373  ⟨“cs1 14399   prefix cpfx 14481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-hash 14146  df-word 14318  df-lsw 14366  df-concat 14374  df-s1 14400  df-substr 14452  df-pfx 14482
This theorem is referenced by:  frmdgsum  18597  gsumwrev  19069  gsmsymgrfix  19132  efginvrel2  19428  signstfvneq0  32851  signstfvc  32853  mrsubvrs  33783
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