MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn1suc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn1suc 11651
Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nn1suc.1 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜓))
nn1suc.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
nn1suc.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜃))
nn1suc.5 𝜓
nn1suc.6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)
Assertion
Ref Expression
nn1suc (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)

Proof of Theorem nn1suc
StepHypRef Expression
1 nn1suc.5 . . . . 5 𝜓
2 1ex 10629 . . . . . 6 1 ∈ V
3 nn1suc.1 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜓))
42, 3sbcie 3810 . . . . 5 ([1 / 𝑥]𝜑𝜓)
51, 4mpbir 233 . . . 4 [1 / 𝑥]𝜑
6 1nn 11641 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
7 eleq1 2898 . . . . . . 7 (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
86, 7mpbiri 260 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ ℕ)
9 nn1suc.4 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜃))
109sbcieg 3808 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜃))
118, 10syl 17 . . . . 5 (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜃))
12 dfsbcq 3772 . . . . 5 (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑))
1311, 12bitr3d 283 . . . 4 (𝐴 = 1 → (𝜃[1 / 𝑥]𝜑))
145, 13mpbiri 260 . . 3 (𝐴 = 1 → 𝜃)
1514a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 → 𝜃))
16 ovex 7181 . . . . . 6 (𝑦 + 1) ∈ V
17 nn1suc.3 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
1816, 17sbcie 3810 . . . . 5 ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑𝜒)
19 oveq1 7155 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝑦 + 1) = ((𝐴 − 1) + 1))
2019sbceq1d 3775 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 − 1) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑[((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
2118, 20syl5bbr 287 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝜒[((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
22 nn1suc.6 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)
2321, 22vtoclga 3572 . . 3 ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
24 nncn 11638 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
25 ax-1cn 10587 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
26 npcan 10887 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
2724, 25, 26sylancl 588 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
2827sbceq1d 3775 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
2928, 10bitrd 281 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑𝜃))
3023, 29syl5ib 246 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → 𝜃))
31 nn1m1nn 11650 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
3215, 30, 31mpjaod 856 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208   = wceq 1530  wcel 2107  [wsbc 3770  (class class class)co 7148  cc 10527  1c1 10530   + caddc 10532  cmin 10862  cn 11630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-nn 11631
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  29914
  Copyright terms: Public domain W3C validator