MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn1suc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn1suc 12183
Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nn1suc.1 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜓))
nn1suc.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
nn1suc.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜃))
nn1suc.5 𝜓
nn1suc.6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)
Assertion
Ref Expression
nn1suc (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)

Proof of Theorem nn1suc
StepHypRef Expression
1 nn1suc.5 . . . . 5 𝜓
2 1ex 11159 . . . . . 6 1 ∈ V
3 nn1suc.1 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜓))
42, 3sbcie 3786 . . . . 5 ([1 / 𝑥]𝜑𝜓)
51, 4mpbir 230 . . . 4 [1 / 𝑥]𝜑
6 1nn 12172 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
7 eleq1 2822 . . . . . . 7 (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
86, 7mpbiri 258 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ ℕ)
9 nn1suc.4 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜃))
109sbcieg 3783 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜃))
118, 10syl 17 . . . . 5 (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜃))
12 dfsbcq 3745 . . . . 5 (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑))
1311, 12bitr3d 281 . . . 4 (𝐴 = 1 → (𝜃[1 / 𝑥]𝜑))
145, 13mpbiri 258 . . 3 (𝐴 = 1 → 𝜃)
1514a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 → 𝜃))
16 ovex 7394 . . . . . 6 (𝑦 + 1) ∈ V
17 nn1suc.3 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
1816, 17sbcie 3786 . . . . 5 ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑𝜒)
19 oveq1 7368 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝑦 + 1) = ((𝐴 − 1) + 1))
2019sbceq1d 3748 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 − 1) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑[((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
2118, 20bitr3id 285 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝜒[((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
22 nn1suc.6 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)
2321, 22vtoclga 3536 . . 3 ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
24 nncn 12169 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
25 ax-1cn 11117 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
26 npcan 11418 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
2724, 25, 26sylancl 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
2827sbceq1d 3748 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
2928, 10bitrd 279 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑𝜃))
3023, 29imbitrid 243 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → 𝜃))
31 nn1m1nn 12182 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
3215, 30, 31mpjaod 859 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  [wsbc 3743  (class class class)co 7361  cc 11057  1c1 11060   + caddc 11062  cmin 11393  cn 12161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395  df-nn 12162
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  31136
  Copyright terms: Public domain W3C validator