Theorem nn1suc 12191

Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn1suc.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nn1suc.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
nn1suc.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜃))
nn1suc.5	⊢ 𝜓
nn1suc.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
nn1suc	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)

Proof of Theorem nn1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1suc.5	. . . . 5 ⊢ 𝜓
2		1ex 11135	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
3		nn1suc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbcie 3766	. . . . 5 ⊢ ([1 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
5	1, 4	mpbir 233	. . . 4 ⊢ [1 / 𝑥]𝜑
6		1nn 12180	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		eleq1 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
8	6, 7	mpbiri 260	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ ℕ)
9		nn1suc.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜃))
10	9	sbcieg 3764	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
12		dfsbcq 3727	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
13	11, 12	bitr3d 283	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝜃 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
14	5, 13	mpbiri 260	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝜃)
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 → 𝜃))
16		ovex 7393	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 + 1) ∈ V
17		nn1suc.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
18	16, 17	sbcie 3766	. . . . 5 ⊢ ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒)
19		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝑦 + 1) = ((𝐴 − 1) + 1))
20	19	sbceq1d 3730	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
21	18, 20	bitr3id 287	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝜒 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
22		nn1suc.6	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)
23	21, 22	vtoclga 3522	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
24		nncn 12177	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
25		ax-1cn 11091	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		npcan 11397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
27	24, 25, 26	sylancl 593	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
28	27	sbceq1d 3730	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
29	28, 10	bitrd 281	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
30	23, 29	imbitrid 246	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → 𝜃))
31		nn1m1nn 12190	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
32	15, 30, 31	mpjaod 867	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  [wsbc 3725  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  1c1 11034   + caddc 11036   − cmin 11372  ℕcn 12169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374  df-nn 12170

This theorem is referenced by:  opsqrlem6  32238