Theorem inawinalem 10703

Description: Lemma for inawina 10704. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inawinalem	⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem inawinalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8994	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴)
2		ondomen 10051	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
3		isnum2 9959	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
5	1, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
6		ensdomtr 9127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → 𝑦 ≺ 𝐴)
7	6	ad2ant2l 746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → 𝑦 ≺ 𝐴)
8		sdomel 9138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 ≺ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
9	8	ad2ant2r 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → (𝑦 ≺ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
10	7, 9	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
11		vex 3463	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
12	11	canth2 9144	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
13		ensym 9017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → 𝒫 𝑥 ≈ 𝑦)
14		sdomentr 9125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≈ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → 𝑥 ≺ 𝑦)
16	15	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → 𝑥 ≺ 𝑦)
17	10, 16	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≺ 𝑦))
18	17	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≺ 𝑦)))
19	18	reximdv2 3150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
20	5, 19	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
21	20	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
22	21	ralimdv 3154	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  𝒫 cpw 4575   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  Oncon0 6352   ≈ cen 8956   ≼ cdom 8957   ≺ csdm 8958  cardccrd 9949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-card 9953

This theorem is referenced by:  inawina  10704  tskcard  10795  gruina  10832