Theorem inawinalem 10813

Description: Lemma for inawina 10814. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inawinalem	⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem inawinalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 9045	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴)
2		ondomen 10155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
3		isnum2 10063	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
4	2, 3	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
5	1, 4	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
6		ensdomtr 9170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → 𝑦 ≺ 𝐴)
7	6	ad2ant2l 759	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → 𝑦 ≺ 𝐴)
8		sdomel 9181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 ≺ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
9	8	ad2ant2r 760	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → (𝑦 ≺ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
10	7, 9	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
11		vex 3458	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
12	11	canth2 9187	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
13		ensym 9068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → 𝒫 𝑥 ≈ 𝑦)
14		sdomentr 9168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≈ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
15	12, 13, 14	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → 𝑥 ≺ 𝑦)
16	15	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → 𝑥 ≺ 𝑦)
17	10, 16	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≺ 𝑦))
18	17	expcom 419	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≺ 𝑦)))
19	18	reximdv2 3176	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
20	5, 19	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
21	20	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
22	21	ralimdv 3180	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  Oncon0 6388   ≈ cen 9008   ≼ cdom 9009   ≺ csdm 9010  cardccrd 10053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-card 10057

This theorem is used by:  inawina  10814  tskcard  10905  gruina  10942