Theorem inawinalem 10612

Description: Lemma for inawina 10613. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inawinalem	⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem inawinalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8929	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴)
2		ondomen 9959	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
3		isnum2 9869	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
5	1, 4	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
6		ensdomtr 9053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → 𝑦 ≺ 𝐴)
7	6	ad2ant2l 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → 𝑦 ≺ 𝐴)
8		sdomel 9064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 ≺ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
9	8	ad2ant2r 748	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → (𝑦 ≺ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
10	7, 9	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
11		vex 3446	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
12	11	canth2 9070	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
13		ensym 8952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → 𝒫 𝑥 ≈ 𝑦)
14		sdomentr 9051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≈ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
15	12, 13, 14	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → 𝑥 ≺ 𝑦)
16	15	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → 𝑥 ≺ 𝑦)
17	10, 16	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≺ 𝑦))
18	17	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≺ 𝑦)))
19	18	reximdv2 3148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
20	5, 19	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
21	20	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
22	21	ralimdv 3152	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  Oncon0 6325   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-card 9863

This theorem is referenced by:  inawina  10613  tskcard  10704  gruina  10741