Theorem inawinalem 10640

Description: Lemma for inawina 10641. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
inawinalem	⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem inawinalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 8954	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴)
2		ondomen 9986	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
3		isnum2 9896	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
4	2, 3	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≼ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
5	1, 4	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
6		ensdomtr 9078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → 𝑦 ≺ 𝐴)
7	6	ad2ant2l 756	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → 𝑦 ≺ 𝐴)
8		sdomel 9089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 ≺ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
9	8	ad2ant2r 757	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → (𝑦 ≺ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
10	7, 9	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
11		vex 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
12	11	canth2 9095	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
13		ensym 8977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → 𝒫 𝑥 ≈ 𝑦)
14		sdomentr 9076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥 ≈ 𝑦) → 𝑥 ≺ 𝑦)
15	12, 13, 14	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → 𝑥 ≺ 𝑦)
16	15	ad2antlr 737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → 𝑥 ≺ 𝑦)
17	10, 16	jca 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≺ 𝑦))
18	17	expcom 417	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≺ 𝑦)))
19	18	reximdv2 3171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
20	5, 19	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦)
21	20	ex 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
22	21	ralimdv 3175	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝒫 𝑥 ≺ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  𝒫 cpw 4552   class class class wbr 5097  dom cdm 5643  Oncon0 6340   ≈ cen 8917   ≼ cdom 8918   ≺ csdm 8919  cardccrd 9886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-card 9890

This theorem is referenced by:  inawina  10641  tskcard  10732  gruina  10769