MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inawinalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inawinalem 9833
Description: Lemma for inawina 9834. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
inawinalem (𝐴 ∈ On → (∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem inawinalem
StepHypRef Expression
1 sdomdom 8256 . . . . 5 (𝒫 𝑥𝐴 → 𝒫 𝑥𝐴)
2 ondomen 9180 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → 𝒫 𝑥 ∈ dom card)
3 isnum2 9091 . . . . . 6 (𝒫 𝑥 ∈ dom card ↔ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
42, 3sylib 210 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
51, 4sylan2 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥)
6 ensdomtr 8371 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → 𝑦𝐴)
76ad2ant2l 752 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → 𝑦𝐴)
8 sdomel 8382 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦𝐴𝑦𝐴))
98ad2ant2r 753 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → (𝑦𝐴𝑦𝐴))
107, 9mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → 𝑦𝐴)
11 vex 3417 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
1211canth2 8388 . . . . . . . . 9 𝑥 ≺ 𝒫 𝑥
13 ensym 8277 . . . . . . . . 9 (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → 𝒫 𝑥𝑦)
14 sdomentr 8369 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≺ 𝒫 𝑥 ∧ 𝒫 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
1512, 13, 14sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝑦 ≈ 𝒫 𝑥𝑥𝑦)
1615ad2antlr 718 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → 𝑥𝑦)
1710, 16jca 507 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) ∧ (𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴)) → (𝑦𝐴𝑥𝑦))
1817expcom 404 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ((𝑦 ∈ On ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥) → (𝑦𝐴𝑥𝑦)))
1918reximdv2 3222 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → (∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝒫 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
205, 19mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝒫 𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦)
2120ex 403 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝒫 𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
2221ralimdv 3172 1 (𝐴 ∈ On → (∀𝑥𝐴 𝒫 𝑥𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2164  wral 3117  wrex 3118  𝒫 cpw 4380   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  Oncon0 5967  cen 8225  cdom 8226  csdm 8227  cardccrd 9081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-card 9085
This theorem is referenced by:  inawina  9834  tskcard  9925  gruina  9962
  Copyright terms: Public domain W3C validator