Theorem shsidmi 31868

Description: Idempotent law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shsidm.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shsidmi	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem shsidmi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsidm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1, 1	shseli 31800	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
3		shaddcl 31701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
4	1, 3	mp3an1 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
5		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐴))
6	4, 5	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	rexlimivv 3204	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8	2, 7	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
9	8	ssriv 3935	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐴
10	1, 1	shsub1i 31856	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐴)
11	9, 10	eqssi 3947	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐴) = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  (class class class)co 7414   +_ℎ cva 31404   S_ℋ csh 31412   +_ℋ cph 31415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-hilex 31483  ax-hfvadd 31484  ax-hvcom 31485  ax-hvass 31486  ax-hv0cl 31487  ax-hvaddid 31488  ax-hfvmul 31489  ax-hvmulid 31490  ax-hvdistr2 31493  ax-hvmul0 31494

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471  df-grpo 30977  df-ablo 31029  df-hvsub 31455  df-sh 31691  df-shs 31792

This theorem is used by:  shslubi  31869