Theorem shsidmi 31471

Description: Idempotent law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shsidm.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shsidmi	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem shsidmi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsidm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1, 1	shseli 31403	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
3		shaddcl 31304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
4	1, 3	mp3an1 1451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
5		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐴))
6	4, 5	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	rexlimivv 3180	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8	2, 7	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
9	8	ssriv 3939	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐴
10	1, 1	shsub1i 31459	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐴)
11	9, 10	eqssi 3952	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  (class class class)co 7368   +_ℎ cva 31007   S_ℋ csh 31015   +_ℋ cph 31018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-hilex 31086  ax-hfvadd 31087  ax-hvcom 31088  ax-hvass 31089  ax-hv0cl 31090  ax-hvaddid 31091  ax-hfvmul 31092  ax-hvmulid 31093  ax-hvdistr2 31096  ax-hvmul0 31097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379  df-grpo 30580  df-ablo 30632  df-hvsub 31058  df-sh 31294  df-shs 31395

This theorem is referenced by:  shslubi  31472