Theorem shsidmi 30904

Description: Idempotent law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shsidm.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shsidmi	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem shsidmi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsidm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1, 1	shseli 30836	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
3		shaddcl 30737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
4	1, 3	mp3an1 1446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
5		eleq1 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐴))
6	4, 5	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	rexlimivv 3197	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8	2, 7	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
9	8	ssriv 3985	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐴
10	1, 1	shsub1i 30892	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐴)
11	9, 10	eqssi 3997	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068  (class class class)co 7411   +_ℎ cva 30440   S_ℋ csh 30448   +_ℋ cph 30451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-grpo 30013  df-ablo 30065  df-hvsub 30491  df-sh 30727  df-shs 30828

This theorem is referenced by:  shslubi  30905