HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsidmi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsidmi 29146
Description: Idempotent law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shsidm.1 𝐴S
Assertion
Ref Expression
shsidmi (𝐴 + 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem shsidmi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shsidm.1 . . . . 5 𝐴S
21, 1shseli 29078 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
3 shaddcl 28979 . . . . . . 7 ((𝐴S𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐴)
41, 3mp3an1 1444 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐴)
5 eleq1 2898 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐴))
64, 5syl5ibrcom 249 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑧𝐴) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴))
76rexlimivv 3279 . . . 4 (∃𝑦𝐴𝑧𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴)
82, 7sylbi 219 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐴) → 𝑥𝐴)
98ssriv 3950 . 2 (𝐴 + 𝐴) ⊆ 𝐴
101, 1shsub1i 29134 . 2 𝐴 ⊆ (𝐴 + 𝐴)
119, 10eqssi 3962 1 (𝐴 + 𝐴) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wrex 3126  (class class class)co 7133   + cva 28682   S csh 28690   + cph 28693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-hilex 28761  ax-hfvadd 28762  ax-hvcom 28763  ax-hvass 28764  ax-hv0cl 28765  ax-hvaddid 28766  ax-hfvmul 28767  ax-hvmulid 28768  ax-hvdistr2 28771  ax-hvmul0 28772
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-ltxr 10658  df-sub 10850  df-neg 10851  df-grpo 28255  df-ablo 28307  df-hvsub 28733  df-sh 28969  df-shs 29070
This theorem is referenced by:  shslubi  29147
  Copyright terms: Public domain W3C validator