Theorem shsidmi 31991

Description: Idempotent law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
shsidm.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shsidmi	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem shsidmi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsidm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2	1, 1	shseli 31923	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
3		shaddcl 31824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
4	1, 3	mp3an1 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐴)
5		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐴))
6	4, 5	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	rexlimivv 3204	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8	2, 7	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
9	8	ssriv 3912	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐴) ⊆ 𝐴
10	1, 1	shsub1i 31979	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐴)
11	9, 10	eqssi 3924	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐴) = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  (class class class)co 7420   +_ℎ cva 31527   S_ℋ csh 31535   +_ℋ cph 31538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-hilex 31606  ax-hfvadd 31607  ax-hvcom 31608  ax-hvass 31609  ax-hv0cl 31610  ax-hvaddid 31611  ax-hfvmul 31612  ax-hvmulid 31613  ax-hvdistr2 31616  ax-hvmul0 31617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-sub 11546  df-neg 11547  df-grpo 31100  df-ablo 31152  df-hvsub 31578  df-sh 31814  df-shs 31915

This theorem is used by:  shslubi  31992