Theorem shsleji 31398

Description: Subspace sum is smaller than Hilbert lattice join. Remark in [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shsleji	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)

Proof of Theorem shsleji

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shincl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shseli 31344	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
4		ssun1 4187	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
5	1, 2	shunssji 31397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
6	4, 5	sstri 4004	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
7	6	sseli 3990	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
8		ssun2 4188	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
9	8, 5	sstri 4004	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
10	9	sseli 3990	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
11		shjcl 31384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
12	1, 2, 11	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
13	12	chshii 31255	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Sℋ
14		shaddcl 31245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
15	13, 14	mp3an1 1447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
16	7, 10, 15	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
17		eleq1a 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
19	18	rexlimivv 3198	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
20	3, 19	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
21	20	ssriv 3998	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067   ∪ cun 3960   ⊆ wss 3962  (class class class)co 7430   +_ℎ cva 30948   S_ℋ csh 30956   C_ℋ cch 30957   +_ℋ cph 30959   ∨_ℋ chj 30961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-hilex 31027  ax-hfvadd 31028  ax-hvcom 31029  ax-hvass 31030  ax-hv0cl 31031  ax-hvaddid 31032  ax-hfvmul 31033  ax-hvmulid 31034  ax-hvmulass 31035  ax-hvdistr1 31036  ax-hvdistr2 31037  ax-hvmul0 31038  ax-hfi 31107  ax-his1 31110  ax-his2 31111  ax-his3 31112  ax-his4 31113  ax-hcompl 31230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-lm 23252  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cau 25303  df-grpo 30521  df-gid 30522  df-ginv 30523  df-gdiv 30524  df-ablo 30573  df-vc 30587  df-nv 30620  df-va 30623  df-ba 30624  df-sm 30625  df-0v 30626  df-vs 30627  df-nmcv 30628  df-ims 30629  df-dip 30729  df-hnorm 30996  df-hvsub 30999  df-hlim 31000  df-hcau 31001  df-sh 31235  df-ch 31249  df-oc 31280  df-shs 31336  df-chj 31338

This theorem is referenced by:  shub1i  31402  shslej  31408  shmodi  31418  chsleji  31486  shjshsi  31520  nonbooli  31679  5oai  31689  3oalem6  31695  pjjsi  31728