Theorem shsleji 31891

Description: Subspace sum is smaller than Hilbert lattice join. Remark in [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shincl.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shsleji	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)

Proof of Theorem shsleji

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shincl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shseli 31837	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
4		ssun1 4124	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
5	1, 2	shunssji 31890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
6	4, 5	sstri 3940	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
7	6	sseli 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
8		ssun2 4125	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
9	8, 5	sstri 3940	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
10	9	sseli 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → 𝑧 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
11		shjcl 31877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )
12	1, 2, 11	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
13	12	chshii 31748	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Sℋ
14		shaddcl 31738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
15	13, 14	mp3an1 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
16	7, 10, 15	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
17		eleq1a 2855	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
19	18	rexlimivv 3204	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
20	3, 19	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
21	20	ssriv 3935	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7409   +_ℎ cva 31441   S_ℋ csh 31449   C_ℋ cch 31450   +_ℋ cph 31452   ∨_ℋ chj 31454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236  ax-mulf 11237  ax-hilex 31520  ax-hfvadd 31521  ax-hvcom 31522  ax-hvass 31523  ax-hv0cl 31524  ax-hvaddid 31525  ax-hfvmul 31526  ax-hvmulid 31527  ax-hvmulass 31528  ax-hvdistr1 31529  ax-hvdistr2 31530  ax-hvmul0 31531  ax-hfi 31600  ax-his1 31603  ax-his2 31604  ax-his3 31605  ax-his4 31606  ax-hcompl 31723

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608  df-sum 15807  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-lm 23494  df-haus 23580  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-cau 25524  df-grpo 31014  df-gid 31015  df-ginv 31016  df-gdiv 31017  df-ablo 31066  df-vc 31080  df-nv 31113  df-va 31116  df-ba 31117  df-sm 31118  df-0v 31119  df-vs 31120  df-nmcv 31121  df-ims 31122  df-dip 31222  df-hnorm 31489  df-hvsub 31492  df-hlim 31493  df-hcau 31494  df-sh 31728  df-ch 31742  df-oc 31773  df-shs 31829  df-chj 31831

This theorem is used by:  shub1i  31895  shslej  31901  shmodi  31911  chsleji  31979  shjshsi  32013  nonbooli  32172  5oai  32182  3oalem6  32188  pjjsi  32221