Theorem sletri3 27708

Description: Trichotomy law for surreal less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sletri3	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))

Proof of Theorem sletri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slttrieq2 27703	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 <s 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 <s 𝐴)))
2		slenlt 27705	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
3		slenlt 27705	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
4	3	ancoms 457	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐵))
5	2, 4	anbi12d 630	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 <s 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 <s 𝐵)))
6		ancom 459	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐵 <s 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 <s 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 <s 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
7	5, 6	bitrdi 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴) ↔ (¬ 𝐴 <s 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 <s 𝐴)))
8	1, 7	bitr4d 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152   No csur 27593   <s cslt 27594   ≤s csle 27697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-1o 8493  df-2o 8494  df-no 27596  df-slt 27597  df-sle 27698

This theorem is referenced by:  addscan2  27930  mulscan2dlem  28098