Theorem mulscan2dlem 27994

Description: Lemma for mulscan2d 27995. Cancellation of multiplication when the right term is positive. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulscan2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
mulscan2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
mulscan2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
mulscan2dlem.1	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mulscan2dlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) = (𝐵 ·s 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem mulscan2dlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulscan2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		mulscan2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		mulscan2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		mulscan2dlem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	slemul1d 27991	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶)))
6	2, 1, 3, 4	slemul1d 27991	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) ≤s (𝐴 ·s 𝐶)))
7	5, 6	anbi12d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴) ↔ ((𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶) ∧ (𝐵 ·s 𝐶) ≤s (𝐴 ·s 𝐶))))
8		sletri3 27604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))
9	1, 2, 8	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))
10	1, 3	mulscld 27951	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
11	2, 3	mulscld 27951	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
12		sletri3 27604	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No ) → ((𝐴 ·s 𝐶) = (𝐵 ·s 𝐶) ↔ ((𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶) ∧ (𝐵 ·s 𝐶) ≤s (𝐴 ·s 𝐶))))
13	10, 11, 12	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) = (𝐵 ·s 𝐶) ↔ ((𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶) ∧ (𝐵 ·s 𝐶) ≤s (𝐴 ·s 𝐶))))
14	7, 9, 13	3bitr4rd 312	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) = (𝐵 ·s 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401   No csur 27489   <s cslt 27490   ≤s csle 27593   0_s c0s 27671   ·_s cmuls 27922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8661  df-no 27492  df-slt 27493  df-bday 27494  df-sle 27594  df-sslt 27630  df-scut 27632  df-0s 27673  df-made 27690  df-old 27691  df-left 27693  df-right 27694  df-norec 27771  df-norec2 27782  df-adds 27793  df-negs 27850  df-subs 27851  df-muls 27923

This theorem is referenced by:  mulscan2d  27995