Theorem mulscan2dlem 28118

Description: Lemma for mulscan2d 28119. Cancellation of multiplication when the right term is positive. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulscan2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
mulscan2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
mulscan2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
mulscan2dlem.1	⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mulscan2dlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) = (𝐵 ·s 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem mulscan2dlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulscan2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		mulscan2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		mulscan2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		mulscan2dlem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s <s 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	slemul1d 28115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶)))
6	2, 1, 3, 4	slemul1d 28115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) ≤s (𝐴 ·s 𝐶)))
7	5, 6	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴) ↔ ((𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶) ∧ (𝐵 ·s 𝐶) ≤s (𝐴 ·s 𝐶))))
8		sletri3 27695	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))
9	1, 2, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))
10	1, 3	mulscld 28075	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
11	2, 3	mulscld 28075	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
12		sletri3 27695	. . 3 ⊢ (((𝐴 ·s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No ) → ((𝐴 ·s 𝐶) = (𝐵 ·s 𝐶) ↔ ((𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶) ∧ (𝐵 ·s 𝐶) ≤s (𝐴 ·s 𝐶))))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) = (𝐵 ·s 𝐶) ↔ ((𝐴 ·s 𝐶) ≤s (𝐵 ·s 𝐶) ∧ (𝐵 ·s 𝐶) ≤s (𝐴 ·s 𝐶))))
14	7, 9, 13	3bitr4rd 312	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s 𝐶) = (𝐵 ·s 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352   No csur 27579   <s cslt 27580   ≤s csle 27684   0_s c0s 27767   ·_s cmuls 28046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-1o 8391  df-2o 8392  df-nadd 8587  df-no 27582  df-slt 27583  df-bday 27584  df-sle 27685  df-sslt 27722  df-scut 27724  df-0s 27769  df-made 27789  df-old 27790  df-left 27792  df-right 27793  df-norec 27882  df-norec2 27893  df-adds 27904  df-negs 27964  df-subs 27965  df-muls 28047

This theorem is referenced by:  mulscan2d  28119