Theorem addscan2 28026

Description: Cancellation law for surreal addition. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
addscan2	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 +s 𝐶) = (𝐵 +s 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem addscan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sleadd1 28022	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 +s 𝐶) ≤s (𝐵 +s 𝐶)))
2		sleadd1 28022	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ (𝐵 +s 𝐶) ≤s (𝐴 +s 𝐶)))
3	2	3com12 1124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ (𝐵 +s 𝐶) ≤s (𝐴 +s 𝐶)))
4	1, 3	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴) ↔ ((𝐴 +s 𝐶) ≤s (𝐵 +s 𝐶) ∧ (𝐵 +s 𝐶) ≤s (𝐴 +s 𝐶))))
5		sletri3 27800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))
6	5	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))
7		addscl 28014	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 +s 𝐶) ∈ No )
8	7	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐴 +s 𝐶) ∈ No )
9		addscl 28014	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No )
10	9	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → (𝐵 +s 𝐶) ∈ No )
11		sletri3 27800	. . 3 ⊢ (((𝐴 +s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 +s 𝐶) ∈ No ) → ((𝐴 +s 𝐶) = (𝐵 +s 𝐶) ↔ ((𝐴 +s 𝐶) ≤s (𝐵 +s 𝐶) ∧ (𝐵 +s 𝐶) ≤s (𝐴 +s 𝐶))))
12	8, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 +s 𝐶) = (𝐵 +s 𝐶) ↔ ((𝐴 +s 𝐶) ≤s (𝐵 +s 𝐶) ∧ (𝐵 +s 𝐶) ≤s (𝐴 +s 𝐶))))
13	4, 6, 12	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 +s 𝐶) = (𝐵 +s 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431   No csur 27684   ≤s csle 27789   +_s cadds 27992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-1o 8506  df-2o 8507  df-nadd 8704  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sle 27790  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-norec2 27982  df-adds 27993

This theorem is referenced by:  addscan1  28027  addscan2d  28032  n0s0suc  28345