MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addscan2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem addscan2 27476
Description: Cancellation law for surreal addition. (Contributed by Scott Fenton, 21-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
addscan2 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī +s ðķ) = (ðĩ +s ðķ) ↔ ðī = ðĩ))
Proof of Theorem addscan2
StepHypRef Expression
1 sleadd1 27472 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðī â‰Īs ðĩ ↔ (ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ)))
2 sleadd1 27472 . . . 4 ((ðĩ ∈ No ∧ ðī ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ â‰Īs ðī ↔ (ðĩ +s ðķ) â‰Īs (ðī +s ðķ)))
323com12 1124 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ â‰Īs ðī ↔ (ðĩ +s ðķ) â‰Īs (ðī +s ðķ)))
41, 3anbi12d 632 . 2 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī â‰Īs ðĩ ∧ ðĩ â‰Īs ðī) ↔ ((ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ) ∧ (ðĩ +s ðķ) â‰Īs (ðī +s ðķ))))
5 sletri3 27258 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ) → (ðī = ðĩ ↔ (ðī â‰Īs ðĩ ∧ ðĩ â‰Īs ðī)))
653adant3 1133 . 2 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðī = ðĩ ↔ (ðī â‰Īs ðĩ ∧ ðĩ â‰Īs ðī)))
7 addscl 27465 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðī +s ðķ) ∈ No )
873adant2 1132 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðī +s ðķ) ∈ No )
9 addscl 27465 . . . 4 ((ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ +s ðķ) ∈ No )
1093adant1 1131 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → (ðĩ +s ðķ) ∈ No )
11 sletri3 27258 . . 3 (((ðī +s ðķ) ∈ No ∧ (ðĩ +s ðķ) ∈ No ) → ((ðī +s ðķ) = (ðĩ +s ðķ) ↔ ((ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ) ∧ (ðĩ +s ðķ) â‰Īs (ðī +s ðķ))))
128, 10, 11syl2anc 585 . 2 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī +s ðķ) = (ðĩ +s ðķ) ↔ ((ðī +s ðķ) â‰Īs (ðĩ +s ðķ) ∧ (ðĩ +s ðķ) â‰Īs (ðī +s ðķ))))
134, 6, 123bitr4rd 312 1 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī +s ðķ) = (ðĩ +s ðķ) ↔ ðī = ðĩ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409   No csur 27143   â‰Īs csle 27247   +s cadds 27443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-1o 8466  df-2o 8467  df-nadd 8665  df-no 27146  df-slt 27147  df-bday 27148  df-sle 27248  df-sslt 27283  df-scut 27285  df-0s 27325  df-made 27342  df-old 27343  df-left 27345  df-right 27346  df-norec2 27433  df-adds 27444
This theorem is referenced by:  addscan1  27477  addscan2d  27482
  Copyright terms: Public domain W3C validator