Theorem sucdomOLD 9273

Description: Obsolete version of sucdom 9272 as of 4-Dec-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sucdomOLD	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem sucdomOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucdom2 9244	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → suc 𝐴 ≼ 𝐵)
2		php4 9251	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
3		sdomdomtr 9151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≺ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
4	3	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ suc 𝐴 → (suc 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵))
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (suc 𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵))
6	1, 5	impbid2 226	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  suc csuc 6385  ωcom 7888   ≼ cdom 8984   ≺ csdm 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990

This theorem is referenced by: (None)