Theorem sralem 20214

Description: Lemma for srabase 20215 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralem.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
sralem.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
sralem.3	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
sralem	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Proof of Theorem sralem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sralem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		sralem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16748	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		sralem.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
5	2	nnrei 11839	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6		5re 11917	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	5, 6	ltnei 10956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
8	7	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
9		5lt8 12024	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 8
10		8re 11926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
11	6, 10, 5	lttri 10958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
12	9, 11	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
13	6, 5	ltnei 10956	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
15	8, 14	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
16	4, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 5
17	1, 2	ndxarg 16747	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
18		scandx 16855	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
19	17, 18	neeq12i 3007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
20	16, 19	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
21	3, 20	setsnid 16759	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩))
22		5lt6 12011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 6
23		6re 11920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
24	5, 6, 23	lttri 10958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
25	22, 24	mpan2 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
26	5, 23	ltnei 10956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
28	27	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
29		6lt8 12023	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 < 8
30	23, 10, 5	lttri 10958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
31	29, 30	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
32	23, 5	ltnei 10956	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
34	28, 33	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
35	4, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 6
36		vscandx 16858	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
37	17, 36	neeq12i 3007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
38	35, 37	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
39	3, 38	setsnid 16759	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
40	5, 6, 10	lttri 10958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
41	9, 40	mpan2 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
42	5, 10	ltnei 10956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
44	43	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
45	10, 5	ltnei 10956	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
46	44, 45	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
47	4, 46	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 8
48		ipndx 16866	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
49	17, 48	neeq12i 3007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
50	47, 49	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
51	3, 50	setsnid 16759	. . . 4 ⊢ (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
52	21, 39, 51	3eqtri 2769	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
53		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
54	53	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
55		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
56		sraval 20213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
57	55, 56	sylan2 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
58	54, 57	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
59	58	fveq2d 6721	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
60	52, 59	eqtr4id 2797	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
61	1	str0 16742	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
62		fvprc 6709	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
63	62	adantr 484	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = ∅)
64		fv2prc 6757	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
65	53, 64	sylan9eqr 2800	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
66	65	fveq2d 6721	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘∅))
67	61, 63, 66	3eqtr4a 2804	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
68	60, 67	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  ⟨cop 4547   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   < clt 10867  ℕcn 11830  5c5 11888  6c6 11889  8c8 11891   sSet csts 16716  Slot cslot 16734  ndxcnx 16744  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784  ._rcmulr 16803  Scalarcsca 16805   ·_𝑠 cvsca 16806  ·_𝑖cip 16807  subringAlg csra 20205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-sra 20209

This theorem is referenced by:  srabase  20215  sraaddg  20216  sramulr  20217  sratset  20221  srads  20223  cchhllem  26978