Theorem sralem 19627

Description: Lemma for srabase 19628 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralem.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
sralem.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
sralem.3	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
sralem	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Proof of Theorem sralem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2	1	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
3		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sraval 19626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
5	3, 4	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
6	2, 5	eqtrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
7	6	fveq2d 6534	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
8		sralem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
9		sralem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10	8, 9	ndxid 16326	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11		sralem.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
12	9	nnrei 11484	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
13		5re 11561	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnei 10600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
15	14	necomd 3037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
16		5lt8 11668	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 8
17		8re 11570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
18	13, 17, 12	lttri 10602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
19	16, 18	mpan 686	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
20	13, 12	ltnei 10600	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
22	15, 21	jaoi 852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
23	11, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 5
24	8, 9	ndxarg 16325	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
25		scandx 16449	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
26	24, 25	neeq12i 3048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
27	23, 26	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
28	10, 27	setsnid 16356	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩))
29		5lt6 11655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 6
30		6re 11564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
31	12, 13, 30	lttri 10602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
32	29, 31	mpan2 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
33	12, 30	ltnei 10600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
35	34	necomd 3037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
36		6lt8 11667	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 < 8
37	30, 17, 12	lttri 10602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
38	36, 37	mpan 686	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
39	30, 12	ltnei 10600	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
41	35, 40	jaoi 852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
42	11, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 6
43		vscandx 16451	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
44	24, 43	neeq12i 3048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
45	42, 44	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
46	10, 45	setsnid 16356	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
47	12, 13, 17	lttri 10602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
48	16, 47	mpan2 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
49	12, 17	ltnei 10600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
51	50	necomd 3037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
52	17, 12	ltnei 10600	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
53	51, 52	jaoi 852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
54	11, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 8
55		ipndx 16458	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
56	24, 55	neeq12i 3048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
57	54, 56	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
58	10, 57	setsnid 16356	. . . 4 ⊢ (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
59	28, 46, 58	3eqtri 2821	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
60	7, 59	syl6reqr 2848	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
61	8	str0 16352	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
62		fvprc 6523	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
63	62	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = ∅)
64		fv2prc 6570	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
65	1, 64	sylan9eqr 2851	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
66	65	fveq2d 6534	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘∅))
67	61, 63, 66	3eqtr4a 2855	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
68	60, 67	pm2.61ian 808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 842   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   ≠ wne 2982  Vcvv 3432   ⊆ wss 3854  ∅c0 4206  ⟨cop 4472   class class class wbr 4956  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007   < clt 10510  ℕcn 11475  5c5 11532  6c6 11533  8c8 11535  ndxcnx 16297   sSet csts 16298  Slot cslot 16299  Basecbs 16300   ↾_s cress 16301  ._rcmulr 16383  Scalarcsca 16385   ·_𝑠 cvsca 16386  ·_𝑖cip 16387  subringAlg csra 19618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-sets 16307  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-sra 19622

This theorem is referenced by:  srabase  19628  sraaddg  19629  sramulr  19630  sratset  19634  srads  19636  cchhllem  26344