MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sralem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sralem 19627
Description: Lemma for srabase 19628 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralem.1 𝐸 = Slot 𝑁
sralem.2 𝑁 ∈ ℕ
sralem.3 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
sralem (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))

Proof of Theorem sralem
StepHypRef Expression
1 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
21adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
3 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4 sraval 19626 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
53, 4sylan2 592 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
62, 5eqtrd 2829 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
76fveq2d 6534 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
8 sralem.1 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝑁
9 sralem.2 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
108, 9ndxid 16326 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11 sralem.3 . . . . . . 7 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
129nnrei 11484 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℝ
13 5re 11561 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
1412, 13ltnei 10600 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
1514necomd 3037 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
16 5lt8 11668 . . . . . . . . . 10 5 < 8
17 8re 11570 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
1813, 17, 12lttri 10602 . . . . . . . . . 10 ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
1916, 18mpan 686 . . . . . . . . 9 (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
2013, 12ltnei 10600 . . . . . . . . 9 (5 < 𝑁𝑁 ≠ 5)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 5)
2215, 21jaoi 852 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
2311, 22ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 5
248, 9ndxarg 16325 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) = 𝑁
25 scandx 16449 . . . . . . 7 (Scalar‘ndx) = 5
2624, 25neeq12i 3048 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
2723, 26mpbir 232 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
2810, 27setsnid 16356 . . . 4 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩))
29 5lt6 11655 . . . . . . . . . . 11 5 < 6
30 6re 11564 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
3112, 13, 30lttri 10602 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
3229, 31mpan2 687 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
3312, 30ltnei 10600 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
3534necomd 3037 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
36 6lt8 11667 . . . . . . . . . 10 6 < 8
3730, 17, 12lttri 10602 . . . . . . . . . 10 ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
3836, 37mpan 686 . . . . . . . . 9 (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
3930, 12ltnei 10600 . . . . . . . . 9 (6 < 𝑁𝑁 ≠ 6)
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 6)
4135, 40jaoi 852 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
4211, 41ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 6
43 vscandx 16451 . . . . . . 7 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
4424, 43neeq12i 3048 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
4542, 44mpbir 232 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
4610, 45setsnid 16356 . . . 4 (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩))
4712, 13, 17lttri 10602 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
4816, 47mpan2 687 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
4912, 17ltnei 10600 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
5150necomd 3037 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
5217, 12ltnei 10600 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 8)
5351, 52jaoi 852 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
5411, 53ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 8
55 ipndx 16458 . . . . . . 7 (·𝑖‘ndx) = 8
5624, 55neeq12i 3048 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
5754, 56mpbir 232 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
5810, 57setsnid 16356 . . . 4 (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5928, 46, 583eqtri 2821 . . 3 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
607, 59syl6reqr 2848 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
618str0 16352 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
62 fvprc 6523 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
6362adantr 481 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = ∅)
64 fv2prc 6570 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
651, 64sylan9eqr 2851 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
6665fveq2d 6534 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝐴) = (𝐸‘∅))
6761, 63, 663eqtr4a 2855 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
6860, 67pm2.61ian 808 1 (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 842   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982  Vcvv 3432  wss 3854  c0 4206  cop 4472   class class class wbr 4956  cfv 6217  (class class class)co 7007   < clt 10510  cn 11475  5c5 11532  6c6 11533  8c8 11535  ndxcnx 16297   sSet csts 16298  Slot cslot 16299  Basecbs 16300  s cress 16301  .rcmulr 16383  Scalarcsca 16385   ·𝑠 cvsca 16386  ·𝑖cip 16387  subringAlg csra 19618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-sets 16307  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-sra 19622
This theorem is referenced by:  srabase  19628  sraaddg  19629  sramulr  19630  sratset  19634  srads  19636  cchhllem  26344
  Copyright terms: Public domain W3C validator