Theorem sralem 19943

Description: Lemma for srabase 19944 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralem.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
sralem.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
sralem.3	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
sralem	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Proof of Theorem sralem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2	1	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
3		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4		sraval 19942	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
5	3, 4	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
6	2, 5	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
7	6	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
8		sralem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
9		sralem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10	8, 9	ndxid 16503	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11		sralem.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
12	9	nnrei 11641	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
13		5re 11718	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnei 10758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
15	14	necomd 3071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
16		5lt8 11825	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 8
17		8re 11727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
18	13, 17, 12	lttri 10760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
19	16, 18	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
20	13, 12	ltnei 10758	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
22	15, 21	jaoi 853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
23	11, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 5
24	8, 9	ndxarg 16502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
25		scandx 16626	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
26	24, 25	neeq12i 3082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
27	23, 26	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
28	10, 27	setsnid 16533	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩))
29		5lt6 11812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 6
30		6re 11721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
31	12, 13, 30	lttri 10760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
32	29, 31	mpan2 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
33	12, 30	ltnei 10758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
35	34	necomd 3071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
36		6lt8 11824	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 < 8
37	30, 17, 12	lttri 10760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
38	36, 37	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
39	30, 12	ltnei 10758	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
41	35, 40	jaoi 853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
42	11, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 6
43		vscandx 16628	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
44	24, 43	neeq12i 3082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
45	42, 44	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
46	10, 45	setsnid 16533	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
47	12, 13, 17	lttri 10760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
48	16, 47	mpan2 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
49	12, 17	ltnei 10758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
51	50	necomd 3071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
52	17, 12	ltnei 10758	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
53	51, 52	jaoi 853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
54	11, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 8
55		ipndx 16635	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
56	24, 55	neeq12i 3082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
57	54, 56	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
58	10, 57	setsnid 16533	. . . 4 ⊢ (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
59	28, 46, 58	3eqtri 2848	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
60	7, 59	syl6reqr 2875	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
61	8	str0 16529	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
62		fvprc 6657	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
63	62	adantr 483	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = ∅)
64		fv2prc 6704	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
65	1, 64	sylan9eqr 2878	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
66	65	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘∅))
67	61, 63, 66	3eqtr4a 2882	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
68	60, 67	pm2.61ian 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  ⟨cop 4566   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   < clt 10669  ℕcn 11632  5c5 11689  6c6 11690  8c8 11692  ndxcnx 16474   sSet csts 16475  Slot cslot 16476  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478  ._rcmulr 16560  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563  ·_𝑖cip 16564  subringAlg csra 19934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-sets 16484  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-sra 19938

This theorem is referenced by:  srabase  19944  sraaddg  19945  sramulr  19946  sratset  19950  srads  19952  cchhllem  26667