Theorem sralemOLD 21199

Description: Obsolete version of sralem 21198 as of 29-Oct-2024. Lemma for srabase 21200 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralemOLD.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
sralemOLD.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
sralemOLD.3	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
sralemOLD	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Proof of Theorem sralemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sralemOLD.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		sralemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17244	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		sralemOLD.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
5	2	nnrei 12302	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6		5re 12380	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	5, 6	ltnei 11414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
8	7	necomd 3002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
9		5lt8 12487	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 8
10		8re 12389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
11	6, 10, 5	lttri 11416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
12	9, 11	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
13	6, 5	ltnei 11414	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
15	8, 14	jaoi 856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
16	4, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 5
17	1, 2	ndxarg 17243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
18		scandx 17373	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
19	17, 18	neeq12i 3013	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
20	16, 19	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
21	3, 20	setsnid 17256	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩))
22		5lt6 12474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 6
23		6re 12383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
24	5, 6, 23	lttri 11416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
25	22, 24	mpan2 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
26	5, 23	ltnei 11414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
28	27	necomd 3002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
29		6lt8 12486	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 < 8
30	23, 10, 5	lttri 11416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
31	29, 30	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
32	23, 5	ltnei 11414	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
34	28, 33	jaoi 856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
35	4, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 6
36		vscandx 17378	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
37	17, 36	neeq12i 3013	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
38	35, 37	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
39	3, 38	setsnid 17256	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
40	5, 6, 10	lttri 11416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
41	9, 40	mpan2 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
42	5, 10	ltnei 11414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
44	43	necomd 3002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
45	10, 5	ltnei 11414	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
46	44, 45	jaoi 856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
47	4, 46	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 8
48		ipndx 17389	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
49	17, 48	neeq12i 3013	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
50	47, 49	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
51	3, 50	setsnid 17256	. . . 4 ⊢ (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
52	21, 39, 51	3eqtri 2772	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
53		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
54	53	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
55		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
56		sraval 21197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
57	55, 56	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
58	54, 57	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
59	58	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
60	52, 59	eqtr4id 2799	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
61	1	str0 17236	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
62		fvprc 6912	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
63	62	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = ∅)
64		fv2prc 6965	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
65	53, 64	sylan9eqr 2802	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
66	65	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘∅))
67	61, 63, 66	3eqtr4a 2806	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
68	60, 67	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   < clt 11324  ℕcn 12293  5c5 12351  6c6 12352  8c8 12354   sSet csts 17210  Slot cslot 17228  ndxcnx 17240  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  ·_𝑖cip 17316  subringAlg csra 21193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-sra 21195

This theorem is referenced by:  srabaseOLD  21201  sraaddgOLD  21203  sramulrOLD  21205  sratsetOLD  21212  sradsOLD  21215  cchhllemOLD  28920