MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sralemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sralemOLD 21176
Description: Obsolete version of sralem 21175 as of 29-Oct-2024. Lemma for srabase 21177 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralemOLD.1 𝐸 = Slot 𝑁
sralemOLD.2 𝑁 ∈ ℕ
sralemOLD.3 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
sralemOLD (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))

Proof of Theorem sralemOLD
StepHypRef Expression
1 sralemOLD.1 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝑁
2 sralemOLD.2 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 17234 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4 sralemOLD.3 . . . . . . 7 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
52nnrei 12275 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℝ
6 5re 12353 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
75, 6ltnei 11385 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
87necomd 2996 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
9 5lt8 12460 . . . . . . . . . 10 5 < 8
10 8re 12362 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
116, 10, 5lttri 11387 . . . . . . . . . 10 ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
129, 11mpan 690 . . . . . . . . 9 (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
136, 5ltnei 11385 . . . . . . . . 9 (5 < 𝑁𝑁 ≠ 5)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 5)
158, 14jaoi 858 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
164, 15ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 5
171, 2ndxarg 17233 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) = 𝑁
18 scandx 17358 . . . . . . 7 (Scalar‘ndx) = 5
1917, 18neeq12i 3007 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
2016, 19mpbir 231 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
213, 20setsnid 17245 . . . 4 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩))
22 5lt6 12447 . . . . . . . . . . 11 5 < 6
23 6re 12356 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
245, 6, 23lttri 11387 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
2522, 24mpan2 691 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
265, 23ltnei 11385 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
2827necomd 2996 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
29 6lt8 12459 . . . . . . . . . 10 6 < 8
3023, 10, 5lttri 11387 . . . . . . . . . 10 ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
3129, 30mpan 690 . . . . . . . . 9 (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
3223, 5ltnei 11385 . . . . . . . . 9 (6 < 𝑁𝑁 ≠ 6)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 6)
3428, 33jaoi 858 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
354, 34ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 6
36 vscandx 17363 . . . . . . 7 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
3717, 36neeq12i 3007 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
3835, 37mpbir 231 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
393, 38setsnid 17245 . . . 4 (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩))
405, 6, 10lttri 11387 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
419, 40mpan2 691 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
425, 10ltnei 11385 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
4443necomd 2996 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
4510, 5ltnei 11385 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 8)
4644, 45jaoi 858 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
474, 46ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 8
48 ipndx 17374 . . . . . . 7 (·𝑖‘ndx) = 8
4917, 48neeq12i 3007 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
5047, 49mpbir 231 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
513, 50setsnid 17245 . . . 4 (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5221, 39, 513eqtri 2769 . . 3 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
53 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
5453adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
55 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
56 sraval 21174 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5755, 56sylan2 593 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5854, 57eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5958fveq2d 6910 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
6052, 59eqtr4id 2796 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
611str0 17226 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
62 fvprc 6898 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
6362adantr 480 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = ∅)
64 fv2prc 6951 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
6553, 64sylan9eqr 2799 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
6665fveq2d 6910 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝐴) = (𝐸‘∅))
6761, 63, 663eqtr4a 2803 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
6860, 67pm2.61ian 812 1 (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  cop 4632   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431   < clt 11295  cn 12266  5c5 12324  6c6 12325  8c8 12327   sSet csts 17200  Slot cslot 17218  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  s cress 17274  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  ·𝑖cip 17302  subringAlg csra 21170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-sra 21172
This theorem is referenced by:  srabaseOLD  21178  sraaddgOLD  21180  sramulrOLD  21182  sratsetOLD  21189  sradsOLD  21192  cchhllemOLD  28902
  Copyright terms: Public domain W3C validator