Theorem sralemOLD 20546

Description: Obsolete version of sralem 20545 as of 29-Oct-2024. Lemma for srabase 20547 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralemOLD.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
sralemOLD.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
sralemOLD.3	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
sralemOLD	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Proof of Theorem sralemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sralemOLD.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		sralemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16995	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		sralemOLD.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
5	2	nnrei 12083	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6		5re 12161	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	5, 6	ltnei 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
8	7	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
9		5lt8 12268	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 8
10		8re 12170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
11	6, 10, 5	lttri 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
12	9, 11	mpan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
13	6, 5	ltnei 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
15	8, 14	jaoi 854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
16	4, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 5
17	1, 2	ndxarg 16994	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
18		scandx 17121	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
19	17, 18	neeq12i 3007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
20	16, 19	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
21	3, 20	setsnid 17007	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩))
22		5lt6 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 6
23		6re 12164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
24	5, 6, 23	lttri 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
25	22, 24	mpan2 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
26	5, 23	ltnei 11200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
28	27	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
29		6lt8 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 < 8
30	23, 10, 5	lttri 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
31	29, 30	mpan 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
32	23, 5	ltnei 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
34	28, 33	jaoi 854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
35	4, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 6
36		vscandx 17126	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
37	17, 36	neeq12i 3007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
38	35, 37	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
39	3, 38	setsnid 17007	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
40	5, 6, 10	lttri 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
41	9, 40	mpan2 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
42	5, 10	ltnei 11200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
44	43	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
45	10, 5	ltnei 11200	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
46	44, 45	jaoi 854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
47	4, 46	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 8
48		ipndx 17137	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
49	17, 48	neeq12i 3007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
50	47, 49	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
51	3, 50	setsnid 17007	. . . 4 ⊢ (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
52	21, 39, 51	3eqtri 2768	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
53		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
54	53	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
55		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
56		sraval 20544	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
57	55, 56	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
58	54, 57	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
59	58	fveq2d 6829	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
60	52, 59	eqtr4id 2795	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
61	1	str0 16987	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
62		fvprc 6817	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
63	62	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = ∅)
64		fv2prc 6870	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
65	53, 64	sylan9eqr 2798	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
66	65	fveq2d 6829	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘∅))
67	61, 63, 66	3eqtr4a 2802	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
68	60, 67	pm2.61ian 809	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  Vcvv 3441   ⊆ wss 3898  ∅c0 4269  ⟨cop 4579   class class class wbr 5092  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337   < clt 11110  ℕcn 12074  5c5 12132  6c6 12133  8c8 12135   sSet csts 16961  Slot cslot 16979  ndxcnx 16991  Basecbs 17009   ↾_s cress 17038  ._rcmulr 17060  Scalarcsca 17062   ·_𝑠 cvsca 17063  ·_𝑖cip 17064  subringAlg csra 20536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-sra 20540

This theorem is referenced by:  srabaseOLD  20548  sraaddgOLD  20550  sramulrOLD  20552  sratsetOLD  20559  sradsOLD  20562  cchhllemOLD  27544