MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sralemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sralemOLD 20546
Description: Obsolete version of sralem 20545 as of 29-Oct-2024. Lemma for srabase 20547 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralemOLD.1 𝐸 = Slot 𝑁
sralemOLD.2 𝑁 ∈ ℕ
sralemOLD.3 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
sralemOLD (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))

Proof of Theorem sralemOLD
StepHypRef Expression
1 sralemOLD.1 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝑁
2 sralemOLD.2 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 16995 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4 sralemOLD.3 . . . . . . 7 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
52nnrei 12083 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℝ
6 5re 12161 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
75, 6ltnei 11200 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
87necomd 2996 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
9 5lt8 12268 . . . . . . . . . 10 5 < 8
10 8re 12170 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
116, 10, 5lttri 11202 . . . . . . . . . 10 ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
129, 11mpan 687 . . . . . . . . 9 (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
136, 5ltnei 11200 . . . . . . . . 9 (5 < 𝑁𝑁 ≠ 5)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 5)
158, 14jaoi 854 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
164, 15ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 5
171, 2ndxarg 16994 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) = 𝑁
18 scandx 17121 . . . . . . 7 (Scalar‘ndx) = 5
1917, 18neeq12i 3007 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
2016, 19mpbir 230 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
213, 20setsnid 17007 . . . 4 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩))
22 5lt6 12255 . . . . . . . . . . 11 5 < 6
23 6re 12164 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
245, 6, 23lttri 11202 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
2522, 24mpan2 688 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
265, 23ltnei 11200 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
2827necomd 2996 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
29 6lt8 12267 . . . . . . . . . 10 6 < 8
3023, 10, 5lttri 11202 . . . . . . . . . 10 ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
3129, 30mpan 687 . . . . . . . . 9 (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
3223, 5ltnei 11200 . . . . . . . . 9 (6 < 𝑁𝑁 ≠ 6)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 6)
3428, 33jaoi 854 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
354, 34ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 6
36 vscandx 17126 . . . . . . 7 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
3717, 36neeq12i 3007 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
3835, 37mpbir 230 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
393, 38setsnid 17007 . . . 4 (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩))
405, 6, 10lttri 11202 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
419, 40mpan2 688 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
425, 10ltnei 11200 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
4443necomd 2996 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
4510, 5ltnei 11200 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 8)
4644, 45jaoi 854 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
474, 46ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 8
48 ipndx 17137 . . . . . . 7 (·𝑖‘ndx) = 8
4917, 48neeq12i 3007 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
5047, 49mpbir 230 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
513, 50setsnid 17007 . . . 4 (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5221, 39, 513eqtri 2768 . . 3 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
53 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
5453adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
55 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
56 sraval 20544 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5755, 56sylan2 593 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5854, 57eqtrd 2776 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5958fveq2d 6829 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
6052, 59eqtr4id 2795 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
611str0 16987 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
62 fvprc 6817 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
6362adantr 481 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = ∅)
64 fv2prc 6870 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
6553, 64sylan9eqr 2798 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
6665fveq2d 6829 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝐴) = (𝐸‘∅))
6761, 63, 663eqtr4a 2802 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
6860, 67pm2.61ian 809 1 (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  Vcvv 3441  wss 3898  c0 4269  cop 4579   class class class wbr 5092  cfv 6479  (class class class)co 7337   < clt 11110  cn 12074  5c5 12132  6c6 12133  8c8 12135   sSet csts 16961  Slot cslot 16979  ndxcnx 16991  Basecbs 17009  s cress 17038  .rcmulr 17060  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  ·𝑖cip 17064  subringAlg csra 20536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-sra 20540
This theorem is referenced by:  srabaseOLD  20548  sraaddgOLD  20550  sramulrOLD  20552  sratsetOLD  20559  sradsOLD  20562  cchhllemOLD  27544
  Copyright terms: Public domain W3C validator