MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sralemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sralemOLD 20639
Description: Obsolete version of sralem 20638 as of 29-Oct-2024. Lemma for srabase 20640 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralemOLD.1 𝐸 = Slot 𝑁
sralemOLD.2 𝑁 ∈ ℕ
sralemOLD.3 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
sralemOLD (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))

Proof of Theorem sralemOLD
StepHypRef Expression
1 sralemOLD.1 . . . . . 6 𝐸 = Slot 𝑁
2 sralemOLD.2 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 17069 . . . . 5 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4 sralemOLD.3 . . . . . . 7 (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
52nnrei 12162 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℝ
6 5re 12240 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
75, 6ltnei 11279 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
87necomd 2999 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
9 5lt8 12347 . . . . . . . . . 10 5 < 8
10 8re 12249 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
116, 10, 5lttri 11281 . . . . . . . . . 10 ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
129, 11mpan 688 . . . . . . . . 9 (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
136, 5ltnei 11279 . . . . . . . . 9 (5 < 𝑁𝑁 ≠ 5)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 5)
158, 14jaoi 855 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
164, 15ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 5
171, 2ndxarg 17068 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) = 𝑁
18 scandx 17195 . . . . . . 7 (Scalar‘ndx) = 5
1917, 18neeq12i 3010 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
2016, 19mpbir 230 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
213, 20setsnid 17081 . . . 4 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩))
22 5lt6 12334 . . . . . . . . . . 11 5 < 6
23 6re 12243 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
245, 6, 23lttri 11281 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
2522, 24mpan2 689 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
265, 23ltnei 11279 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
2827necomd 2999 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
29 6lt8 12346 . . . . . . . . . 10 6 < 8
3023, 10, 5lttri 11281 . . . . . . . . . 10 ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
3129, 30mpan 688 . . . . . . . . 9 (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
3223, 5ltnei 11279 . . . . . . . . 9 (6 < 𝑁𝑁 ≠ 6)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 6)
3428, 33jaoi 855 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
354, 34ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 6
36 vscandx 17200 . . . . . . 7 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
3717, 36neeq12i 3010 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
3835, 37mpbir 230 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
393, 38setsnid 17081 . . . 4 (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩))
405, 6, 10lttri 11281 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
419, 40mpan2 689 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
425, 10ltnei 11279 . . . . . . . . . 10 (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
4443necomd 2999 . . . . . . . 8 (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
4510, 5ltnei 11279 . . . . . . . 8 (8 < 𝑁𝑁 ≠ 8)
4644, 45jaoi 855 . . . . . . 7 ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
474, 46ax-mp 5 . . . . . 6 𝑁 ≠ 8
48 ipndx 17211 . . . . . . 7 (·𝑖‘ndx) = 8
4917, 48neeq12i 3010 . . . . . 6 ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
5047, 49mpbir 230 . . . . 5 (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
513, 50setsnid 17081 . . . 4 (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5221, 39, 513eqtri 2768 . . 3 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
53 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
5453adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
55 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
56 sraval 20637 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5755, 56sylan2 593 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5854, 57eqtrd 2776 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
5958fveq2d 6846 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
6052, 59eqtr4id 2795 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
611str0 17061 . . 3 ∅ = (𝐸‘∅)
62 fvprc 6834 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
6362adantr 481 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = ∅)
64 fv2prc 6887 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
6553, 64sylan9eqr 2798 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
6665fveq2d 6846 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝐴) = (𝐸‘∅))
6761, 63, 663eqtr4a 2802 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
6860, 67pm2.61ian 810 1 (𝜑 → (𝐸𝑊) = (𝐸𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  cop 4592   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357   < clt 11189  cn 12153  5c5 12211  6c6 12212  8c8 12214   sSet csts 17035  Slot cslot 17053  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  s cress 17112  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  ·𝑖cip 17138  subringAlg csra 20629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-sra 20633
This theorem is referenced by:  srabaseOLD  20641  sraaddgOLD  20643  sramulrOLD  20645  sratsetOLD  20652  sradsOLD  20655  cchhllemOLD  27836
  Copyright terms: Public domain W3C validator