Theorem sralemOLD 21193

Description: Obsolete version of sralem 21192 as of 29-Oct-2024. Lemma for srabase 21194 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
sralemOLD.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
sralemOLD.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
sralemOLD.3	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
sralemOLD	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Proof of Theorem sralemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sralemOLD.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		sralemOLD.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 17230	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		sralemOLD.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
5	2	nnrei 12272	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
6		5re 12350	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	5, 6	ltnei 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 5 ≠ 𝑁)
8	7	necomd 2993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 5)
9		5lt8 12457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 8
10		8re 12359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
11	6, 10, 5	lttri 11384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 5 < 𝑁)
12	9, 11	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 5 < 𝑁)
13	6, 5	ltnei 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 5)
15	8, 14	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 5)
16	4, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 5
17	1, 2	ndxarg 17229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
18		scandx 17359	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
19	17, 18	neeq12i 3004	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 5)
20	16, 19	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
21	3, 20	setsnid 17242	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩))
22		5lt6 12444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 < 6
23		6re 12353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℝ
24	5, 6, 23	lttri 11384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 6) → 𝑁 < 6)
25	22, 24	mpan2 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 6)
26	5, 23	ltnei 11382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 6 → 6 ≠ 𝑁)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 6 ≠ 𝑁)
28	27	necomd 2993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 6)
29		6lt8 12456	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 < 8
30	23, 10, 5	lttri 11384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 < 8 ∧ 8 < 𝑁) → 6 < 𝑁)
31	29, 30	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 < 𝑁 → 6 < 𝑁)
32	23, 5	ltnei 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 6)
34	28, 33	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 6)
35	4, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 6
36		vscandx 17364	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
37	17, 36	neeq12i 3004	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 6)
38	35, 37	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
39	3, 38	setsnid 17242	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
40	5, 6, 10	lttri 11384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
41	9, 40	mpan2 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
42	5, 10	ltnei 11382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
44	43	necomd 2993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
45	10, 5	ltnei 11382	. . . . . . . 8 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
46	44, 45	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
47	4, 46	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ 8
48		ipndx 17375	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
49	17, 48	neeq12i 3004	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
50	47, 49	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
51	3, 50	setsnid 17242	. . . 4 ⊢ (𝐸‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
52	21, 39, 51	3eqtri 2766	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
53		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
54	53	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
55		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
56		sraval 21191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
57	55, 56	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
58	54, 57	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
59	58	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
60	52, 59	eqtr4id 2793	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
61	1	str0 17222	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
62		fvprc 6898	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
63	62	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = ∅)
64		fv2prc 6951	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
65	53, 64	sylan9eqr 2796	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
66	65	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝐴) = (𝐸‘∅))
67	61, 63, 66	3eqtr4a 2800	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))
68	60, 67	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  ⟨cop 4636   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   < clt 11292  ℕcn 12263  5c5 12321  6c6 12322  8c8 12324   sSet csts 17196  Slot cslot 17214  ndxcnx 17226  Basecbs 17244   ↾_s cress 17273  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  ·_𝑖cip 17302  subringAlg csra 21187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-sra 21189

This theorem is referenced by:  srabaseOLD  21195  sraaddgOLD  21197  sramulrOLD  21199  sratsetOLD  21206  sradsOLD  21209  cchhllemOLD  28916