Theorem srads 19680

Description: Distance function of a subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srads	⊢ (𝜑 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))

Proof of Theorem srads

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2		srapart.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
3		df-ds 16443	. 2 ⊢ dist = Slot ;12
4		1nn0 11725	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		2nn 11513	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 11932	. 2 ⊢ ;12 ∈ ℕ
7		1nn 11452	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
8		2nn0 11726	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9		8nn0 11732	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8lt10 12045	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	7, 8, 9, 10	declti 11950	. . 3 ⊢ 8 < ;12
12	11	olci 852	. 2 ⊢ (;12 < 5 ∨ 8 < ;12)
13	1, 2, 3, 6, 12	sralem 19671	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ⊆ wss 3830   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  1c1 10336   < clt 10474  2c2 11495  5c5 11498  8c8 11501  ;cdc 11911  Basecbs 16339  distcds 16430  subringAlg csra 19662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-sets 16346  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-ds 16443  df-sra 19666

This theorem is referenced by:  rlmds  19698  sranlm  22996  srabn  23666