MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srads Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srads 20670
Description: Distance function of a subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
srads (𝜑 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))

Proof of Theorem srads
StepHypRef Expression
1 srapart.a . 2 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2 srapart.s . 2 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
3 dsid 17274 . 2 dist = Slot (dist‘ndx)
4 slotsdnscsi 17280 . . . 4 ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
54simp1i 1140 . . 3 (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
65necomi 2999 . 2 (Scalar‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
74simp2i 1141 . . 3 (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
87necomi 2999 . 2 ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
94simp3i 1142 . . 3 (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
109necomi 2999 . 2 (·𝑖‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
111, 2, 3, 6, 8, 10sralem 20654 1 (𝜑 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wne 2944  wss 3915  cfv 6501  ndxcnx 17072  Basecbs 17090  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  ·𝑖cip 17145  distcds 17149  subringAlg csra 20645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-ds 17162  df-sra 20649
This theorem is referenced by:  rlmds  20689  sranlm  24064  srabn  24740
  Copyright terms: Public domain W3C validator