Theorem cchhllem 29464

Description: Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cchhl.c	⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
cchhllem.1	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
cchhllem.2	⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
cchhllem.3	⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
cchhllem.4	⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
cchhllem	⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cchhllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cchhllem.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		cchhllem.4	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
3	2	necomi 3010	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17386	. 2 ⊢ (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
5		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
6		ax-resscn 11257	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7		cnfldbas 21682	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8	6, 7	sseqtri 3979	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
10		cchhllem.2	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
11		cchhllem.3	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
12	5, 9, 1, 10, 11, 2	sralem 21451	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
13	12	mptru 1577	. 2 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
14		cchhl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
15	14	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
16	4, 13, 15	3eqtr4i 2794	1 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℂcc 11198  ℝcr 11199   · cmul 11205  ∗ccj 15263   sSet csts 17341  Slot cslot 17359  ndxcnx 17371  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  ·_𝑖cip 17433  subringAlg csra 21446  ℂ_fldccnfld 21678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-sra 21448  df-cnfld 21679

This theorem is used by: (None)