Theorem cchhllem 28717

Description: Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cchhl.c	⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
cchhllem.1	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
cchhllem.2	⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
cchhllem.3	⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
cchhllem.4	⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
cchhllem	⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cchhllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cchhllem.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		cchhllem.4	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
3	2	necomi 2992	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17185	. 2 ⊢ (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
5		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
6		ax-resscn 11203	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7		cnfldbas 21290	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8	6, 7	sseqtri 4018	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
10		cchhllem.2	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
11		cchhllem.3	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
12	5, 9, 1, 10, 11, 2	sralem 21068	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
13	12	mptru 1540	. 2 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
14		cchhl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
15	14	fveq2i 6905	. 2 ⊢ (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
16	4, 13, 15	3eqtr4i 2766	1 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ≠ wne 2937   ⊆ wss 3949  ⟨cop 4638  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  ℂcc 11144  ℝcr 11145   · cmul 11151  ∗ccj 15083   sSet csts 17139  Slot cslot 17157  ndxcnx 17169  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·_𝑠 cvsca 17244  ·_𝑖cip 17245  subringAlg csra 21063  ℂ_fldccnfld 21286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-sra 21065  df-cnfld 21287

This theorem is referenced by: (None)