Theorem cchhllem 28871

Description: Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cchhl.c	⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
cchhllem.1	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
cchhllem.2	⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
cchhllem.3	⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
cchhllem.4	⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
cchhllem	⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cchhllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cchhllem.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		cchhllem.4	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
3	2	necomi 2987	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17232	. 2 ⊢ (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
5		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
6		ax-resscn 11191	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7		cnfldbas 21324	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8	6, 7	sseqtri 4012	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
10		cchhllem.2	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
11		cchhllem.3	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
12	5, 9, 1, 10, 11, 2	sralem 21139	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
13	12	mptru 1547	. 2 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
14		cchhl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
15	14	fveq2i 6884	. 2 ⊢ (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
16	4, 13, 15	3eqtr4i 2769	1 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3931  ⟨cop 4612  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  ℂcc 11132  ℝcr 11133   · cmul 11139  ∗ccj 15120   sSet csts 17187  Slot cslot 17205  ndxcnx 17217  Basecbs 17233  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  ·_𝑖cip 17281  subringAlg csra 21134  ℂ_fldccnfld 21320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-sra 21136  df-cnfld 21321

This theorem is referenced by: (None)