Theorem cchhllem 27542

Description: Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cchhl.c	⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
cchhllem.1	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
cchhllem.2	⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
cchhllem.3	⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
cchhllem.4	⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
cchhllem	⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cchhllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cchhllem.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2		cchhllem.4	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
3	2	necomi 2996	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17007	. 2 ⊢ (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
5		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
6		ax-resscn 11033	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7		cnfldbas 20706	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8	6, 7	sseqtri 3971	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
10		cchhllem.2	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
11		cchhllem.3	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
12	5, 9, 1, 10, 11, 2	sralem 20544	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
13	12	mptru 1548	. 2 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
14		cchhl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
15	14	fveq2i 6832	. 2 ⊢ (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
16	4, 13, 15	3eqtr4i 2775	1 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ≠ wne 2941   ⊆ wss 3901  ⟨cop 4583  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  ℂcc 10974  ℝcr 10975   · cmul 10981  ∗ccj 14906   sSet csts 16961  Slot cslot 16979  ndxcnx 16991  Basecbs 17009  Scalarcsca 17062   ·_𝑠 cvsca 17063  ·_𝑖cip 17064  subringAlg csra 20535  ℂ_fldccnfld 20702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-dec 12543  df-uz 12688  df-fz 13345  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-sra 20539  df-cnfld 20703

This theorem is referenced by: (None)