MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cchhllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cchhllem 29293
Description: Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cchhl.c 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
cchhllem.1 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
cchhllem.2 (Scalar‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
cchhllem.3 ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
cchhllem.4 (·𝑖‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
Assertion
Ref Expression
cchhllem (𝐸‘ℂfld) = (𝐸𝐶)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cchhllem
StepHypRef Expression
1 cchhllem.1 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
2 cchhllem.4 . . . 4 (·𝑖‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
32necomi 3014 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
41, 3setsnid 17292 . 2 (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
5 eqidd 2766 . . . 4 (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
6 ax-resscn 11174 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
7 cnfldbas 21578 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
86, 7sseqtri 3986 . . . . 5 ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
98a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
10 cchhllem.2 . . . 4 (Scalar‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
11 cchhllem.3 . . . 4 ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (𝐸‘ndx)
125, 9, 1, 10, 11, 2sralem 21349 . . 3 (⊤ → (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
1312mptru 1577 . 2 (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
14 cchhl.c . . 3 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
1514fveq2i 6888 . 2 (𝐸𝐶) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
164, 13, 153eqtr4i 2798 1 (𝐸‘ℂfld) = (𝐸𝐶)
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  wtru 1571  wne 2960  wss 3906  cop 4597  cfv 6540  (class class class)co 7419  cmpo 7421  cc 11115  cr 11116   · cmul 11122  ccj 15173   sSet csts 17247  Slot cslot 17265  ndxcnx 17277  Basecbs 17293  Scalarcsca 17337   ·𝑠 cvsca 17338  ·𝑖cip 17339  subringAlg csra 21344  fldccnfld 21574
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-sra 21346  df-cnfld 21575
This theorem is used by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator