MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cchhllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cchhllem 27877
Description: Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cchhl.c 𝐢 = (((subringAlg β€˜β„‚fld)β€˜β„) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦)))⟩)
cchhllem.1 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
cchhllem.2 (Scalarβ€˜ndx) β‰  (πΈβ€˜ndx)
cchhllem.3 ( ·𝑠 β€˜ndx) β‰  (πΈβ€˜ndx)
cchhllem.4 (Β·π‘–β€˜ndx) β‰  (πΈβ€˜ndx)
Assertion
Ref Expression
cchhllem (πΈβ€˜β„‚fld) = (πΈβ€˜πΆ)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cchhllem
StepHypRef Expression
1 cchhllem.1 . . 3 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
2 cchhllem.4 . . . 4 (Β·π‘–β€˜ndx) β‰  (πΈβ€˜ndx)
32necomi 2999 . . 3 (πΈβ€˜ndx) β‰  (Β·π‘–β€˜ndx)
41, 3setsnid 17088 . 2 (πΈβ€˜((subringAlg β€˜β„‚fld)β€˜β„)) = (πΈβ€˜(((subringAlg β€˜β„‚fld)β€˜β„) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦)))⟩))
5 eqidd 2738 . . . 4 (⊀ β†’ ((subringAlg β€˜β„‚fld)β€˜β„) = ((subringAlg β€˜β„‚fld)β€˜β„))
6 ax-resscn 11115 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
7 cnfldbas 20816 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
86, 7sseqtri 3985 . . . . 5 ℝ βŠ† (Baseβ€˜β„‚fld)
98a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ ℝ βŠ† (Baseβ€˜β„‚fld))
10 cchhllem.2 . . . 4 (Scalarβ€˜ndx) β‰  (πΈβ€˜ndx)
11 cchhllem.3 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜ndx) β‰  (πΈβ€˜ndx)
125, 9, 1, 10, 11, 2sralem 20654 . . 3 (⊀ β†’ (πΈβ€˜β„‚fld) = (πΈβ€˜((subringAlg β€˜β„‚fld)β€˜β„)))
1312mptru 1549 . 2 (πΈβ€˜β„‚fld) = (πΈβ€˜((subringAlg β€˜β„‚fld)β€˜β„))
14 cchhl.c . . 3 𝐢 = (((subringAlg β€˜β„‚fld)β€˜β„) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦)))⟩)
1514fveq2i 6850 . 2 (πΈβ€˜πΆ) = (πΈβ€˜(((subringAlg β€˜β„‚fld)β€˜β„) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· (βˆ—β€˜π‘¦)))⟩))
164, 13, 153eqtr4i 2775 1 (πΈβ€˜β„‚fld) = (πΈβ€˜πΆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   β‰  wne 2944   βŠ† wss 3915  βŸ¨cop 4597  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  β„‚cc 11056  β„cr 11057   Β· cmul 11063  βˆ—ccj 14988   sSet csts 17042  Slot cslot 17060  ndxcnx 17072  Basecbs 17090  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  Β·π‘–cip 17145  subringAlg csra 20645  β„‚fldccnfld 20812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-sra 20649  df-cnfld 20813
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator