Theorem cchhllem 26376

Description: Lemma for chlbas and chlvsca . (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cchhl.c	⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
cchhllem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
cchhllem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
cchhllem.4	⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
cchhllem	⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cchhllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cchhllem.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		cchhllem.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16365	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		cchhllem.4	. . . . 5 ⊢ (𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁)
5		5lt8 11641	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 < 8
6	2	nnrei 11449	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
7		5re 11529	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		8re 11541	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℝ
9	6, 7, 8	lttri 10566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 5 ∧ 5 < 8) → 𝑁 < 8)
10	5, 9	mpan2 678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 < 8)
11	6, 8	ltnei 10564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 8 → 8 ≠ 𝑁)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 5 → 8 ≠ 𝑁)
13	12	necomd 3023	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 < 5 → 𝑁 ≠ 8)
14	8, 6	ltnei 10564	. . . . . 6 ⊢ (8 < 𝑁 → 𝑁 ≠ 8)
15	13, 14	jaoi 843	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 5 ∨ 8 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 8)
16	4, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 8
17	1, 2	ndxarg 16364	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
18		ipndx 16497	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
19	17, 18	neeq12i 3034	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 8)
20	16, 19	mpbir 223	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
21	3, 20	setsnid 16395	. 2 ⊢ (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
22		eqidd 2780	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
23		ax-resscn 10392	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
24		cnfldbas 20251	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
25	23, 24	sseqtri 3894	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
27	22, 26, 1, 2, 4	sralem 19671	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
28	27	mptru 1514	. 2 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
29		cchhl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩)
30	29	fveq2i 6502	. 2 ⊢ (𝐸‘𝐶) = (𝐸‘(((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (∗‘𝑦)))⟩))
31	21, 28, 30	3eqtr4i 2813	1 ⊢ (𝐸‘ℂfld) = (𝐸‘𝐶)

Syntax hints:   ∨ wo 833   = wceq 1507  ⊤wtru 1508   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2968   ⊆ wss 3830  ⟨cop 4447   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ∈ cmpo 6978  ℂcc 10333  ℝcr 10334   · cmul 10340   < clt 10474  ℕcn 11439  5c5 11498  8c8 11501  ∗ccj 14316  ndxcnx 16336   sSet csts 16337  Slot cslot 16338  Basecbs 16339  ·_𝑖cip 16426  subringAlg csra 19662  ℂ_fldccnfld 20247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-sra 19666  df-cnfld 20248

This theorem is referenced by: (None)