Theorem srabase 21279

Description: Base set of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srabase	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))

Proof of Theorem srabase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2		srapart.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
3		baseid 17273	. 2 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		scandxnbasendx 17370	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
5		vscandxnbasendx 17375	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
6		ipndxnbasendx 17386	. 2 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	sralem 21278	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  subringAlg csra 21273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-sra 21275

This theorem is referenced by:  sratopn  21286  sraring  21288  sralmod  21289  sralmod0  21290  rlmbas  21295  frlmip  21909  sraassab  21999  evls1maplmhm  22518  sranlm  24822  srabn  25500  rrxip  25530  gsumsra  33345  sra1r  33949  sradrng  33950  sraidom  33951  srasubrg  33952  resssra  33955  lsssra  33956  srapwov  33957  drgextlsp  33962  rlmdim  33978  fedgmullem1  33997  fedgmullem2  33998  fedgmul  33999  extdg1id  34034  ccfldsrarelvec  34039  ccfldextdgrr  34040  fldextrspunlsplem  34041  fldextrspunlsp  34042  fldextrspunlem1  34043  fldextrspunfld  34044  extdgfialglem1  34060  algextdeglem4  34088