Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem7N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem7N 39579
Description: Lemma for pexmidN 39572. Contradict pexmidlem6N 39578. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l = (le‘𝐾)
pexmidlem.j = (join‘𝐾)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidlem.o = (⊥𝑃𝐾)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem7N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑀𝑋)

Proof of Theorem pexmidlem7N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑝𝐴)
32snssd 4814 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
4 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋𝐴)
5 pexmidlem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 pexmidlem.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
75, 6sspadd2 39419 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴𝑋𝐴) → {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
81, 3, 4, 7syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
9 vex 3465 . . . . 5 𝑝 ∈ V
109snss 4791 . . . 4 (𝑝 ∈ (𝑋 + {𝑝}) ↔ {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
118, 10sylibr 233 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
12 pexmidlem.m . . 3 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
1311, 12eleqtrrdi 2836 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑝𝑀)
14 pexmidlem.o . . . . . 6 = (⊥𝑃𝐾)
155, 14polssatN 39511 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
161, 4, 15syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
175, 6sspadd1 39418 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + ( 𝑋)))
181, 4, 16, 17syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + ( 𝑋)))
19 simpr3 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
2018, 19ssneldd 3979 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ¬ 𝑝𝑋)
21 nelne1 3028 . 2 ((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑋) → 𝑀𝑋)
2213, 20, 21syl2anc 582 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑀𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wss 3944  c0 4322  {csn 4630  cfv 6549  (class class class)co 7419  lecple 17243  joincjn 18306  Atomscatm 38865  HLchlt 38952  +𝑃cpadd 39398  𝑃cpolN 39505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-proset 18290  df-poset 18308  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-psubsp 39106  df-pmap 39107  df-padd 39399  df-polarityN 39506
This theorem is referenced by:  pexmidlem8N  39580
  Copyright terms: Public domain W3C validator