Theorem pexmidlem7N 40439

Description: Lemma for pexmidN 40432. Contradict pexmidlem6N 40438. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem7N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑀 ≠ 𝑋)

Proof of Theorem pexmidlem7N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl3 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
3	2	snssd 4753	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → {𝑝} ⊆ 𝐴)
4		simpl2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
5		pexmidlem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		pexmidlem.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
7	5, 6	sspadd2 40279	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑝} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
9		vex 3434	. . . . 5 ⊢ 𝑝 ∈ V
10	9	snss 4729	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋 + {𝑝}) ↔ {𝑝} ⊆ (𝑋 + {𝑝}))
11	8, 10	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
12		pexmidlem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
13	11, 12	eleqtrrdi 2848	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑝 ∈ 𝑀)
14		pexmidlem.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
15	5, 14	polssatN 40371	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
16	1, 4, 15	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
17	5, 6	sspadd1 40278	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
18	1, 4, 16, 17	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
19		simpr3 1198	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
20	18, 19	ssneldd 3925	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → ¬ 𝑝 ∈ 𝑋)
21		nelne1 3030	. 2 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ∈ 𝑋) → 𝑀 ≠ 𝑋)
22	13, 20, 21	syl2anc 585	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))) → 𝑀 ≠ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  lecple 17221  joincjn 18271  Atomscatm 39726  HLchlt 39813  +_𝑃cpadd 40258  ⊥_𝑃cpolN 40365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-proset 18254  df-poset 18273  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p1 18384  df-lat 18392  df-clat 18459  df-oposet 39639  df-ol 39641  df-oml 39642  df-ats 39730  df-atl 39761  df-cvlat 39785  df-hlat 39814  df-psubsp 39966  df-pmap 39967  df-padd 40259  df-polarityN 40366

This theorem is referenced by:  pexmidlem8N  40440