Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml3N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleml3N 40305
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleml1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml3.o 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
cdleml3N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   π‘ˆ,𝑠   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠,𝑓,𝑔   𝐡,𝑔,𝑠   𝑓,𝐸   𝑓,𝑔,𝐻,𝑠   𝑓,𝐾,𝑔   0 ,𝑓,𝑠   𝑇,𝑓,𝑔   π‘ˆ,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,π‘Š,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓)   𝑅(𝑓,𝑔)   π‘ˆ(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)
Proof of Theorem cdleml3N
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp2 1134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
3 simp31 1206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
4 simp32 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ π‘ˆ β‰  0 )
5 simp21 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
6 simp23 1205 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
7 cdleml1.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdleml1.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 cdleml1.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 cdleml1.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 cdleml3.o . . . . . . 7 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
127, 8, 9, 10, 11tendoid0 40152 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘“) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 0 ))
131, 5, 6, 3, 12syl112anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘“) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 0 ))
1413necon3bid 2977 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ β‰  0 ))
154, 14mpbird 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
16 simp33 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ 𝑉 β‰  0 )
17 simp22 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
187, 8, 9, 10, 11tendoid0 40152 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘‰β€˜π‘“) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝑉 = 0 ))
191, 17, 6, 3, 18syl112anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ ((π‘‰β€˜π‘“) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝑉 = 0 ))
2019necon3bid 2977 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ ((π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝑉 β‰  0 ))
2116, 20mpbird 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
22 cdleml1.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
237, 8, 9, 22, 10cdleml2N 40304 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“))
241, 2, 3, 15, 21, 23syl113anc 1379 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“))
25 simpl1 1188 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
26 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
27 simpl21 1248 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
28 simpl23 1250 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
298, 9, 10tendocoval 40093 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)))
3025, 26, 27, 28, 29syl121anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)))
3130eqeq1d 2726 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“) ↔ (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“)))
32 simp11 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
33 simp2 1134 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
34 simp121 1302 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
358, 10tendococl 40099 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
37 simp122 1303 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
38 simp3 1135 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))
39 simp123 1304 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
40 simp131 1305 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
417, 8, 9, 10tendocan 40151 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
4232, 36, 37, 38, 39, 40, 41syl132anc 1385 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
43423expia 1118 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“) β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉))
4431, 43sylbird 260 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ ((π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“) β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉))
4544reximdva 3160 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉))
4624, 45mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   ↦ cmpt 5221   I cid 5563   β†Ύ cres 5668   ∘ ccom 5670  β€˜cfv 6533  Basecbs 17142  HLchlt 38676  LHypclh 39311  LTrncltrn 39428  trLctrl 39485  TEndoctendo 40079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-riotaBAD 38279
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-undef 8253  df-map 8817  df-proset 18249  df-poset 18267  df-plt 18284  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-p0 18379  df-p1 18380  df-lat 18386  df-clat 18453  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486  df-tendo 40082
This theorem is referenced by:  cdleml4N  40306
  Copyright terms: Public domain W3C validator