Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleml3N 38648
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml3.o 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
cdleml3N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑓,𝑔   𝐵,𝑔,𝑠   𝑓,𝐸   𝑓,𝑔,𝐻,𝑠   𝑓,𝐾,𝑔   0 ,𝑓,𝑠   𝑇,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cdleml3N
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2 1138 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇))
3 simp31 1210 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4 simp32 1211 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑈0 )
5 simp21 1207 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑈𝐸)
6 simp23 1209 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑓𝑇)
7 cdleml1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdleml1.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 cdleml1.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 cdleml1.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11 cdleml3.o . . . . . . 7 0 = (𝑔𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
127, 8, 9, 10, 11tendoid0 38495 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 0 ))
131, 5, 6, 3, 12syl112anc 1375 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ((𝑈𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈 = 0 ))
1413necon3bid 2979 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ((𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑈0 ))
154, 14mpbird 260 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
16 simp33 1212 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑉0 )
17 simp22 1208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → 𝑉𝐸)
187, 8, 9, 10, 11tendoid0 38495 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸 ∧ (𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑉𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 0 ))
191, 17, 6, 3, 18syl112anc 1375 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ((𝑉𝑓) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉 = 0 ))
2019necon3bid 2979 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ((𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝑉0 ))
2116, 20mpbird 260 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))
22 cdleml1.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
237, 8, 9, 22, 10cdleml2N 38647 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑈𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑉𝑓) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ∃𝑠𝐸 (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓))
241, 2, 3, 15, 21, 23syl113anc 1383 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓))
25 simpl1 1192 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
26 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑠𝐸)
27 simpl21 1252 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑈𝐸)
28 simpl23 1254 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑓𝑇)
298, 9, 10tendocoval 38436 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑈𝐸) ∧ 𝑓𝑇) → ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑈𝑓)))
3025, 26, 27, 28, 29syl121anc 1376 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑈𝑓)))
3130eqeq1d 2741 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → (((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓) ↔ (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓)))
32 simp11 1204 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
33 simp2 1138 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑠𝐸)
34 simp121 1306 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑈𝐸)
358, 10tendococl 38442 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑈𝐸) → (𝑠𝑈) ∈ 𝐸)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → (𝑠𝑈) ∈ 𝐸)
37 simp122 1307 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑉𝐸)
38 simp3 1139 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓))
39 simp123 1308 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑓𝑇)
40 simp131 1309 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))
417, 8, 9, 10tendocan 38494 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑈) ∈ 𝐸𝑉𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) ∧ (𝑓𝑇𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑠𝑈) = 𝑉)
4232, 36, 37, 38, 39, 40, 41syl132anc 1389 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸 ∧ ((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓)) → (𝑠𝑈) = 𝑉)
43423expia 1122 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → (((𝑠𝑈)‘𝑓) = (𝑉𝑓) → (𝑠𝑈) = 𝑉))
4431, 43sylbird 263 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) ∧ 𝑠𝐸) → ((𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓) → (𝑠𝑈) = 𝑉))
4544reximdva 3185 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → (∃𝑠𝐸 (𝑠‘(𝑈𝑓)) = (𝑉𝑓) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉))
4624, 45mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝑓𝑇) ∧ (𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑈0𝑉0 )) → ∃𝑠𝐸 (𝑠𝑈) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wrex 3055  cmpt 5120   I cid 5438  cres 5537  ccom 5539  cfv 6350  Basecbs 16599  HLchlt 37020  LHypclh 37654  LTrncltrn 37771  trLctrl 37828  TEndoctendo 38422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-riotaBAD 36623
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-undef 7981  df-map 8452  df-proset 17667  df-poset 17685  df-plt 17697  df-lub 17713  df-glb 17714  df-join 17715  df-meet 17716  df-p0 17778  df-p1 17779  df-lat 17785  df-clat 17847  df-oposet 36846  df-ol 36848  df-oml 36849  df-covers 36936  df-ats 36937  df-atl 36968  df-cvlat 36992  df-hlat 37021  df-llines 37168  df-lplanes 37169  df-lvols 37170  df-lines 37171  df-psubsp 37173  df-pmap 37174  df-padd 37466  df-lhyp 37658  df-laut 37659  df-ldil 37774  df-ltrn 37775  df-trl 37829  df-tendo 38425
This theorem is referenced by:  cdleml4N  38649
  Copyright terms: Public domain W3C validator