Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleml3N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleml3N 39787
Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleml1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleml1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleml1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml1.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdleml3.o 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
cdleml3N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐾,𝑠   𝑅,𝑠   𝑇,𝑠   π‘ˆ,𝑠   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠,𝑓,𝑔   𝐡,𝑔,𝑠   𝑓,𝐸   𝑓,𝑔,𝐻,𝑠   𝑓,𝐾,𝑔   0 ,𝑓,𝑠   𝑇,𝑓,𝑔   π‘ˆ,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,π‘Š,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓)   𝑅(𝑓,𝑔)   π‘ˆ(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝑉(𝑔)   0 (𝑔)
Proof of Theorem cdleml3N
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp2 1138 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
3 simp31 1210 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
4 simp32 1211 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ π‘ˆ β‰  0 )
5 simp21 1207 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
6 simp23 1209 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
7 cdleml1.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdleml1.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 cdleml1.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 cdleml1.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 cdleml3.o . . . . . . 7 0 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
127, 8, 9, 10, 11tendoid0 39634 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘“) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 0 ))
131, 5, 6, 3, 12syl112anc 1375 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘“) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ = 0 ))
1413necon3bid 2986 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ π‘ˆ β‰  0 ))
154, 14mpbird 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
16 simp33 1212 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ 𝑉 β‰  0 )
17 simp22 1208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
187, 8, 9, 10, 11tendoid0 39634 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘‰β€˜π‘“) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝑉 = 0 ))
191, 17, 6, 3, 18syl112anc 1375 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ ((π‘‰β€˜π‘“) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝑉 = 0 ))
2019necon3bid 2986 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ ((π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ 𝑉 β‰  0 ))
2116, 20mpbird 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
22 cdleml1.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
237, 8, 9, 22, 10cdleml2N 39786 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘‰β€˜π‘“) β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“))
241, 2, 3, 15, 21, 23syl113anc 1383 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“))
25 simpl1 1192 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
26 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
27 simpl21 1252 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
28 simpl23 1254 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
298, 9, 10tendocoval 39575 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)))
3025, 26, 27, 28, 29syl121anc 1376 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)))
3130eqeq1d 2735 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“) ↔ (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“)))
32 simp11 1204 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
33 simp2 1138 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
34 simp121 1306 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
358, 10tendococl 39581 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
37 simp122 1307 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
38 simp3 1139 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“))
39 simp123 1308 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
40 simp131 1309 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
417, 8, 9, 10tendocan 39633 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) ∧ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
4232, 36, 37, 38, 39, 40, 41syl132anc 1389 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“)) β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
43423expia 1122 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (((𝑠 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜π‘“) β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉))
4431, 43sylbird 260 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ ((π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“) β†’ (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉))
4544reximdva 3169 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (π‘ β€˜(π‘ˆβ€˜π‘“)) = (π‘‰β€˜π‘“) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉))
4624, 45mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (𝑓 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘ˆ β‰  0 ∧ 𝑉 β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 (𝑠 ∘ π‘ˆ) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  HLchlt 38158  LHypclh 38793  LTrncltrn 38910  trLctrl 38967  TEndoctendo 39561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-riotaBAD 37761
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-undef 8253  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309  df-lines 38310  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914  df-trl 38968  df-tendo 39564
This theorem is referenced by:  cdleml4N  39788
  Copyright terms: Public domain W3C validator