Theorem cdleml7 37058

Description: Part of proof of Lemma L of [Crawley] p. 120. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleml6.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleml6.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleml6.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleml6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleml6.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.p	⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.z	⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
cdleml6.y	⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdleml6.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
cdleml6.u	⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))
cdleml6.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdleml6.o	⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cdleml7	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ((𝑈 ∘ 𝑠)‘ℎ) = (( I ↾ 𝑇)‘ℎ))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑏,𝑧, ∧   ∨ ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   ℎ,𝑏,𝑔,𝑧   𝑠,𝑏,𝑔,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑄,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑏,𝑓,𝑔,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ,𝑠)   𝑄(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑅(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑇(ℎ,𝑠)   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝐻(𝑓,ℎ,𝑠)   ∨ (𝑓,ℎ,𝑠)   𝐾(𝑓,ℎ,𝑠)   ∧ (𝑓,ℎ,𝑠)   𝑊(𝑓,ℎ,𝑠)   𝑋(𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   0 (𝑧,𝑓,𝑔,ℎ,𝑠,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑓,ℎ,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cdleml7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleml6.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdleml6.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		cdleml6.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		cdleml6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		cdleml6.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		cdleml6.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
7		cdleml6.p	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
8		cdleml6.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((ℎ‘𝑄) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘ℎ)))))
9		cdleml6.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑄 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
10		cdleml6.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘(𝑠‘ℎ)) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑄) = 𝑌))
11		cdleml6.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if((𝑠‘ℎ) = ℎ, 𝑔, 𝑋))
12		cdleml6.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
13		cdleml6.o	. . . 4 ⊢ 0 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	cdleml6 37057	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘(𝑠‘ℎ)) = ℎ))
15	14	simprd 491	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝑈‘(𝑠‘ℎ)) = ℎ)
16		simp1 1172	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	14	simpld 490	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑈 ∈ 𝐸)
18		simp3l 1264	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → 𝑠 ∈ 𝐸)
19		simp2 1173	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ℎ ∈ 𝑇)
20	4, 5, 12	tendocoval 36842	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝑈 ∘ 𝑠)‘ℎ) = (𝑈‘(𝑠‘ℎ)))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl121anc 1500	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ((𝑈 ∘ 𝑠)‘ℎ) = (𝑈‘(𝑠‘ℎ)))
22		fvresi 6692	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘ℎ) = ℎ)
23	22	3ad2ant2 1170	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → (( I ↾ 𝑇)‘ℎ) = ℎ)
24	15, 21, 23	3eqtr4d 2872	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ≠ 0 )) → ((𝑈 ∘ 𝑠)‘ℎ) = (( I ↾ 𝑇)‘ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ∀wral 3118  ifcif 4307   ↦ cmpt 4953   I cid 5250  ^◡ccnv 5342   ↾ cres 5345   ∘ ccom 5347  ‘cfv 6124  ℩crio 6866  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  occoc 16314  joincjn 17298  meetcmee 17299  HLchlt 35426  LHypclh 36060  LTrncltrn 36177  trLctrl 36234  TEndoctendo 36828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-riotaBAD 35029

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-undef 7665  df-map 8125  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-p1 17394  df-lat 17400  df-clat 17462  df-oposet 35252  df-ol 35254  df-oml 35255  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374  df-cvlat 35398  df-hlat 35427  df-llines 35574  df-lplanes 35575  df-lvols 35576  df-lines 35577  df-psubsp 35579  df-pmap 35580  df-padd 35872  df-lhyp 36064  df-laut 36065  df-ldil 36180  df-ltrn 36181  df-trl 36235  df-tendo 36831

This theorem is referenced by:  cdleml8  37059