Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0mulr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendo0mulr 40211
Description: Additive identity multiplied by a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 13-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoid0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendo0mulr (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑂) = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)
Proof of Theorem tendo0mulr
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 tendoid0.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendoid0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3cdlemftr0 39952 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
54adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
6 simpll 764 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 simplr 766 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
8 tendoid0.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 tendoid0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
101, 2, 3, 8, 9tendo0cl 40174 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
1110ad2antrr 723 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
122, 8tendococl 40156 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑂) ∈ 𝐸)
136, 7, 11, 12syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑂) ∈ 𝐸)
149, 1tendo02 40171 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
1514ad2antrl 725 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
1615fveq2d 6889 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜(π‘‚β€˜π‘”)) = (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)))
171, 2, 8tendoid 40157 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
1817adantr 480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
1916, 18eqtrd 2766 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜(π‘‚β€˜π‘”)) = ( I β†Ύ 𝐡))
20 simprl 768 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
212, 3, 8tendocoval 40150 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑂)β€˜π‘”) = (π‘ˆβ€˜(π‘‚β€˜π‘”)))
226, 7, 11, 20, 21syl121anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑂)β€˜π‘”) = (π‘ˆβ€˜(π‘‚β€˜π‘”)))
2319, 22, 153eqtr4d 2776 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑂)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”))
24 simpr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
251, 2, 3, 8tendocan 40208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘ˆ ∘ 𝑂) ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ ((π‘ˆ ∘ 𝑂)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑂) = 𝑂)
266, 13, 11, 23, 24, 25syl131anc 1380 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑂) = 𝑂)
275, 26rexlimddv 3155 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑂) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  TEndoctendo 40136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139
This theorem is referenced by:  dib1dim2  40552  diblss  40554
  Copyright terms: Public domain W3C validator