Theorem tendo0mulr 41087

Description: Additive identity multiplied by a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 13-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoid0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendo0mulr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ 𝑂) = 𝑂)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0mulr

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoid0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		tendoid0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoid0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	cdlemftr0 40828	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6		simpll 766	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simplr 768	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 ∈ 𝐸)
8		tendoid0.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9		tendoid0.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
10	1, 2, 3, 8, 9	tendo0cl 41050	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
11	10	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑂 ∈ 𝐸)
12	2, 8	tendococl 41032	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ 𝑂) ∈ 𝐸)
13	6, 7, 11, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 ∘ 𝑂) ∈ 𝐸)
14	9, 1	tendo02 41047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
15	14	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
16	15	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘(𝑂‘𝑔)) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
17	1, 2, 8	tendoid 41033	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
19	16, 18	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘(𝑂‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
20		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑔 ∈ 𝑇)
21	2, 3, 8	tendocoval 41026	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑈 ∘ 𝑂)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑂‘𝑔)))
22	6, 7, 11, 20, 21	syl121anc 1377	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈 ∘ 𝑂)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑂‘𝑔)))
23	19, 22, 15	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈 ∘ 𝑂)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔))
24		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
25	1, 2, 3, 8	tendocan 41084	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈 ∘ 𝑂) ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑈 ∘ 𝑂)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 ∘ 𝑂) = 𝑂)
26	6, 13, 11, 23, 24, 25	syl131anc 1385	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈 ∘ 𝑂) = 𝑂)
27	5, 26	rexlimddv 3143	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑈 ∘ 𝑂) = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   ↦ cmpt 5179   I cid 5518   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  HLchlt 39610  LHypclh 40244  LTrncltrn 40361  TEndoctendo 41012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-riotaBAD 39213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-undef 8215  df-map 8765  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-llines 39758  df-lplanes 39759  df-lvols 39760  df-lines 39761  df-psubsp 39763  df-pmap 39764  df-padd 40056  df-lhyp 40248  df-laut 40249  df-ldil 40364  df-ltrn 40365  df-trl 40419  df-tendo 41015

This theorem is referenced by:  dib1dim2  41428  diblss  41430