Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | tendoid0.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | tendoid0.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
3 | | tendoid0.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
4 | 1, 2, 3 | cdlemftr0 40096 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β βπ β π π β ( I βΎ π΅)) |
5 | 4 | adantr 479 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β βπ β π π β ( I βΎ π΅)) |
6 | | simpll 765 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
7 | | simplr 767 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β π β πΈ) |
8 | | tendoid0.e |
. . . . . 6
β’ πΈ = ((TEndoβπΎ)βπ) |
9 | | tendoid0.o |
. . . . . 6
β’ π = (π β π β¦ ( I βΎ π΅)) |
10 | 1, 2, 3, 8, 9 | tendo0cl 40318 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β π β πΈ) |
11 | 10 | ad2antrr 724 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β π β πΈ) |
12 | 2, 8 | tendococl 40300 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ π β πΈ) β (π β π) β πΈ) |
13 | 6, 7, 11, 12 | syl3anc 1368 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β (π β π) β πΈ) |
14 | 9, 1 | tendo02 40315 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β (πβπ) = ( I βΎ π΅)) |
15 | 14 | ad2antrl 726 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β (πβπ) = ( I βΎ π΅)) |
16 | 15 | fveq2d 6895 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β (πβ(πβπ)) = (πβ( I βΎ π΅))) |
17 | 1, 2, 8 | tendoid 40301 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β (πβ( I βΎ π΅)) = ( I βΎ π΅)) |
18 | 17 | adantr 479 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β (πβ( I βΎ π΅)) = ( I βΎ π΅)) |
19 | 16, 18 | eqtrd 2765 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β (πβ(πβπ)) = ( I βΎ π΅)) |
20 | | simprl 769 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β π β π) |
21 | 2, 3, 8 | tendocoval 40294 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ) β§ π β π) β ((π β π)βπ) = (πβ(πβπ))) |
22 | 6, 7, 11, 20, 21 | syl121anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β ((π β π)βπ) = (πβ(πβπ))) |
23 | 19, 22, 15 | 3eqtr4d 2775 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β ((π β π)βπ) = (πβπ)) |
24 | | simpr 483 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) |
25 | 1, 2, 3, 8 | tendocan 40352 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π) β πΈ β§ π β πΈ β§ ((π β π)βπ) = (πβπ)) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β (π β π) = π) |
26 | 6, 13, 11, 23, 24, 25 | syl131anc 1380 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β§ (π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) β (π β π) = π) |
27 | 5, 26 | rexlimddv 3151 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ) β (π β π) = π) |