Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0mulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0mulr 38081
 Description: Additive identity multiplied by a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 13-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendo0mulr (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑈𝑂) = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0mulr
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 tendoid0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoid0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3cdlemftr0 37822 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
54adantr 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6 simpll 766 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simplr 768 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈𝐸)
8 tendoid0.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9 tendoid0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
101, 2, 3, 8, 9tendo0cl 38044 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
1110ad2antrr 725 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑂𝐸)
122, 8tendococl 38026 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑂𝐸) → (𝑈𝑂) ∈ 𝐸)
136, 7, 11, 12syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑂) ∈ 𝐸)
149, 1tendo02 38041 . . . . . . 7 (𝑔𝑇 → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
1514ad2antrl 727 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
1615fveq2d 6656 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘(𝑂𝑔)) = (𝑈‘( I ↾ 𝐵)))
171, 2, 8tendoid 38027 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
1817adantr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
1916, 18eqtrd 2857 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘(𝑂𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
20 simprl 770 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑔𝑇)
212, 3, 8tendocoval 38020 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑂𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑂)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑂𝑔)))
226, 7, 11, 20, 21syl121anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝑂)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑂𝑔)))
2319, 22, 153eqtr4d 2867 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑈𝑂)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
24 simpr 488 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
251, 2, 3, 8tendocan 38078 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑈𝑂) ∈ 𝐸𝑂𝐸 ∧ ((𝑈𝑂)‘𝑔) = (𝑂𝑔)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑂) = 𝑂)
266, 13, 11, 23, 24, 25syl131anc 1380 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑂) = 𝑂)
275, 26rexlimddv 3277 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑈𝑂) = 𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∃wrex 3131   ↦ cmpt 5122   I cid 5436   ↾ cres 5534   ∘ ccom 5536  ‘cfv 6334  Basecbs 16474  HLchlt 36604  LHypclh 37238  LTrncltrn 37355  TEndoctendo 38006 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-riotaBAD 36207 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36430  df-ol 36432  df-oml 36433  df-covers 36520  df-ats 36521  df-atl 36552  df-cvlat 36576  df-hlat 36605  df-llines 36752  df-lplanes 36753  df-lvols 36754  df-lines 36755  df-psubsp 36757  df-pmap 36758  df-padd 37050  df-lhyp 37242  df-laut 37243  df-ldil 37358  df-ltrn 37359  df-trl 37413  df-tendo 38009 This theorem is referenced by:  dib1dim2  38422  diblss  38424
 Copyright terms: Public domain W3C validator