Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0mul 37842
Description: Additive identity multiplied by a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendo0mul (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑂𝑈) = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0mul
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 tendoid0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoid0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3cdlemftr0 37584 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
54adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6 simpll 763 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 tendoid0.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
8 tendoid0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
91, 2, 3, 7, 8tendo0cl 37806 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
109ad2antrr 722 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑂𝐸)
11 simplr 765 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈𝐸)
122, 7tendococl 37788 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂𝐸𝑈𝐸) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐸)
136, 10, 11, 12syl3anc 1363 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐸)
14 simprl 767 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑔𝑇)
152, 3, 7tendocl 37783 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
166, 11, 14, 15syl3anc 1363 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
178, 1tendo02 37803 . . . . 5 ((𝑈𝑔) ∈ 𝑇 → (𝑂‘(𝑈𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
1816, 17syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂‘(𝑈𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
192, 3, 7tendocoval 37782 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑂𝐸𝑈𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑂𝑈)‘𝑔) = (𝑂‘(𝑈𝑔)))
206, 10, 11, 14, 19syl121anc 1367 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑂𝑈)‘𝑔) = (𝑂‘(𝑈𝑔)))
218, 1tendo02 37803 . . . . 5 (𝑔𝑇 → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
2221ad2antrl 724 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
2318, 20, 223eqtr4d 2863 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑂𝑈)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
24 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
251, 2, 3, 7tendocan 37840 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑂𝑈) ∈ 𝐸𝑂𝐸 ∧ ((𝑂𝑈)‘𝑔) = (𝑂𝑔)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝑈) = 𝑂)
266, 13, 10, 23, 24, 25syl131anc 1375 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝑈) = 𝑂)
275, 26rexlimddv 3288 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑂𝑈) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  cmpt 5137   I cid 5452  cres 5550  ccom 5552  cfv 6348  Basecbs 16471  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  TEndoctendo 37768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tendo 37771
This theorem is referenced by:  cdleml5N  37996  cdleml9  38000
  Copyright terms: Public domain W3C validator