Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0mul 37832
Description: Additive identity multiplied by a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendo0mul (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑂𝑈) = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0mul
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 tendoid0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoid0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3cdlemftr0 37574 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
54adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → ∃𝑔𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6 simpll 763 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 tendoid0.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
8 tendoid0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
91, 2, 3, 7, 8tendo0cl 37796 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
109ad2antrr 722 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑂𝐸)
11 simplr 765 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈𝐸)
122, 7tendococl 37778 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂𝐸𝑈𝐸) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐸)
136, 10, 11, 12syl3anc 1365 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐸)
14 simprl 767 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑔𝑇)
152, 3, 7tendocl 37773 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑔𝑇) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
166, 11, 14, 15syl3anc 1365 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈𝑔) ∈ 𝑇)
178, 1tendo02 37793 . . . . 5 ((𝑈𝑔) ∈ 𝑇 → (𝑂‘(𝑈𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
1816, 17syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂‘(𝑈𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
192, 3, 7tendocoval 37772 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑂𝐸𝑈𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑂𝑈)‘𝑔) = (𝑂‘(𝑈𝑔)))
206, 10, 11, 14, 19syl121anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑂𝑈)‘𝑔) = (𝑂‘(𝑈𝑔)))
218, 1tendo02 37793 . . . . 5 (𝑔𝑇 → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
2221ad2antrl 724 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
2318, 20, 223eqtr4d 2870 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑂𝑈)‘𝑔) = (𝑂𝑔))
24 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
251, 2, 3, 7tendocan 37830 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑂𝑈) ∈ 𝐸𝑂𝐸 ∧ ((𝑂𝑈)‘𝑔) = (𝑂𝑔)) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝑈) = 𝑂)
266, 13, 10, 23, 24, 25syl131anc 1377 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂𝑈) = 𝑂)
275, 26rexlimddv 3295 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸) → (𝑂𝑈) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wrex 3143  cmpt 5142   I cid 5457  cres 5555  ccom 5557  cfv 6351  Basecbs 16476  HLchlt 36356  LHypclh 36990  LTrncltrn 37107  TEndoctendo 37758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-riotaBAD 35959
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-undef 7933  df-map 8401  df-proset 17531  df-poset 17549  df-plt 17561  df-lub 17577  df-glb 17578  df-join 17579  df-meet 17580  df-p0 17642  df-p1 17643  df-lat 17649  df-clat 17711  df-oposet 36182  df-ol 36184  df-oml 36185  df-covers 36272  df-ats 36273  df-atl 36304  df-cvlat 36328  df-hlat 36357  df-llines 36504  df-lplanes 36505  df-lvols 36506  df-lines 36507  df-psubsp 36509  df-pmap 36510  df-padd 36802  df-lhyp 36994  df-laut 36995  df-ldil 37110  df-ltrn 37111  df-trl 37165  df-tendo 37761
This theorem is referenced by:  cdleml5N  37986  cdleml9  37990
  Copyright terms: Public domain W3C validator