Theorem tendo0mul 41202

Description: Additive identity multiplied by a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoid0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoid0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendo0mul	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑂 ∘ 𝑈) = 𝑂)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0mul

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoid0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		tendoid0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoid0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	cdlemftr0 40944	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → ∃𝑔 ∈ 𝑇 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
6		simpll 767	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		tendoid0.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
8		tendoid0.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
9	1, 2, 3, 7, 8	tendo0cl 41166	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
10	9	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑂 ∈ 𝐸)
11		simplr 769	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑈 ∈ 𝐸)
12	2, 7	tendococl 41148	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑂 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸)
13	6, 10, 11, 12	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸)
14		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝑔 ∈ 𝑇)
15	2, 3, 7	tendocl 41143	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
16	6, 11, 14, 15	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇)
17	8, 1	tendo02 41163	. . . . 5 ⊢ ((𝑈‘𝑔) ∈ 𝑇 → (𝑂‘(𝑈‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂‘(𝑈‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
19	2, 3, 7	tendocoval 41142	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑂 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝑂 ∘ 𝑈)‘𝑔) = (𝑂‘(𝑈‘𝑔)))
20	6, 10, 11, 14, 19	syl121anc 1378	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑂 ∘ 𝑈)‘𝑔) = (𝑂‘(𝑈‘𝑔)))
21	8, 1	tendo02 41163	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
22	21	ad2antrl 729	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
23	18, 20, 22	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑂 ∘ 𝑈)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔))
24		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
25	1, 2, 3, 7	tendocan 41200	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑂 ∘ 𝑈) ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑂 ∘ 𝑈)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂 ∘ 𝑈) = 𝑂)
26	6, 13, 10, 23, 24, 25	syl131anc 1386	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑂 ∘ 𝑈) = 𝑂)
27	5, 26	rexlimddv 3145	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) → (𝑂 ∘ 𝑈) = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ↦ cmpt 5181   I cid 5526   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  HLchlt 39726  LHypclh 40360  LTrncltrn 40477  TEndoctendo 41128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-riotaBAD 39329

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-undef 8225  df-map 8777  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-covers 39642  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727  df-llines 39874  df-lplanes 39875  df-lvols 39876  df-lines 39877  df-psubsp 39879  df-pmap 39880  df-padd 40172  df-lhyp 40364  df-laut 40365  df-ldil 40480  df-ltrn 40481  df-trl 40535  df-tendo 41131

This theorem is referenced by:  cdleml5N  41356  cdleml9  41360