Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0mul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendo0mul 40355
Description: Additive identity multiplied by a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoid0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendo0mul (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (𝑂 ∘ π‘ˆ) = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)
Proof of Theorem tendo0mul
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 tendoid0.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendoid0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3cdlemftr0 40097 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
54adantr 479 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
6 simpll 765 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 tendoid0.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 tendoid0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
91, 2, 3, 7, 8tendo0cl 40319 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
109ad2antrr 724 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
11 simplr 767 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
122, 7tendococl 40301 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (𝑂 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
136, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑂 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
14 simprl 769 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
152, 3, 7tendocl 40296 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇)
166, 11, 14, 15syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇)
178, 1tendo02 40316 . . . . 5 ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)) = ( I β†Ύ 𝐡))
1816, 17syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‚β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)) = ( I β†Ύ 𝐡))
192, 3, 7tendocoval 40295 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑂 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑂 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)))
206, 10, 11, 14, 19syl121anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((𝑂 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)))
218, 1tendo02 40316 . . . . 5 (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
2221ad2antrl 726 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
2318, 20, 223eqtr4d 2775 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((𝑂 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”))
24 simpr 483 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
251, 2, 3, 7tendocan 40353 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑂 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑂 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑂 ∘ π‘ˆ) = 𝑂)
266, 13, 10, 23, 24, 25syl131anc 1380 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑂 ∘ π‘ˆ) = 𝑂)
275, 26rexlimddv 3151 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (𝑂 ∘ π‘ˆ) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   ↦ cmpt 5226   I cid 5569   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6543  Basecbs 17179  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  TEndoctendo 40281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-map 8845  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tendo 40284
This theorem is referenced by:  cdleml5N  40509  cdleml9  40513
  Copyright terms: Public domain W3C validator