Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0mul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendo0mul 39685
Description: Additive identity multiplied by a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoid0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoid0.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoid0.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendo0mul (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (𝑂 ∘ π‘ˆ) = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)
Proof of Theorem tendo0mul
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoid0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 tendoid0.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendoid0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3cdlemftr0 39427 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
54adantr 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝑇 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
6 simpll 765 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 tendoid0.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 tendoid0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
91, 2, 3, 7, 8tendo0cl 39649 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
109ad2antrr 724 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
11 simplr 767 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
122, 7tendococl 39631 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (𝑂 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
136, 10, 11, 12syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑂 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸)
14 simprl 769 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
152, 3, 7tendocl 39626 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇)
166, 11, 14, 15syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇)
178, 1tendo02 39646 . . . . 5 ((π‘ˆβ€˜π‘”) ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)) = ( I β†Ύ 𝐡))
1816, 17syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‚β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)) = ( I β†Ύ 𝐡))
192, 3, 7tendocoval 39625 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑂 ∈ 𝐸 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑂 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)))
206, 10, 11, 14, 19syl121anc 1375 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((𝑂 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜(π‘ˆβ€˜π‘”)))
218, 1tendo02 39646 . . . . 5 (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
2221ad2antrl 726 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
2318, 20, 223eqtr4d 2782 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((𝑂 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”))
24 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
251, 2, 3, 7tendocan 39683 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑂 ∘ π‘ˆ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑂 ∘ π‘ˆ)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑂 ∘ π‘ˆ) = 𝑂)
266, 13, 10, 23, 24, 25syl131anc 1383 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝑂 ∘ π‘ˆ) = 𝑂)
275, 26rexlimddv 3161 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) β†’ (𝑂 ∘ π‘ˆ) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  TEndoctendo 39611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8254  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tendo 39614
This theorem is referenced by:  cdleml5N  39839  cdleml9  39843
  Copyright terms: Public domain W3C validator