MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flftg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem flftg 23722
Description: Limit points of a function can be defined using topological bases. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flftg.l 𝐽 = (topGenβ€˜π΅)
Assertion
Ref Expression
flftg ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ))))
Distinct variable groups:   π‘œ,𝑠,𝐴   𝐡,π‘œ   π‘œ,𝐹,𝑠   𝐽,𝑠   π‘œ,𝐿,𝑠   𝑋,𝑠   π‘Œ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑠)   𝐽(π‘œ)   𝑋(π‘œ)   π‘Œ(π‘œ)
Proof of Theorem flftg
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isflf 23719 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒))))
2 flftg.l . . . . 5 𝐽 = (topGenβ€˜π΅)
32raleqi 3321 . . . 4 (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒))
4 simpl1 1189 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 topontop 22637 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Top)
72, 6eqeltrrid 2836 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (topGenβ€˜π΅) ∈ Top)
8 tgclb 22695 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ TopBases ↔ (topGenβ€˜π΅) ∈ Top)
97, 8sylibr 233 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ TopBases)
10 bastg 22691 . . . . . 6 (𝐡 ∈ TopBases β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
11 eleq2w 2815 . . . . . . . . 9 (𝑒 = π‘œ β†’ (𝐴 ∈ 𝑒 ↔ 𝐴 ∈ π‘œ))
12 sseq2 4009 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = π‘œ β†’ ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒 ↔ (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ))
1312rexbidv 3176 . . . . . . . . 9 (𝑒 = π‘œ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ))
1411, 13imbi12d 343 . . . . . . . 8 (𝑒 = π‘œ β†’ ((𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒) ↔ (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ)))
1514cbvralvw 3232 . . . . . . 7 (βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒) ↔ βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ))
16 ssralv 4051 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ)))
1715, 16biimtrid 241 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ)))
189, 10, 173syl 18 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ)))
19 tg2 22690 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑒))
20 r19.29 3112 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ) ∧ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐡 ((𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ) ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑒)))
21 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑒) β†’ 𝐴 ∈ π‘œ)
22 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑒) β†’ π‘œ βŠ† 𝑒)
23 sstr2 3990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ β†’ (π‘œ βŠ† 𝑒 β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒))
2422, 23syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑒) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒))
2524reximdv 3168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒))
2621, 25embantd 59 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑒) β†’ ((𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒))
2726impcom 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ) ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒)
2827rexlimivw 3149 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘œ ∈ 𝐡 ((𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ) ∧ (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒)
2920, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ) ∧ βˆƒπ‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒)
3029ex 411 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ) β†’ (βˆƒπ‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ ∧ π‘œ βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒))
3119, 30syl5 34 . . . . . . 7 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ) β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒))
3231expdimp 451 . . . . . 6 ((βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ) ∧ 𝑒 ∈ (topGenβ€˜π΅)) β†’ (𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒))
3332ralrimiva 3144 . . . . 5 (βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒))
3418, 33impbid1 224 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π΅)(𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒) ↔ βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ)))
353, 34bitrid 282 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒) ↔ βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ)))
3635pm5.32da 577 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† 𝑒)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ))))
371, 36bitrd 278 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐡 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3949   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  topGenctg 17389  Topctop 22617  TopOnctopon 22634  TopBasesctb 22670  Filcfil 23571   fLimf cflf 23661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8826  df-topgen 17395  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-top 22618  df-topon 22635  df-bases 22671  df-ntr 22746  df-nei 22824  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666
This theorem is referenced by:  txflf  23732
  Copyright terms: Public domain W3C validator