MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flftg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flftg 22288
Description: Limit points of a function can be defined using topological bases. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flftg.l 𝐽 = (topGen‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
flftg ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))))
Distinct variable groups:   𝑜,𝑠,𝐴   𝐵,𝑜   𝑜,𝐹,𝑠   𝐽,𝑠   𝑜,𝐿,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑠)   𝐽(𝑜)   𝑋(𝑜)   𝑌(𝑜)

Proof of Theorem flftg
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isflf 22285 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))))
2 flftg.l . . . . 5 𝐽 = (topGen‘𝐵)
32raleqi 3373 . . . 4 (∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
4 simpl1 1184 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5 topontop 21205 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
72, 6syl5eqelr 2888 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
8 tgclb 21262 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
97, 8sylibr 235 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐵 ∈ TopBases)
10 bastg 21258 . . . . . 6 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
11 eleq2w 2866 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑜 → (𝐴𝑢𝐴𝑜))
12 sseq2 3914 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑜 → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))
1312rexbidv 3260 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑜 → (∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))
1411, 13imbi12d 346 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑜 → ((𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
1514cbvralv 3403 . . . . . . 7 (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑜 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))
16 ssralv 3954 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵) → (∀𝑜 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
1715, 16syl5bi 243 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵) → (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) → ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
189, 10, 173syl 18 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) → ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
19 tg2 21257 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢))
20 r19.29 3218 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ ∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑜𝐵 ((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ (𝐴𝑜𝑜𝑢)))
21 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → 𝐴𝑜)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → 𝑜𝑢)
23 sstr2 3896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑜 → (𝑜𝑢 → (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2422, 23syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → ((𝐹𝑠) ⊆ 𝑜 → (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2524reximdv 3236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → (∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2621, 25embantd 59 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑜𝑜𝑢) → ((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
2726impcom 408 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)
2827rexlimivw 3245 . . . . . . . . . 10 (∃𝑜𝐵 ((𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)
2920, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ ∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢)) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)
3029ex 413 . . . . . . . 8 (∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → (∃𝑜𝐵 (𝐴𝑜𝑜𝑢) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3119, 30syl5 34 . . . . . . 7 (∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3231expdimp 453 . . . . . 6 ((∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) ∧ 𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3332ralrimiva 3149 . . . . 5 (∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜) → ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢))
3418, 33impbid1 226 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝐵)(𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
353, 34syl5bb 284 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢) ↔ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜)))
3635pm5.32da 579 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐴𝑢 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))))
371, 36bitrd 280 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐵 (𝐴𝑜 → ∃𝑠𝐿 (𝐹𝑠) ⊆ 𝑜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106  wss 3859  cima 5446  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  topGenctg 16540  Topctop 21185  TopOnctopon 21202  TopBasesctb 21237  Filcfil 22137   fLimf cflf 22227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-map 8258  df-topgen 16546  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-ntr 21312  df-nei 21390  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232
This theorem is referenced by:  txflf  22298
  Copyright terms: Public domain W3C validator