MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcnp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgcnp 22757
Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
tgcn.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜π΅))
tgcn.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
tgcnp.5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
tgcnp (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑦)
Proof of Theorem tgcnp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 tgcn.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 tgcnp.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
4 iscnp 22741 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)))))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)))))
6 tgcn.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜π΅))
7 topontop 22415 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
82, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
96, 8eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜π΅) ∈ Top)
10 tgclb 22473 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ TopBases ↔ (topGenβ€˜π΅) ∈ Top)
119, 10sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ TopBases)
12 bastg 22469 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ TopBases β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
1413, 6sseqtrrd 4024 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐾)
15 ssralv 4051 . . . . 5 (𝐡 βŠ† 𝐾 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦))))
1614, 15syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦))))
1716anim2d 613 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)))))
185, 17sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)))))
196eleq2d 2820 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐾 ↔ 𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅)))
2019biimpa 478 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ 𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅))
21 tg2 22468 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑧))
22 r19.29 3115 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑧)))
23 sstr 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑧) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧)
2423expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ ((𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦 β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧))
2524anim2d 613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ ((𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦) β†’ (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧)))
2625reximdv 3171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧)))
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦) β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧)))
2827imim2i 16 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ (𝑦 βŠ† 𝑧 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧))))
2928imp32 420 . . . . . . . . . . . 12 ((((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧))
3029rexlimivw 3152 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧))
3122, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧))
3231expcom 415 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑧) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧)))
3321, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧)))
3433ex 414 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧))))
3534com23 86 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧))))
3620, 35syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧))))
3736ralrimdva 3155 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧))))
3837anim2d 613 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦))) β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧)))))
39 iscnp 22741 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧)))))
401, 2, 3, 39syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑧)))))
4138, 40sylibrd 259 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦))) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ)))
4218, 41impbid 211 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑦 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  topGenctg 17383  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  TopBasesctb 22448   CnP ccnp 22729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cnp 22732
This theorem is referenced by:  txcnp  23124  ptcnp  23126  metcnp3  24049
  Copyright terms: Public domain W3C validator