MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgcnp 23277
Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
tgcn.3 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
tgcn.4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
tgcnp.5 (𝜑𝑃𝑋)
Assertion
Ref Expression
tgcnp (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem tgcnp
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 tgcn.4 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 tgcnp.5 . . . 4 (𝜑𝑃𝑋)
4 iscnp 23261 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
51, 2, 3, 4syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
6 tgcn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
7 topontop 22935 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
82, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
96, 8eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
10 tgclb 22993 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
119, 10sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
12 bastg 22989 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1413, 6sseqtrrd 4037 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
15 ssralv 4064 . . . . 5 (𝐵𝐾 → (∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))))
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))))
1716anim2d 612 . . 3 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
185, 17sylbid 240 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
196eleq2d 2825 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝐾𝑧 ∈ (topGen‘𝐵)))
2019biimpa 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐾) → 𝑧 ∈ (topGen‘𝐵))
21 tg2 22988 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑧) → ∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧))
22 r19.29 3112 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑦𝐵 (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)))
23 sstr 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑥) ⊆ 𝑦𝑦𝑧) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)
2423expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑧 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝑦 → (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
2524anim2d 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑧 → ((𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) → (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
2625reximdv 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑧 → (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦) → (𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
2827imim2i 16 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → (𝑦𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
2928imp32 418 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
3029rexlimivw 3149 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐵 (((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
3122, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) ∧ ∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))
3231expcom 413 . . . . . . . . 9 (∃𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦𝑦𝑧) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
3321, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝑧) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))
3433ex 412 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3534com23 86 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (topGen‘𝐵) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3620, 35syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐾) → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3736ralrimdva 3152 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)) → ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧))))
3837anim2d 612 . . 3 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))))
39 iscnp 23261 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))))
401, 2, 3, 39syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑧𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑧)))))
4138, 40sylibrd 259 . 2 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦))) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)))
4218, 41impbid 212 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥𝐽 (𝑃𝑥 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝑦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  topGenctg 17484  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  TopBasesctb 22968   CnP ccnp 23249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cnp 23252
This theorem is referenced by:  txcnp  23644  ptcnp  23646  metcnp3  24569
  Copyright terms: Public domain W3C validator