Theorem ttcexbi 36758

Description: A class is a set iff its transitive closure is a set, assuming Transitive Containment. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ttcexbi	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ TC+ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ttcexbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttcexg 36757	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → TC+ 𝐴 ∈ V)
2		ttcexrg 36722	. 2 ⊢ (TC+ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	impbii 210	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ TC+ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∈ wcel 2115  Vcvv 3428  TC+ cttc 36711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3061  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-om 7810  df-2nd 7935  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-ttc 36712

This theorem is referenced by: (None)