Theorem ttcexg 36720

Description: The transitive closure of a set is a set, assuming Transitive Containment. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ttcexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → TC+ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ttcexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3948	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑦))
2	1	anbi1d 632	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)))
3	2	exbidv 1923	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦(𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)))
4		vex 3434	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	tz9.1 9639	. . . 4 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧))
6		3simpa 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧)) → (𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦))
7	5, 6	eximii 1839	. . 3 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)
8	3, 7	vtoclg 3500	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑦(𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦))
9		ttcmin 36684	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → TC+ 𝐴 ⊆ 𝑦)
10		vex 3434	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
11		ssexg 5258	. . . 4 ⊢ ((TC+ 𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ V) → TC+ 𝐴 ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → TC+ 𝐴 ∈ V)
13	12	exlimiv 1932	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → TC+ 𝐴 ∈ V)
14	8, 13	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → TC+ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  Tr wtr 5193  TC+ cttc 36674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-ttc 36675

This theorem is referenced by:  ttcexbi  36721  dfttc3g  36722