Theorem ttcexg 36987

Description: The transitive closure of a set is a set, assuming Transitive Containment. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ttcexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → TC+ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ttcexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3961	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑦))
2	1	anbi1d 642	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)))
3	2	exbidv 1949	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦(𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)))
4		vex 3457	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	tz9.1 9697	. . . 4 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧))
6		3simpa 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧)) → (𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦))
7	5, 6	eximii 1865	. . 3 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)
8	3, 7	vtoclg 3521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑦(𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦))
9		ttcmin 36951	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → TC+ 𝐴 ⊆ 𝑦)
10		vex 3457	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
11		ssexg 5289	. . . 4 ⊢ ((TC+ 𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ V) → TC+ 𝐴 ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → TC+ 𝐴 ∈ V)
13	12	exlimiv 1958	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → TC+ 𝐴 ∈ V)
14	8, 13	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → TC+ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101  ∀wal 1566   = wceq 1568  ∃wex 1807   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  Tr wtr 5217  TC+ cttc 36941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-ttc 36942

This theorem is referenced by:  ttcexbi  36988  dfttc3g  36989