Theorem ttcexg 36757

Description: The transitive closure of a set is a set, assuming Transitive Containment. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ttcexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → TC+ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ttcexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3943	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑦))
2	1	anbi1d 633	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)))
3	2	exbidv 1924	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦(𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)))
4		vex 3432	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	tz9.1 9644	. . . 4 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧))
6		3simpa 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧)) → (𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦))
7	5, 6	eximii 1840	. . 3 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)
8	3, 7	vtoclg 3498	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑦(𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦))
9		ttcmin 36721	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → TC+ 𝐴 ⊆ 𝑦)
10		vex 3432	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
11		ssexg 5254	. . . 4 ⊢ ((TC+ 𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ V) → TC+ 𝐴 ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → TC+ 𝐴 ∈ V)
13	12	exlimiv 1933	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → TC+ 𝐴 ∈ V)
14	8, 13	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → TC+ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1088  ∀wal 1541   = wceq 1543  ∃wex 1782   ∈ wcel 2115  Vcvv 3428   ⊆ wss 3886  Tr wtr 5182  TC+ cttc 36711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3061  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-om 7810  df-2nd 7935  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-ttc 36712

This theorem is referenced by:  ttcexbi  36758  dfttc3g  36759