Theorem ttcexg 36830

Description: The transitive closure of a set is a set, assuming Transitive Containment. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ttcexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → TC+ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ttcexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3952	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑦))
2	1	anbi1d 639	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) ↔ (𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)))
3	2	exbidv 1931	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦(𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)))
4		vex 3448	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	tz9.1 9670	. . . 4 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧))
6		3simpa 1157	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦 ∧ ∀𝑧((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ Tr 𝑧) → 𝑦 ⊆ 𝑧)) → (𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦))
7	5, 6	eximii 1847	. . 3 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦)
8	3, 7	vtoclg 3512	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑦(𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦))
9		ttcmin 36794	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → TC+ 𝐴 ⊆ 𝑦)
10		vex 3448	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
11		ssexg 5269	. . . 4 ⊢ ((TC+ 𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ V) → TC+ 𝐴 ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancl 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → TC+ 𝐴 ∈ V)
13	12	exlimiv 1940	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ Tr 𝑦) → TC+ 𝐴 ∈ V)
14	8, 13	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → TC+ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095  ∀wal 1548   = wceq 1550  ∃wex 1789   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444   ⊆ wss 3895  Tr wtr 5197  TC+ cttc 36784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-ttc 36785

This theorem is referenced by:  ttcexbi  36831  dfttc3g  36832