Theorem unifi3 31092

Description: If a union is finite, then all its elements are finite. See unifi 9152. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
unifi3	⊢ (∪ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ⊆ Fin)

Proof of Theorem unifi3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4877	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴)
2		ssfi 8994	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3	2	ex 414	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
4	1, 3	syl5 34	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
5	4	ssrdv 3932	1 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ⊆ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3892  ∪ cuni 4844  Fincfn 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-om 7745  df-1o 8328  df-en 8765  df-fin 8768

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffslem  31112