Theorem unifi3 30224

Description: If a union is finite, then all its elements are finite. See unifi 8606. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
unifi3	⊢ (∪ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ⊆ Fin)

Proof of Theorem unifi3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elssuni 4737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴)
2		ssfi 8531	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3	2	ex 405	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ ∪ 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
4	1, 3	syl5 34	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
5	4	ssrdv 3857	1 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ⊆ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2051   ⊆ wss 3822  ∪ cuni 4708  Fincfn 8304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-om 7395  df-er 8087  df-en 8305  df-fin 8308

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffslem  30244