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Theorem fpwrelmapffslem 31703
Description: Lemma for fpwrelmapffs 31705. For this theorem, the sets 𝐴 and 𝐡 could be infinite, but the relation 𝑅 itself is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwrelmapffslem.1 𝐴 ∈ V
fpwrelmapffslem.2 𝐡 ∈ V
fpwrelmapffslem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ’« 𝐡)
fpwrelmapffslem.4 (πœ‘ β†’ 𝑅 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))})
Assertion
Ref Expression
fpwrelmapffslem (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ Fin ↔ (ran 𝐹 βŠ† Fin ∧ (𝐹 supp βˆ…) ∈ Fin)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem fpwrelmapffslem
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fpwrelmapffslem.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))})
2 relopabv 5781 . . . 4 Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))}
3 releq 5736 . . . 4 (𝑅 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))} β†’ (Rel 𝑅 ↔ Rel {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))}))
42, 3mpbiri 258 . . 3 (𝑅 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))} β†’ Rel 𝑅)
5 relfi 31573 . . 3 (Rel 𝑅 β†’ (𝑅 ∈ Fin ↔ (dom 𝑅 ∈ Fin ∧ ran 𝑅 ∈ Fin)))
61, 4, 53syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ Fin ↔ (dom 𝑅 ∈ Fin ∧ ran 𝑅 ∈ Fin)))
7 rexcom4 3270 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§(𝑀 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘§βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑀 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)))
8 ancom 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯) ∧ 𝑀 ∈ 𝑧) ↔ (𝑀 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)))
98exbii 1851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘§(𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯) ∧ 𝑀 ∈ 𝑧) ↔ βˆƒπ‘§(𝑀 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)))
10 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
11 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (𝑀 ∈ 𝑧 ↔ 𝑀 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
1210, 11ceqsexv 3496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘§(𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯) ∧ 𝑀 ∈ 𝑧) ↔ 𝑀 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
139, 12bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘§(𝑀 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ 𝑀 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
1413rexbii 3094 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§(𝑀 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑀 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
15 r19.42v 3184 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑀 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑀 ∈ 𝑧 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)))
1615exbii 1851 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘§βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (𝑀 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘§(𝑀 ∈ 𝑧 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)))
177, 14, 163bitr3ri 302 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘§(𝑀 ∈ 𝑧 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑀 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
18 df-rex 3071 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑀 ∈ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
1917, 18bitr2i 276 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘§(𝑀 ∈ 𝑧 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)))
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘§(𝑀 ∈ 𝑧 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯))))
21 vex 3451 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ V
22 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑀 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
2322anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))))
2423exbidv 1925 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))))
2521, 24elab 3634 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))} ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
26 eluniab 4884 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} ↔ βˆƒπ‘§(𝑀 ∈ 𝑧 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)))
2720, 25, 263bitr4g 314 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))} ↔ 𝑀 ∈ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)}))
2827eqrdv 2731 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))} = βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)})
2928eleq1d 2819 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))} ∈ Fin ↔ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ Fin))
3029adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))} ∈ Fin ↔ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ Fin))
31 fpwrelmapffslem.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ’« 𝐡)
32 ffn 6672 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π΄βŸΆπ’« 𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
33 fnrnfv 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ ran 𝐹 = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)})
3431, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)})
3534adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ ran 𝐹 = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)})
36 0ex 5268 . . . . . . . . . . 11 βˆ… ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ βˆ… ∈ V)
38 fpwrelmapffslem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ V
39 fex 7180 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π΄βŸΆπ’« 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
4031, 38, 39sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
4140adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ 𝐹 ∈ V)
4231ffund 6676 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
4342adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ Fun 𝐹)
44 opabdm 31583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))} β†’ dom 𝑅 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))})
451, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))})
4638, 39mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:π΄βŸΆπ’« 𝐡 β†’ 𝐹 ∈ V)
47 suppimacnv 8109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ V ∧ βˆ… ∈ V) β†’ (𝐹 supp βˆ…) = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
4836, 47mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ V β†’ (𝐹 supp βˆ…) = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
4931, 46, 483syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp βˆ…) = (◑𝐹 β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
5031feqmptd 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
5150cnveqd 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ◑𝐹 = β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
5251imaeq1d 6016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
5349, 52eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp βˆ…) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})))
54 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
5554mptpreima 6194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ (V βˆ– {βˆ…})) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– {βˆ…})}
5653, 55eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp βˆ…) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– {βˆ…})})
57 suppvalfn 8104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ βˆ… ∈ V) β†’ (𝐹 supp βˆ…) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ…})
5838, 36, 57mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn 𝐴 β†’ (𝐹 supp βˆ…) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ…})
5931, 32, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp βˆ…) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ…})
60 n0 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
6160rabbii 3412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ…} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)}
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ…} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)})
6359, 56, 623eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (V βˆ– {βˆ…})} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)})
64 df-rab 3407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))}
65 19.42v 1958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆƒπ‘¦(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
6665abbii 2803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))}
6764, 66eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))}
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))})
6956, 63, 683eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp βˆ…) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘¦(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))})
7045, 69eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = (𝐹 supp βˆ…))
7170eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (dom 𝑅 ∈ Fin ↔ (𝐹 supp βˆ…) ∈ Fin))
7271biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ (𝐹 supp βˆ…) ∈ Fin)
7337, 41, 43, 72ffsrn 31700 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
7435, 73eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ Fin)
75 unifi 9291 . . . . . . . . 9 (({𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} βŠ† Fin) β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ Fin)
7675ex 414 . . . . . . . 8 ({𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ Fin β†’ ({𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} βŠ† Fin β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ Fin))
7774, 76syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ ({𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} βŠ† Fin β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ Fin))
78 unifi3 31683 . . . . . . 7 (βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ Fin β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} βŠ† Fin)
7977, 78impbid1 224 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ ({𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} βŠ† Fin ↔ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} ∈ Fin))
8030, 79bitr4d 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))} ∈ Fin ↔ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} βŠ† Fin))
81 opabrn 31584 . . . . . . . 8 (𝑅 = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))} β†’ ran 𝑅 = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))})
821, 81syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝑅 = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))})
8382eleq1d 2819 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran 𝑅 ∈ Fin ↔ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))} ∈ Fin))
8483adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ (ran 𝑅 ∈ Fin ↔ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘₯))} ∈ Fin))
8535sseq1d 3979 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ (ran 𝐹 βŠ† Fin ↔ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯)} βŠ† Fin))
8680, 84, 853bitr4d 311 . . . 4 ((πœ‘ ∧ dom 𝑅 ∈ Fin) β†’ (ran 𝑅 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 βŠ† Fin))
8786pm5.32da 580 . . 3 (πœ‘ β†’ ((dom 𝑅 ∈ Fin ∧ ran 𝑅 ∈ Fin) ↔ (dom 𝑅 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 βŠ† Fin)))
8871anbi1d 631 . . 3 (πœ‘ β†’ ((dom 𝑅 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 βŠ† Fin) ↔ ((𝐹 supp βˆ…) ∈ Fin ∧ ran 𝐹 βŠ† Fin)))
8987, 88bitrd 279 . 2 (πœ‘ β†’ ((dom 𝑅 ∈ Fin ∧ ran 𝑅 ∈ Fin) ↔ ((𝐹 supp βˆ…) ∈ Fin ∧ ran 𝐹 βŠ† Fin)))
90 ancom 462 . . 3 (((𝐹 supp βˆ…) ∈ Fin ∧ ran 𝐹 βŠ† Fin) ↔ (ran 𝐹 βŠ† Fin ∧ (𝐹 supp βˆ…) ∈ Fin))
9190a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐹 supp βˆ…) ∈ Fin ∧ ran 𝐹 βŠ† Fin) ↔ (ran 𝐹 βŠ† Fin ∧ (𝐹 supp βˆ…) ∈ Fin)))
926, 89, 913bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ Fin ↔ (ran 𝐹 βŠ† Fin ∧ (𝐹 supp βˆ…) ∈ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869  {copab 5171   ↦ cmpt 5192  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638   β€œ cima 5640  Rel wrel 5642  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096  Fincfn 8889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-ac2 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-fin 8893  df-card 9883  df-acn 9886  df-ac 10060
This theorem is referenced by:  fpwrelmapffs  31705
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