MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unifi 9357
Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
unifi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem unifi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss3 3966 . 2 (𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
2 uniiun 5055 . . 3 𝐴 = 𝑥𝐴 𝑥
3 iunfi 9356 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
42, 3eqeltrid 2832 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
51, 4sylan2b 593 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2099  wral 3056  wss 3944   cuni 4903   ciun 4991  Fincfn 8955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-en 8956  df-fin 8959
This theorem is referenced by:  unifi2  9358  unirnffid  9360  incexc  15807  incexc2  15808  discmp  23289  tsmsxplem1  24044  fpwrelmapffslem  32498  heiborlem1  37219
  Copyright terms: Public domain W3C validator