MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unifi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unifi 9340
Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
unifi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem unifi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss3 3970 . 2 (𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
2 uniiun 5061 . . 3 𝐴 = 𝑥𝐴 𝑥
3 iunfi 9339 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
42, 3eqeltrid 2837 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
51, 4sylan2b 594 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wral 3061  wss 3948   cuni 4908   ciun 4997  Fincfn 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-en 8939  df-fin 8942
This theorem is referenced by:  unifi2  9341  unirnffid  9343  incexc  15782  incexc2  15783  discmp  22901  tsmsxplem1  23656  fpwrelmapffslem  31952  heiborlem1  36674
  Copyright terms: Public domain W3C validator