MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr0e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr0e 28942
Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
umgr0e.g (𝜑𝐺𝑊)
umgr0e.e (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)
Assertion
Ref Expression
upgr0e (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr0e
StepHypRef Expression
1 umgr0e.g . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
2 umgr0e.e . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)
31, 2umgr0e 28941 . 2 (𝜑𝐺 ∈ UMGraph)
4 umgrupgr 28934 . 2 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
53, 4syl 17 1 (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4324  cfv 6551  iEdgciedg 28828  UPGraphcupgr 28911  UMGraphcumgr 28912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-2 12311  df-upgr 28913  df-umgr 28914
This theorem is referenced by:  upgr0eop  28945  upgr0eopALT  28947
  Copyright terms: Public domain W3C validator