Theorem upgr0e 29129

Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr0e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
umgr0e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
upgr0e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr0e.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
2		umgr0e.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)
3	1, 2	umgr0e 29128	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgrupgr 29121	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4332  ‘cfv 6560  iEdgciedg 29015  UPGraphcupgr 29098  UMGraphcumgr 29099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-2 12330  df-upgr 29100  df-umgr 29101

This theorem is referenced by:  upgr0eop  29132  upgr0eopALT  29134