Theorem upgr0e 29258

Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr0e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
umgr0e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
upgr0e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr0e.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
2		umgr0e.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)
3	1, 2	umgr0e 29257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgrupgr 29250	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∅c0 4285  ‘cfv 6517  iEdgciedg 29144  UPGraphcupgr 29227  UMGraphcumgr 29228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-2 12277  df-upgr 29229  df-umgr 29230

This theorem is referenced by:  upgr0eop  29261  upgr0eopALT  29263