Theorem upgr0e 29074

Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr0e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
umgr0e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
upgr0e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr0e.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
2		umgr0e.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)
3	1, 2	umgr0e 29073	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgrupgr 29066	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286  ‘cfv 6486  iEdgciedg 28960  UPGraphcupgr 29043  UMGraphcumgr 29044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-2 12209  df-upgr 29045  df-umgr 29046

This theorem is referenced by:  upgr0eop  29077  upgr0eopALT  29079