Theorem upgr0e 28875

Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr0e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
umgr0e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
upgr0e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr0e.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
2		umgr0e.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)
3	1, 2	umgr0e 28874	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgrupgr 28867	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∅c0 4317  ‘cfv 6536  iEdgciedg 28761  UPGraphcupgr 28844  UMGraphcumgr 28845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-2 12276  df-upgr 28846  df-umgr 28847

This theorem is referenced by:  upgr0eop  28878  upgr0eopALT  28880