Theorem upgr0e 29247

Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr0e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
umgr0e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
upgr0e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr0e.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
2		umgr0e.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ∅)
3	1, 2	umgr0e 29246	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgrupgr 29239	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∅c0 4276  ‘cfv 6506  iEdgciedg 29133  UPGraphcupgr 29216  UMGraphcumgr 29217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-2 12266  df-upgr 29218  df-umgr 29219

This theorem is referenced by:  upgr0eop  29250  upgr0eopALT  29252