Theorem upgr0eop 29041

Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a pseudograph. The empty graph is actually a simple graph, see usgr0eop 29173, and therefore also a multigraph (𝐺 ∈ UMGraph). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
upgr0eop	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr0eop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5424	. . 3 ⊢ ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ V)
3		0ex 5262	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		opiedgfv 28934	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ∅ ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, ∅⟩) = ∅)
5	3, 4	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (iEdg‘⟨𝑉, ∅⟩) = ∅)
6	2, 5	upgr0e 29038	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ∅c0 4296  ⟨cop 4595  ‘cfv 6511  iEdgciedg 28924  UPGraphcupgr 29007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-2 12249  df-iedg 28926  df-upgr 29009  df-umgr 29010

This theorem is referenced by: (None)