Theorem upgr0eop 27484

Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a pseudograph. The empty graph is actually a simple graph, see usgr0eop 27613, and therefore also a multigraph (𝐺 ∈ UMGraph). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
upgr0eop	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr0eop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 5379	. . 3 ⊢ ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ V)
3		0ex 5231	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4		opiedgfv 27377	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ∅ ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, ∅⟩) = ∅)
5	3, 4	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (iEdg‘⟨𝑉, ∅⟩) = ∅)
6	2, 5	upgr0e 27481	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ∅c0 4256  ⟨cop 4567  ‘cfv 6433  iEdgciedg 27367  UPGraphcupgr 27450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-2 12036  df-iedg 27369  df-upgr 27452  df-umgr 27453

This theorem is referenced by: (None)