MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr0eop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr0eop 27495
Description: The empty graph, with vertices but no edges, is a pseudograph. The empty graph is actually a simple graph, see usgr0eop 27624, and therefore also a multigraph (𝐺 ∈ UMGraph). (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
upgr0eop (𝑉𝑊 → ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ UPGraph)

Proof of Theorem upgr0eop
StepHypRef Expression
1 opex 5383 . . 3 𝑉, ∅⟩ ∈ V
21a1i 11 . 2 (𝑉𝑊 → ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ V)
3 0ex 5235 . . 3 ∅ ∈ V
4 opiedgfv 27388 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ ∅ ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, ∅⟩) = ∅)
53, 4mpan2 688 . 2 (𝑉𝑊 → (iEdg‘⟨𝑉, ∅⟩) = ∅)
62, 5upgr0e 27492 1 (𝑉𝑊 → ⟨𝑉, ∅⟩ ∈ UPGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  Vcvv 3431  c0 4262  cop 4573  cfv 6432  iEdgciedg 27378  UPGraphcupgr 27461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7275  df-2nd 7826  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-2 12047  df-iedg 27380  df-upgr 27463  df-umgr 27464
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator