Theorem upgr1elem 29096

Description: Lemma for upgr1e 29097 and uspgr1e 29228. (Contributed by AV, 16-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1elem.s	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆)
upgr1elem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
upgr1elem	⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem upgr1elem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝐵, 𝐶}))
2	1	breq1d 5134	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((♯‘𝑥) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2))
3		upgr1elem.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆)
4		upgr1elem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		prnzg 4759	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
7		eldifsn 4767	. . . 4 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ↔ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆 ∧ {𝐵, 𝐶} ≠ ∅))
8	3, 6, 7	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
9		hashprlei 14491	. . . . 5 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
10	9	simpri 485	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
12	2, 8, 11	elrabd 3678	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
13	12	snssd 4790	1 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  {crab 3420   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  {csn 4606  {cpr 4608   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  Fincfn 8964   ≤ cle 11275  2c2 12300  ♯chash 14353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-hash 14354

This theorem is referenced by:  upgr1e  29097  uspgr1e  29228