Theorem upgr1elem 29403

Description: Lemma for upgr1e 29404 and uspgr1e 29535. (Contributed by AV, 16-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1elem.s	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆)
upgr1elem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
upgr1elem	⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem upgr1elem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝐵, 𝐶}))
2	1	breq1d 5123	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((♯‘𝑥) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2))
3		upgr1elem.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆)
4		upgr1elem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		prnzg 4749	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ≠ ∅)
7		eldifsn 4758	. . . 4 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ↔ ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝑆 ∧ {𝐵, 𝐶} ≠ ∅))
8	3, 6, 7	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ (𝑆 ∖ {∅}))
9		hashprlei 14505	. . . . 5 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
10	9	simpri 490	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
12	2, 8, 11	elrabd 3661	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
13	12	snssd 4757	1 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4594  {cpr 4596   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  Fincfn 8943   ≤ cle 11244  2c2 12295  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  upgr1e  29404  uspgr1e  29535