Theorem umgrupgr 29135

Description: An undirected multigraph is an undirected pseudograph. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
umgrupgr	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem umgrupgr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	isumgr 29127	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4		id 22	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5		2re 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	leidi 11795	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≤ 2
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → 2 ≤ 2)
8		breq1 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → ((♯‘𝑥) ≤ 2 ↔ 2 ≤ 2))
9	7, 8	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2)
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2))
11	10	ss2rabi 4087	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
13	4, 12	fssd 6754	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
14	3, 13	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
15	14	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
16	1, 2	isupgr 29116	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
17	15, 16	mpbird 257	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563   ≤ cle 11294  2c2 12319  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  UPGraphcupgr 29112  UMGraphcumgr 29113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-2 12327  df-upgr 29114  df-umgr 29115

This theorem is referenced by:  umgruhgr  29136  upgr0e  29143  umgrislfupgr  29155  nbumgrvtx  29378  umgrwlknloop  29682  umgrwwlks2on  29987  umgr3v3e3cycl  30213  konigsberg  30286