Theorem umgrupgr 29686

Description: An undirected multigraph is an undirected pseudograph. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
umgrupgr	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem umgrupgr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	isumgr 29678	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4		id 23	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5		2re 12420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	leidi 11853	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≤ 2
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → 2 ≤ 2)
8		breq1 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → ((♯‘𝑥) ≤ 2 ↔ 2 ≤ 2))
9	7, 8	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2)
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2))
11	10	ss2rabi 4001	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
13	4, 12	fssd 6727	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
14	3, 13	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
15	14	pm2.43i 53	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
16	1, 2	isupgr 29667	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
17	15, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538   ≤ cle 11347  2c2 12400  ♯chash 14477  Vtxcvtx 29579  iEdgciedg 29580  UPGraphcupgr 29663  UMGraphcumgr 29664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-2 12408  df-upgr 29665  df-umgr 29666

This theorem is used by:  umgruhgr  29687  upgr0e  29694  umgrislfupgr  29706  nbumgrvtx  29932  umgrwlknloop  30234  umgrwwlks2on  30553  umgr3v3e3cycl  30790  konigsberg  30863