Theorem umgrupgr 28832

Description: An undirected multigraph is an undirected pseudograph. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
umgrupgr	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem umgrupgr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	isumgr 28824	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4		id 22	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5		2re 12283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	leidi 11745	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≤ 2
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → 2 ≤ 2)
8		breq1 5141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → ((♯‘𝑥) ≤ 2 ↔ 2 ≤ 2))
9	7, 8	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2)
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2))
11	10	ss2rabi 4066	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
13	4, 12	fssd 6725	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
14	3, 13	syl6bi 253	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
15	14	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
16	1, 2	isupgr 28813	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
17	15, 16	mpbird 257	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424   ∖ cdif 3937   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314  𝒫 cpw 4594  {csn 4620   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533   ≤ cle 11246  2c2 12264  ♯chash 14287  Vtxcvtx 28725  iEdgciedg 28726  UPGraphcupgr 28809  UMGraphcumgr 28810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-2 12272  df-upgr 28811  df-umgr 28812

This theorem is referenced by:  umgruhgr  28833  upgr0e  28840  umgrislfupgr  28852  nbumgrvtx  29072  umgrwlknloop  29375  umgrwwlks2on  29680  umgr3v3e3cycl  29906  konigsberg  29979