Theorem umgrupgr 29362

Description: An undirected multigraph is an undirected pseudograph. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
umgrupgr	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem umgrupgr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	isumgr 29354	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
4		id 23	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
5		2re 12306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
6	5	leidi 11736	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≤ 2
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → 2 ≤ 2)
8		breq1 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → ((♯‘𝑥) ≤ 2 ↔ 2 ≤ 2))
9	7, 8	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2)
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ((♯‘𝑥) = 2 → (♯‘𝑥) ≤ 2))
11	10	ss2rabi 4032	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
13	4, 12	fssd 6713	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
14	3, 13	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
15	14	pm2.43i 53	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
16	1, 2	isupgr 29343	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ UPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
17	15, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  {csn 4585   class class class wbr 5105  dom cdm 5652  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525   ≤ cle 11232  2c2 12286  ♯chash 14357  Vtxcvtx 29255  iEdgciedg 29256  UPGraphcupgr 29339  UMGraphcumgr 29340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-2 12294  df-upgr 29341  df-umgr 29342

This theorem is referenced by:  umgruhgr  29363  upgr0e  29370  umgrislfupgr  29382  nbumgrvtx  29605  umgrwlknloop  29907  umgrwwlks2on  30217  umgr3v3e3cycl  30444  konigsberg  30517