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Theorem imasf1oxmet 24102
Description: The image of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasf1oxmet.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasf1oxmet.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
imasf1oxmet.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasf1oxmet.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
imasf1oxmet.d 𝐷 = (distβ€˜π‘ˆ)
imasf1oxmet.m (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
imasf1oxmet (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))

Proof of Theorem imasf1oxmet
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imasf1oxmet.v . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imasf1oxmet.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
4 f1ofo 6840 . . . . 5 (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
6 imasf1oxmet.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
7 eqid 2731 . . . 4 (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜π‘…)
8 imasf1oxmet.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜π‘ˆ)
91, 2, 5, 6, 7, 8imasdsfn 17465 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (𝐡 Γ— 𝐡))
101adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
112adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
123adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
136adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
14 imasf1oxmet.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
15 imasf1oxmet.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
17 simprl 768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
18 simprr 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
1910, 11, 12, 13, 14, 8, 16, 17, 18imasdsf1o 24101 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = (π‘ŽπΈπ‘))
20 xmetcl 24058 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ŽπΈπ‘) ∈ ℝ*)
21203expb 1119 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘ŽπΈπ‘) ∈ ℝ*)
2215, 21sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘ŽπΈπ‘) ∈ ℝ*)
2319, 22eqeltrd 2832 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ*)
2423ralrimivva 3199 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ*)
25 f1ofn 6834 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
263, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
27 oveq2 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)))
2827eleq1d 2817 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ*))
2928ralrn 7089 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ*))
3026, 29syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ*))
31 forn 6808 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
325, 31syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
3332raleqdv 3324 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3430, 33bitr3d 281 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ* ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3534ralbidv 3176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ* ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3624, 35mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
37 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦))
3837eleq1d 2817 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3938ralbidv 3176 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4039ralrn 7089 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4126, 40syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4232raleqdv 3324 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4341, 42bitr3d 281 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4436, 43mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
45 ffnov 7538 . . 3 (𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„* ↔ (𝐷 Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
469, 44, 45sylanbrc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„*)
47 xmeteq0 24065 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘ŽπΈπ‘) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
4816, 17, 18, 47syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘ŽπΈπ‘) = 0 ↔ π‘Ž = 𝑏))
4919eqeq1d 2733 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = 0 ↔ (π‘ŽπΈπ‘) = 0))
50 f1of1 6832 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐹:𝑉–1-1→𝐡)
513, 50syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–1-1→𝐡)
52 f1fveq 7264 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑉–1-1→𝐡 ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ↔ π‘Ž = 𝑏))
5351, 52sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) ↔ π‘Ž = 𝑏))
5448, 49, 533bitr4d 311 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)))
5516adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
56 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝑐 ∈ 𝑉)
5717adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
5818adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
59 xmettri2 24067 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ∧ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘ŽπΈπ‘) ≀ ((π‘πΈπ‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6055, 56, 57, 58, 59syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ŽπΈπ‘) ≀ ((π‘πΈπ‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6119adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = (π‘ŽπΈπ‘))
6210adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
6311adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
6412adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
6513adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
6662, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 57imasdsf1o 24101 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) = (π‘πΈπ‘Ž))
6762, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 58imasdsf1o 24101 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = (𝑐𝐸𝑏))
6866, 67oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ (((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘))) = ((π‘πΈπ‘Ž) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6960, 61, 683brtr4d 5180 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ (((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘))))
7069ralrimiva 3145 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ (((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘))))
71 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) = ((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)))
72 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘)) = ((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘)))
7371, 72oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘) β†’ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘))) = (((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘))))
7473breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘))) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ (((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘)))))
7574ralrn 7089 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘))) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ (((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘)))))
7626, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘))) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ (((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘)))))
7732raleqdv 3324 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝐹((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘)))))
7876, 77bitr3d 281 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ (((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘)))))
7978adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ (((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 ((πΉβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜π‘))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘)))))
8070, 79mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘))))
8154, 80jca 511 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘)))))
8281ralrimivva 3199 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘)))))
8327eqeq1d 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = 0))
84 eqeq2 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)))
8583, 84bibi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ↔ (((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘))))
86 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (𝑧𝐷𝑦) = (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘)))
8786oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘))))
8827, 87breq12d 5161 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘)))))
8988ralbidv 3176 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘)))))
9085, 89anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘))))))
9190ralrn 7089 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘))))))
9226, 91syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘))))))
9332raleqdv 3324 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9492, 93bitr3d 281 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘)))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9594ralbidv 3176 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘ ∈ 𝑉 ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘)))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9682, 95mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
9737eqeq1d 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0))
98 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦))
9997, 98bibi12d 345 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ↔ (((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦)))
100 oveq2 7420 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (𝑧𝐷π‘₯) = (𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)))
101100oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
10237, 101breq12d 5161 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
103102ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
10499, 103anbi12d 630 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
105104ralbidv 3176 . . . . . 6 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
106105ralrn 7089 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
10726, 106syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
10832raleqdv 3324 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
109107, 108bitr3d 281 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž)𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷(πΉβ€˜π‘Ž)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
11096, 109mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
11115elfvexd 6930 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ V)
112 focdmex 7946 . . . 4 (𝑉 ∈ V β†’ (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐡 ∈ V))
113111, 5, 112sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
114 isxmet 24051 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ↔ (𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
115113, 114syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ↔ (𝐷:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
11646, 110, 115mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  β„*cxr 11252   ≀ cle 11254   +𝑒 cxad 13095  Basecbs 17149  distcds 17211   β€œs cimas 17455  βˆžMetcxmet 21130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-xrs 17453  df-imas 17459  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-xmet 21138
This theorem is referenced by:  imasf1omet  24103  xpsxmet  24107  imasf1obl  24218  imasf1oxms  24219
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