MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1oxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1oxmet 22656
Description: The image of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasf1oxmet.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1oxmet.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasf1oxmet.r (𝜑𝑅𝑍)
imasf1oxmet.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasf1oxmet.d 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasf1oxmet.m (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
imasf1oxmet (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Proof of Theorem imasf1oxmet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasf1oxmet.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasf1oxmet.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
4 f1ofo 6482 . . . . 5 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉onto𝐵)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
6 imasf1oxmet.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑍)
7 eqid 2793 . . . 4 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
8 imasf1oxmet.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑈)
91, 2, 5, 6, 7, 8imasdsfn 16604 . . 3 (𝜑𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
101adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
112adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
123adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
136adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑅𝑍)
14 imasf1oxmet.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
15 imasf1oxmet.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
17 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑎𝑉)
18 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
1910, 11, 12, 13, 14, 8, 16, 17, 18imasdsf1o 22655 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑎𝐸𝑏))
20 xmetcl 22612 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ*)
21203expb 1111 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ*)
2215, 21sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ*)
2319, 22eqeltrd 2881 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*)
2423ralrimivva 3156 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*)
25 f1ofn 6476 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
263, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
27 oveq2 7015 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))
2827eleq1d 2865 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*))
2928ralrn 6710 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*))
3026, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*))
31 forn 6453 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
325, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
3332raleqdv 3372 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3430, 33bitr3d 282 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3534ralbidv 3162 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3624, 35mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
37 oveq1 7014 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐹𝑎)𝐷𝑦))
3837eleq1d 2865 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3938ralbidv 3162 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4039ralrn 6710 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4126, 40syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4232raleqdv 3372 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4341, 42bitr3d 282 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4436, 43mpbid 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
45 ffnov 7125 . . 3 (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ* ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
469, 44, 45sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ*)
47 xmeteq0 22619 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑎𝐸𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
4816, 17, 18, 47syl3anc 1362 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑎𝐸𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
4919eqeq1d 2795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝑎𝐸𝑏) = 0))
50 f1of1 6474 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉1-1𝐵)
513, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑉1-1𝐵)
52 f1fveq 6876 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑉1-1𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏))
5351, 52sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏))
5448, 49, 533bitr4d 312 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)))
5516adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
56 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
5717adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑎𝑉)
5818adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑏𝑉)
59 xmettri2 22621 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑐𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ≤ ((𝑐𝐸𝑎) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6055, 56, 57, 58, 59syl13anc 1363 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑎𝐸𝑏) ≤ ((𝑐𝐸𝑎) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6119adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑎𝐸𝑏))
6210adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
6311adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
6412adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
6513adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑅𝑍)
6662, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 57imasdsf1o 22655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) = (𝑐𝐸𝑎))
6762, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 58imasdsf1o 22655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑐𝐸𝑏))
6866, 67oveq12d 7025 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))) = ((𝑐𝐸𝑎) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6960, 61, 683brtr4d 4988 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))))
7069ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))))
71 oveq1 7014 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (𝑧𝐷(𝐹𝑎)) = ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)))
72 oveq1 7014 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (𝑧𝐷(𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))
7371, 72oveq12d 7025 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝐹𝑐) → ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) = (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))))
7473breq2d 4968 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))))
7574ralrn 6710 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))))
7626, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))))
7732raleqdv 3372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
7876, 77bitr3d 282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
7978adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8070, 79mpbid 233 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))
8154, 80jca 512 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8281ralrimivva 3156 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8327eqeq1d 2795 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0))
84 eqeq2 2804 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎) = 𝑦 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)))
8583, 84bibi12d 347 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ↔ (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))))
86 oveq2 7015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))
8786oveq2d 7023 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))
8827, 87breq12d 4969 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8988ralbidv 3162 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
9085, 89anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))))
9190ralrn 6710 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))))
9226, 91syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))))
9332raleqdv 3372 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9492, 93bitr3d 282 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))) ↔ ∀𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9594ralbidv 3162 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))) ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9682, 95mpbid 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
9737eqeq1d 2795 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0))
98 eqeq1 2797 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦))
9997, 98bibi12d 347 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦)))
100 oveq2 7015 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑧𝐷(𝐹𝑎)))
101100oveq1d 7022 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
10237, 101breq12d 4969 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
103102ralbidv 3162 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
10499, 103anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
105104ralbidv 3162 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
106105ralrn 6710 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
10726, 106syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
10832raleqdv 3372 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
109107, 108bitr3d 282 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
11096, 109mpbid 233 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
11115elfvexd 6564 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ V)
112 fornex 7504 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (𝐹:𝑉onto𝐵𝐵 ∈ V))
113111, 5, 112sylc 65 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
114 isxmet 22605 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ↔ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
115113, 114syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ↔ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
11646, 110, 115mpbir2and 709 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  wral 3103  Vcvv 3432   class class class wbr 4956   × cxp 5433  ran crn 5436  cres 5437   Fn wfn 6212  wf 6213  1-1wf1 6214  ontowfo 6215  1-1-ontowf1o 6216  cfv 6217  (class class class)co 7007  0cc0 10372  *cxr 10509  cle 10511   +𝑒 cxad 12344  Basecbs 16300  distcds 16391  s cimas 16594  ∞Metcxmet 20200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208  df-hash 13529  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-xrs 16592  df-imas 16598  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-mulg 17970  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-xmet 20208
This theorem is referenced by:  imasf1omet  22657  xpsxmet  22661  imasf1obl  22769  imasf1oxms  22770
  Copyright terms: Public domain W3C validator